Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

ДУ с разделяющимися переменными.

Уравнения вида: М(х)*Р(у)dx+N(x)*Q(y)dy=0 (1) (M(x),N(x),P(y),Q(y) — известные непрерывные функции) называются ДУ с разделяющимися переменными.

Названия уравнения объясняется тем, что в нем модно отделить друг от друга переменные, уединим в одной части х и dx, в другой — у и dy.

M(x)dx/N(x)=-Q(y)dy/P(y)

∫M(x)dx/N(x)=- ∫Q(y)dy/P(y) (4 — общий интеграл)

Произвольная постоянная С входит в состав неопределенных интегралов.

Замечание: при делении (1) на Р(у)*N(x) могут быть потеряны решения. Поэтому надо решить отдельно: Р(у)*N(x)=0 и установить те решения, которые не могут быть получены избобщего решения (особое решение).

 

Линейные ДУ первого порядка. Уравнения Бернулли.

Уравнение вида: у’+Р(х)*у=f(x), где Р(х),f(x) — известные непрерывные функции; у,у’ — входят в уравнение 1-й степени и нигде между собой не перемножаются.

y=uv, u=u(x), v=v(x)

Действительно, любую функцию можно обозначить у(х)=у(х)/v(x) (1); v(x)=u(x)*v(x), где v(x)≠0.

y’=u’v+uv’

u’v+uv’+P(x)uv=f(x)

u’v+u(v’+P(x)v)=f(x)

v’+P(x)v=0 и u’v=f(x)

dv/dx=-P(x)v

dv/v=-P(x)dx

ln|v|=- ∫P(x)dx

v=e^( - ∫P(x)dx); v=0

Найдем u(x). Она должна быть такой, чтобы при v(x) произведение было решением (1)

u’*e^( - ∫P(x)dx)=f(x)

du/dx=f(x)*e^(∫P(x)dx)

du=e^(∫P(x)dx)*f(x)dx

u= ∫e^( ∫P(x)dx)*f(x)dx+C

y=uv

Этот способ (способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

Замечание: уравнения вида у’+Р(х)у=f(x)y^m, m∈ℝ, m≠0,1 — уравнения Бернулли. Подстановкой у^-m+1=z уравнение Бернулли сводится к линейному, но на практике уравнение (1), не сводя к линейному решают способом y=uv, m=0 ((1) — линейное); m=1 ((1) — с разделяющимися переменными).

 

Однородные ДУ первого порядка и приводящиеся к ним.

z=f(x,y) – однородная функция порядка m∈ℤ, если ∀k выполняется f(Kx, Ky)=K^mf(x,y).

Определение 1: у’=f(x,y) (1) однородное ДУ 1-го порядка, если f(x,y) – однородное 0-го порядка. Покажем, что (1) можно записать как: у’=φ(х/у) (1’).

Действительно, так как f(x,y) – однородная функция 0-го порядка, следовательно f(Kx,Ky)=f(x,y) (2)

Пусть К=1/х, тогда:

k(x,y)=f(1/x*x,1/y*y)=f(1,y/x)= φ(y/x)

Подстановка у/х=t, следовательно у=xt, следовательно у’=1t+xt’

Преобразуем 1’ в уравнение с разделяющимися переменными:

Из 1’ имеем: t+xt’=φ(t)

xt’=φ(t)-t

xdt/dx=φ(t)-t

xdt=(φ(t)-t)dx

dt/(φ(t)-t)=dx/x

Находим общее решение/интеграл и делаем замену и получаем общее решение/интеграл исходного уравнения.

Определение 2: Р(х,у)dx+Q(x,y)dy=0 (3) — однородное ДУ, если Р(х,у) и Q(x,y) — однородные функции одинакового порядка.

y/x=t, следовательно y=xt, следовательно dy=xdt+tdx

Преобразуем (3) в уравнение с разделяющимися переменными.

 

Уравнения в полных дифференциалах.

