Пусть дан ряд (А). аn≥0 Ɐn, члены ряда не возрастают.
a1≥a2≥… Ɐn
f(x) – непрерывная возрастающая положительная функция [1; +∞]
f(1)=a1
…
f(n)=an
-
-
Абсолютная и условная сходимость. Теорема Коши.
Теорема Коши: если ряд, состоящий из модулей членов данного ряда, сходится, то сходится и исходный ряд.
(А) – абсолютно сходящийся, если сходится (А)*, состоящий из абсолютных величин членов данного ряда.
Если (А) – сходится, а ряд (А)* - расходится, то (А) сходится условно. Если (А)* - сходится, то (А) сходится абсолютно.
Замечание: из расходимости (А)* не следует расходимость (А), но если расходимость (А)* установлена с помощью признаков Даламбера или Коши, то то есть из расходимости (А)*, установленной с помощью признака Даламбера или Коши, следует расходимость ряда (А).
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
Ряд называется знакочередующимся, если два его соседних члена являются числами разных знаков an*an+1<0
Будем предполагать, что всегда a1>0 и будем явно выписывать знаки членов ряда, считая сами an>0 для любых n
a1-a2+a3-…+(-1)n-1*an+ … = (1)
Теорема Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда (1) по абсолютной величине монотонно убывают
1) a1>a2>…>an>…n
2) стремится к 0 , то знакочередующийся ряд (1) сходится и его сумма 0<S<a1
Следствие
Остаток rn ряда лейбницкого типа имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
Пусть ряд (А): a1+a2+a3+…+an+… = = сходится и
Объединим члены ряда (А) в группы произвольным образом,
получим (a1+ak1)+(ak+1+…+ak2)+…+((akn-1+…+akn)+… (*)
Теорема
Ряд (*) всегда сходится и имеет ту же самую сумму, что и данный ряд (А), т.е. сходящиеся ряды обладают сочетательными свойством.
Замечание
Эта аналогия с конечными суммами нарушается, если применить сочетательное свойство в "обратном порядке". Если (*) сходится, члены которого представляют собой суммы конечного числа членов ряда А, то опустив скобки получим ряд, который может оказаться расходящимся.
Например:
(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+… - сходится
1-1+1-1+1-1+…+1-1+… - расходится
Теорема Дирихле
Абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительными свойствами
Теорема Римана
Если ряд сходится условно, то путём перестановки его членов, можно получить ряд, имеющий наперёд заданную сумму, а также расходящийся ряд, т.е. условно сходящиеся ряды переместительным свойством не обладают.
Замечание
Различия между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в том. что условная сходимость осуществляется благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов ряда и поэтому существенно зависит от того, в каком порядке члены ряда следуют друг за другом. А абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и не зависит от порядка их следования друг за другом.
Дата: 2019-02-19, просмотров: 240.