В случае сферического источника продольных монохроматических волн выражение для комплексной частотной характеристики М_р (W) удается выписать в явном виде [10]. Так, для идеально упругой среды имеем

(8.4)

Соответственно вектор смещения w_p в этом случае:

(8.5)

В формулах (8.4-8.5) приняты следующие обозначения:

w _ор = 2 C_s/R₀ - частота собственных колебаний;

b _р = w _ор b_s/С_р - коэффициент затухания;

t = t - (r -R₀)/С_р;

C_s - скорость распространения поперечных волн в грунте;

R₀ - радиус полости;

d₀ - амплитуда давления.

В общем случае импульсной функции d, имеющей комплексный спектр D(w), экспоненту в формуле 8.5 необходимо заменить на D(w).

Для упругой среды с поглощением a = b abs(w) комплексный спектр:

,

где комплексная характеристика поглощающей среды:

. (8.6)

Для практических приложений полагают:

. (8.7)

В формулах 8.6 и 8.7

e = Q_p0(r - R₀)/L _р0 - обобщенное расстояние,

L _р0 = 2p V_p0/w ₀, w ₀ - произвольное значение частоты,

V_p0 - скорость продольной волны в непоглощающей (идеально упругой) среде;

Q_p0 - декремент поглощения (см. [10], где приведены таблицы для определения Q_p0);

Q_p = a _р L _р;

V_p(w) - фазовая скорость, характеризует для среды с поглощением аномальную дисперсию скорости.

На частотно-избирательный характер зависимости спектра от поглощения заметно влияет V_p - очень медленно возрастающая с ростом e функция.

На рис. 8.2 приведены графики зависимости N_p(w) от w, на рис. 8.3 и рис. 8.4 зависимость функции abs(G(w)) от w; цифры у кривых соответствуют различным e.

Графики рис. 8.3 соответствуют n » 0,4, для рис. 8.4 n » 0,02.

В целом можно сделать вывод: по мере увеличения обобщенного расстояния e , что при неизменных свойствах среды и источника соответствует удалению от источника, спектры заметно изменяются. Максимумы спектров монотонно переходят в область низких частот.

Для зарядов, расположенных на поверхности (накладных), аналитические выражения для спектров, подобные (8.3-8.6), получить не удается и приходится обращаться к экспериментальным данным.

Из приведенного на рис. 8.5 экспериментального графика спектра смещения грунта для накладного заряда следует, что общий цуг сейсмических колебаний содержит несколько максимумов.

По результатам вычисления дискретных спектров энерговыделения установлено [7], что на трех основных частотах выделяется 82-98 % сейсмической энергии.

На рис. 8.6 приведены графики изменения основных частот в зависимости от расстояния до места взрыва [7], причем частотам f₁, f₂, f₃ соответствуют приблизительно 50, 25 и 15 % всей энергии.

Несмотря на различия в абсолютных величинах частот и плотностей потока энергии при взрывах различных зарядов, расположенных в грунтах с различными характеристиками, можно сформулировать общие четко проявляющиеся закономерности.

1. Энергия сейсмовзрывных волн на различных частотах спектра не одинакова, а в энергетическом спектре колебаний имеется четко выраженный максимум, т.е. на определенной частоте выделяется больше энергии, чем на других частотах.

Рис. 8.1. Вероятность сохранения зданий и сооружений

Рис. 8.2. Зависимость N_p (w)

Рис. 8.3. Функция G (w); u = 0,4

Рис. 8.4. Функция G (w);u = 0,02

2. Частота f₁, на которой наблюдается максимум энергии, с расстоянием изменяется. При этом с удалением от границ сейсмического очага взрыва прослеживается монотонное уменьшение частоты f₁.