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)

P(x,y),Q(x,y) — непрерывны, дифференцируемы в области D

Условие: ∂P/∂x=∂Q/∂x (2) (непрерывны в D)

При выполнении равенства (2), в левой части уравнения (1) стоит полный дифференциал некоторой функции u(x,y).

Из (1) получаем: du(x,y)=0, следовательно общее решение/интеграл (1): u(x,y)=C, C=const.

 

Дифференциальные уравнения второго порядка. Общее и частное решения. Существование и единственность решения задачи Коши.

ДУ второго порядка — уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первые две производные.

F(x,y,y’,y”)=0 (1)

y”=f(x,y,y’) (2)

Решением ДУ 2-го порядка называется любая функция у=φ(х,у), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.

Общим решением ДУ 2-го порядка называется функция у=φ(х,С1,С2), содержащая 2 произвольные постоянные и удовлетворяющая условия:

1) у=φ(х,С1,С2) является решением (1) при любых произвольных значениях С1 и С2.

2) Каковы бы ни были у(х=х0)=у0; у’(х=х0)=у0’ существует единственное значение постоянных С1=C 1 и С2=С2, такие, что у=φ(х,С1,С2), являются решением уравнения (1) и удовлетворяет начальным условиям (3).

Всякое решение (1) у=φ(х,С1,С2), получающееся из общего решения при фиксированном значении С1 и С2 называется частным решением (1). Решения (1), полученные в виде Ф(х,у,С1,С2)=0 и Ф(х,у,С1,С2)=0 называются общим и частным интегралом соответственно.

График решения — интегральная кривая.

Теорема Коши: если в некоторой окрестности точки (х₀,у₀) функция f(x,y) определена, непрерывна и имеет непрерывную частную производную, то существует такая окрестность точки (х₀,у₀), в которой задача Коши имеет решение и притом единственное.

Доказательство:

Найдем y’=k0*e^k0x

y”=k0²*e^k0x

из (1) => k0²e^k0x+P*k0*e^k0x+Q*e^k0x=e^k0x(k0²+Pk+Q)=0 => y=e^k0x — решение (1)

Теорема 2:

Общее решения (1) моджет быть написано по одной из след. Формул:

1) k1≠k2; k1,k2∈ℝ => y_oo=C1e^k1x+C2e^k2x; C1,C2 — const;

2) k1=k2; k1,k2∈ℝ => y_oo=C1e^k1x+C2xe^k2x; C1,C2 — const;

3) k1,2=α±βi, α,β∈ℝ y=e^αx(C1cosβx+C2sinβx) i²=-1;

Доказательство:

1 случай:

Пусть k1 и k2 — корни (2), k1≠k2, тогда у1=e^k1x и у2=e^k2x — решение (1) по Т1;

у1/у2=е^k1x/e^k2x=e^k1x-k2x=e^x(k1-k2) ≠const, т.к. k1≠k2 => y1 и у2 — линейно независимые => по теореме о структуре решения ЛОДУ: у_оо=С1е^k1x+C2e^k2x, C1,C2 — const.

2 случай:

k1=k2 => по Т1 y1=e^k1x – решение (1)

Рассмотрим y2=xe^k1x, покажем, что оно является решением (1):

y2’=e^k1x+xk1e^k1x

y2”=k1e^k1x+k1e^k1x+k1²xe^k1x=+k1²e^k1x

2k1e^k1x+ k1²xe^k1x+P(e^k1x+xk1e^k1x)+Q(xe^k1x)=e^k1xx(k1²+Pk1+Q)+2e^k1x(k1+P/2)

y2=xe^k1x – решение (1)

у1 и у2 – линейно независимые, т.к. у2/у1=xe^k1x/e^k1x=x≠const => y1 и у2 – линейно независимые.

