Сейчас мы посмотрим на результаты нескольких исследований золотых месторождений, которые гораздо труднее оценивать вследствие особенностей распределений. Двумя из них, наиболее интересными, занимались Ренду (Rendu) (1979), а также Криг и Магри (Krige and Magri) (1982), которые работали на южно-африканских месторождениях.

       Ренду проверил, подтверждаются ли геостатистические предсказания на практике. У него было около 5000 значений содержаний золота из одной части рудника Хартбистфонтейн (Hartebeestfontein Mine). Анализируемые данные были расположены по тесной сети (25 футов), а блоки с размером 125 футов на 125 футов содержали по 25 проб, и усреднение их давало достаточно точное представление об истинных содержаниях каждого блока. Затем Ренду взял из 25 проб каждого блока только центральную пробу и оценил содержания блоков кригингом по этим пробам. Перемещая центр сети “проб”, он выполнил эту процедуру на 4808 блоках.

       Поскольку данные имели логнормальное распределение, то он использовал логнормальный кригинг вместо обычного, а также для сравнения два классических метода (метод ближайшей пробы (полигональный) и метод обратных расстояний). Обрабатывая свои результаты, он вычислил регрессию между истинными значениями и оценочными (на би-логарифмической шкале) для всех изложенных методов оценки. В идеале эта линия регрессии должна иметь наклон 45 градусов. Логнормальный кригинг с известным средним оказался расположен ближе к ней, чем остальные методы. Если линия регрессии расположена не под этим углом, то оценки называются условно смещенными. Когда это случается, тангенс угла наклона обычно меньше 1.0 и поэтому содержания блоков с богатым содержанием обычно переоценено, тогда как блоки с бедным содержанием недооценены. Это конечно относилось прежде всего к методу ближайшей пробы (многоугольников). Как мы могли видеть ранее, экономические последствия этого могут быть очень серьезными, когда такие оценки используются для выбора кондиционных блоков для добычи и для предсказания запасов, которые будут добыты в будущем.

       Второе сравнительное исследование было сделано Кригом и Магри на содержаниях золота для очень неравномерного золоторудного пласта рудника Лорраен (Lorraine), а также для содержаний цинка на медно-цинковом месторождении. Их результаты были подтверждены исследованиями Ренду.

1.6.3 Более новые примеры

Несколько больше сравнительных исследований было представлено в докладах на симпозиуме по оцениванию запасов руды (the Ore Reserve Estimation Symposium), проходившем в Монреале в мае 1986. Особенно интересны два из них, сделанные Раймондом и Армстронг (Raymond and Armstrong) (1986), которые работали на месторождении меди, и Блеквеллом и Джонстоном (Blackwell and Johnston), которые исследовали месторождение с низкими содержаниями медного молибдена. Раймонд и Армстронг нашли, что содержания в измельченной руде за 17 месячный период очень близки. Они использовали логнормальный кригинг (который является специальной формой кригинга разработанный для асимметричных данных с логнормальным распределением). В другой статье авторы описывают, как они использовали данные кернового бурения и взрывных скважин для блочного кригинга. В заключении они привели три основные преимущества использования методов геостатистики:

1. Результаты подсчета запасов полезных ископаемых легче повторить разными специалистами горного дела, т.к. после выбора модели вариограммы остается мало возможностей для какой-либо дополнительной, субъективной интерпретации.

2. Геостатистика действительно улучшает оцениваемые значения, даже когда используются данные опробования разных размеров и надежности.

3. Улучшенные значения подсчета запасов полезных ископаемых позволяют повысить качество всех видов планирования и дают оператору возможность маневра, когда он имеет дело с простоями, авариями, неустойчивостью бортовых содержаний и цен на металлы.

Поскольку эти сравнительные исследования подтверждают превосходство кригинга над обычно используемыми методами оценки от угольных до золотых месторождений, то кажется привлекательным более внимательно посмотреть на технику кригинга. Мы начнем рассмотрение этих проблем с того, как использовать геостатистику для моделирования всех этих типов переменных.

Упражнения

Упражнение 1.1 Четыре таблицы, приведенные ниже, показывают значения оценок, вычисленных с использованием трех различных методов, а также действительные значения, полученные после добычи.

Вычислите среднее для содержаний 16 блоков для каждого метода и для истинных значений. Какая из оценок несмещенная?

Постройте диаграммы рассеяния для истинных (вертикальная ось) и оцененных содержаний. Посмотрите на наклон линий регрессии (истинное содержание против оцененного) и отметьте какая из них расположена под углом 45 градусов (т.е. тангенс угла наклона равен 1.0).

                                    a)                                       b)

                                    c)                                       d)

Таблица 1.2. Содержания, оцененные тремя различными методами, (a, b и c) и действительные значения (d)

Пространственные переменные

Содержание

В этой главе представлены основные определения геостатистики, включающие концепции случайной функции и пространственной переменной. Введены основные гипотезы (второй порядок стационарности и внутренняя гипотеза неустойчивости (the weaker intrinsic hypothesis)). Определены функции вариограммы и пространственной ковариации. Обсуждается проблема стационарности исходных данных. В этой главе представлены некоторые основные свойства пространственной ковариации, так как они помогают в определении признаков стационарности. Устанавливается связь между вариограммой и пространственной ковариацией. Многие другие свойства вариограммы рассмотрены в следующей главе.