По теореме о структуре решение ЛОДУ: У_оо=С1у^k1x+C2xe^k1x

3 случай:

k1=α±βi, тогда по Т1 e^(α±βi)x – решение.

e^α+βi=e^α(cosβ+isinβ) – формула Эйлера.

e^(α±βi)х=e^αх(cosβ±isinβ) – решение (1)

у1=e^αxcosβx и у2=e^αxsinβx – взятые в отдельности - решения (1)

функция у1 и у2 – линейно независимые, т.к. у2/у1=tgβx≠const

у1 и у2 – линейно независимые, тогда по теореме о структуре решения ЛОДу 2-го порядка У_оо=С1e^αxcosβx+С2e^αxsinβx или У_оо=e^αx(С1cosβx+С2sinβx)

 

Следствие:

Частное решение уравнений (их сумма) у”+Py’+Qy=f1(x) у”+Py’+Qy=f2(x) дают частное решение уравнения у”+Py’+Qy=f1(x)+f2(x)

 

Системы обыкновенных ДУ.

Системой ДУ называется совокупность, в каждое из которых входит независимая переменная, искомые функции и их производные.

Всегда предполагается, что число уравнений системы равно числу неизвестных функций.

Решением системы ДУ называется совокупность функций, при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Нормальной системой ДУ называется система уравнений вида:

(1)

Обычно нормальную систему ДУ (1) можно заменить одним ДУ, порядок которого равен числу уравнений системы.

Общее решение (1) имеет вид:

   

Для нормальных систем ДУ имеет место теорема, гарантирующая существование и единственность частного решения.

 

Теорема 1.

Если (1) сходится, то сходится и любой из его остатков (2). И обратно, если (2) сходится, то сходится и исходный (1). Другими словами, отбрасывание в начале ряда или приписывание конечного числа слагаемых не отражается на сходимости-расходимости ряда. Обозначим сумму (2), если он сходится через  тогда S=S_m+α_m

Теорема 2.

Если (1) сходится, то сумма  (его остатка);

Теорема 3.

a₁+a₂+…+a_n+…=S – сходится, то С*a₁+…+C*a_n+…=C*S C – const тоже сходится.

Теорема 4.

тогда:

Гармонический ряд.

Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:

т.е. сумма всех чисел вида 1/n, где n - натуральное число, изменяющееся от единицы до бесконечности.

Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних.

Гармонический ряд это 1+1\2+1\3+1\4...и так далее где 1, 2, 3, 4, ... - натуральные числа, они стоят по порядку в знаменателе гармонического ряда.

 

Признаки сравнения.

Признаки сравнения применяются для исследования числовых рядов, члены которых неотрицательны, т.е. больше или равны нулю. Такие ряды называются знакоположительными.

Первый признак сравнения:

Пусть заданы два положительных ряда  и .

Если начиная с некоторого номера n0 выполнено неравенство ≤ , то:

если ряд  расходится, то ряд  будет расходящимся.

если ряд  сходится, то ряд  будет сходящимся.

Т.е. если ряд с меньшими членами не имеет суммы (расходится), то и ряд с большими членами тоже будет расходиться и если ряд с большими членами имеет сумму (сходится), то и ряд с меньшими членами тоже будет сходиться.

Второй признак сравнения:

Пусть заданы два положительных ряда  и .

Если при условии ≠0 существует предел

где 0<K<∞, то ряды  и сходятся либо расходятся одновременно.

Для применения признаков сравнения нам нужно иметь некий ряд, сходимость которого известна заранее. Чаще всего в роли ряда для сравнения выступает обобщённый гармонический ряд

 (*)

Если α>1, то ряд (*) сходится, а если α≤1, то ряд (*)расходится.

Особо стоит обратить внимание на случай α=1, т.е. ряд = . Ряд  называют гармоническим рядом. Гармонический ряд расходится.

 

 

Признак Даламбера.

Пусть − ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства:

• Если <1, то ряд сходится;
• Если >1, то ряд расходится;
• Если =1, то ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для установления сходимости нужно использовать другие признаки.

Признак Коши.

Пусть дан ряд (А). а_n≥0 Ɐn, если существует

C<1 – (А) сходится

C>1 – (А) расходится

C=1 – признак не работает

 

Теорема Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда (1) по абсолютной величине монотонно убывают

1) a₁>a₂>…>a_n>…n

2) стремится к 0 , то знакочередующийся ряд (1) сходится и его сумма 0<S<a₁

Следствие

Остаток r_n ряда лейбницкого типа имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

 

 

Теорема

Ряд (*) всегда сходится и имеет ту же самую сумму, что и данный ряд (А), т.е. сходящиеся ряды обладают сочетательными свойством.

Замечание

Эта аналогия с конечными суммами нарушается, если применить сочетательное свойство в "обратном порядке". Если (*) сходится, члены которого представляют собой суммы конечного числа членов ряда А, то опустив скобки получим ряд, который может оказаться расходящимся.

Например:

(1-1)+(1-1)+…+(1-1)+… - сходится

1-1+1-1+1-1+…+1-1+… - расходится

Теорема Дирихле

Абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительными свойствами

Теорема Римана

Если ряд сходится условно, то путём перестановки его членов, можно получить ряд, имеющий наперёд заданную сумму, а также расходящийся ряд, т.е. условно сходящиеся ряды переместительным свойством не обладают.

Замечание

Различия между абсолютно и условно сходящимися рядами заключается в том. что условная сходимость осуществляется благодаря взаимному погашению положительных и отрицательных членов ряда и поэтому существенно зависит от того, в каком порядке члены ряда следуют друг за другом. А абсолютная сходимость основана на быстроте убывания этих членов и не зависит от порядка их следования друг за другом.

 

Теорема Абеля

Если ряд (1) сходится при некотором значении х₀, отличном от 0, то он сходится и при абсолютном и для всех значений х: IxI<Ix₀I

Если ряд (1) расходится при некотором значении х₀, то он расходится для всех х: IxI>Ix₁I

Для ряда (1) логически могут представляться 3 возможности

1. Ряд (1) сходится только в х=0

2. Ряд (1) сходится на всей числовой прямой

3. Ряд (1) сходится не только в точке х=0, но и не на всей числовой прямой

Теорема

Ряд (1) сходится не только в точке х=0, но и не на всей числовой прямой, то существует R>0, такое, что для любых IxI<R ряд (1) сходится абсолютно, а для всех IxI>R ряд (1) расходится.

Число R - радиус сходимости степенного ряда (-R; R) - интервал сходимости.

Если ряд (1) сходится только в ч=0, то полагают R=0. Если ряд (1) сходится на всей числовой прямой, то R= . Поведение ряда в точках x=  может быть разным. Надо отдельно исследовать поведение x=R и x=-R.

Исследовать степенной ряд на сходимость значит: найти его интервал сходимости и выяснить, как ведёт себя ряд в граничных точках интервала сходимости.

Область сходимости степенного ряда всегда состоит из интервала сходимости и может быть из граничных точек интервала сходимости.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда есть формула

R= (*)

или

R= (**)

Но формулам (*) и (**) пользоваться нельзя, если в ряде (1) отсутствуют какие-то степени х (Ряд содержит только чётные или нечётные степени х). В этом случае пользуются признаком Даламбера для абсолютной сходимости. Этот способ можно применять всегда.

 

Свойства степенных рядов.

 (1)

Теорема 1:

Сумма степенного ряда (1) есть функция, непрерывная в каждой точке интервала сходимости.

Теорема 2:

Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости.

Теорема 3:

Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, лежащему в интервале сходимости.

Замечание (2 и 3):

R рядов (2) и (3) такие же как и у исходного (1). 1+2х+3х²… получен из дифференцирования 1+х+х²… геометрическая прогрессия с b₁=1 b q=x => -R<a<x<R

 

Доказательство:

f’(x)=C₁+2C₂(x-x₀)+3C₃(x-x₀)²+…+nC_n(x-x₀)^n-1…R

f’’(x)=1*2C₂+2*3C₃(x-x₀)+…+n(n-1)C_n(x-x₀)ⁿ…R

Коэффициент ряда 2 определяется однозначно C_n=fⁿ(x₀)/n! (v)

Подставим полученное выражение в (2)

f(x)=f(x₀)+f’(x₀)/1!*(x-x₀)+f’’(x₀)/2!*(x-x₀)+…(vv) – ряд Тейлора.

Замечание:

Если в (vv) х₀=0, то получим частный случай ряда Тейлора: f(x)=f(0)=fⁿ(0)*xⁿ/n!+… - ряд Маклорена.

 

Ряды Тейлора и Маклорена.

Теорема:

Если f(x) на (x₀-R; x₀+R) разлагается в f(x)=С₀+С₁(х-х₀)+С₂(х-х₀)²+…+С_n(х-х₀)ⁿ+…(2), то это разложение единственно.

Доказательство:

f’(x)=C₁+2C₂(x-x₀)+3C₃(x-x₀)²+…+nC_n(x-x₀)^n-1…R

f’’(x)=1*2C₂+2*3C₃(x-x₀)+…+n(n-1)C_n(x-x₀)ⁿ…R

Коэффициент ряда 2 определяется однозначно C_n=fⁿ(x₀)/n! (v)

Подставим полученное выражение в (2)

f(x)=f(x₀)+f’(x₀)/1!*(x-x₀)+f’’(x₀)/2!*(x-x₀)+…(vv) – ряд Тейлора.

Замечание:

Если в (vv) х₀=0, то получим частный случай ряда Тейлора: f(x)=f(0)=fⁿ(0)*xⁿ/n!+… - ряд Маклорена.

Ряд Тейлора можно составить для любой функции, бесконечно дифференцируемой в окрестности х₀.

f(x₀)+…+fⁿ(х₀)/n!*(x-x₀)ⁿ+… (vvv)

Ряд (vvv) как и всякий степенной ряд по степеням х сходится в точке х=0. Но возникает вопрос, сходится ли этот ряд где-нибудь еще и если сходится, то что является суммой ряда. Функция f(x) с помощью которой вычисляют коэффициенты или какая-нибудь другая функция.

В дифференциальном исчислении установлена формула Тейлора:

, где С между х и х₀, R_n(x) – остаточный член в формуле Тейлора в форме Лагранжа.

Теорема 1:

Для того, чтобы ряд Тейлора функции f(x) в промежутке (x₀-R; x₀+R) сходился и имел своей суммой функцию f(x), необходимо и достаточно, чтобы остаточный член R_n(x) в формуле Тейлора стремился к нулю при

Выражение для R_n(x)-го бывает очень громоздким и поэтому трудно установить стремится R_n(x) к нулю или нет.

Теорема 2 (достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции f( x) к функции f( x)):

Если в (x₀-R; x₀+R) функция f(x) имеет производные любого порядка и все они ограничены по абсолютной величине одним и тем же числом, то ряд Тейлора функции f(x) в (x₀-R; x₀+R) сходится к функции f(x).

 

Теорема Дирихле:

y=f(x) T=2π [-π; π] удовлетворяет условия:

1) f(x) непрерывна на [-π; π] или имеет на этом отрезе конечное число точек разрыва 1-го рода;

2) f(x) монотонна на [-π; π] или [-π; π] можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых f(x) изменяется монотонною

3) Сумма в граничных точках равна

ДУ с разделяющимися переменными.

Уравнения вида: М(х)*Р(у)dx+N(x)*Q(y)dy=0 (1) (M(x),N(x),P(y),Q(y) — известные непрерывные функции) называются ДУ с разделяющимися переменными.

Названия уравнения объясняется тем, что в нем модно отделить друг от друга переменные, уединим в одной части х и dx, в другой — у и dy.

M(x)dx/N(x)=-Q(y)dy/P(y)

∫M(x)dx/N(x)=- ∫Q(y)dy/P(y) (4 — общий интеграл)

Произвольная постоянная С входит в состав неопределенных интегралов.

Замечание: при делении (1) на Р(у)*N(x) могут быть потеряны решения. Поэтому надо решить отдельно: Р(у)*N(x)=0 и установить те решения, которые не могут быть получены избобщего решения (особое решение).