События называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления других событий. Независимые события происходят в опыте с урной, когда шар после каждого опыта снова возвращается в урну, то есть когда осуществляется схема ”возвращенного шара”. В этом случае вероятность появления независимых событий равна произведению вероятностей событий.

P(A,B,C…..K) =P(A)*P(B)*P(C)……P(K)

Теорема умножения вероятностей для независимых событий является прямым продолжением теоремы сложения вероятностей. Например, если в урну поместить 2 красных шара и 1 белый шар и вытаскивать по 2 шара друг за другом, то любая из 4 возможных комбинаций (2 красных шара, 1 красный и 2-ой белый шары, 2 белых шара, 1 белый и 2-ой красный шары) осуществится на 100% .

То есть вероятность появления любой из этих комбинаций равна 1, а это возможно, если мы перемножим вероятности событий в каждой комбинации, а затем сложим их, тогда мы получим 1. (Это легко может посчитать каждый студент на калькуляторе.)

В урне 6 красных и 4 белых шара. Шары перемешаны и не различимы, по очереди вынимают 2 шара. Какая вероятность, что эти 2 шара окажутся красными.

Вероятность того, это эти 2 шара окажутся красными, равна P.

P(Красный шар и Красный шар)=6/10+6/10=0.36

При выборе из бесконечно большой совокупности, которой может представляться нам земная кора результаты опробования практически всегда могут считаться независимыми, хотя после каждого нашего опыта, отобранная порода не будет возвращена в земную кору.

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.

Теперь изменим, условие проведения предыдущего опыта, вынув первый шар из урны, не будем класть его обратно, а положим на полку, а затем вынем второй шар. Какая вероятность того, что оба вынутых из урны шара окажутся красными. В этом опыте по схеме ”невозвращенного шара” события между собой связаны, и наступление одного события изменяет вероятность наступления второго события. Здесь удобно ввести понятие условной вероятности. Условной вероятностью события (E) называют вероятность, вычисленную с предположением, что произошло событие (D) и эту вероятность обозначают как P(E/D). В этом случае вероятность сложного события, представленного двумя событиями, следующими друг за другом, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную с предположением, что первое событие произошло.

P(E, D) = P(E)*P(D/E)

Вероятность появления первого красного шара равна 6/10, однако вероятность появления второго красного шара равна уже 5/9, так как мы не вернули красный шар в урну, изменилось общее количество шаров в урне и так же изменилось количество красных шаров. Вероятность сложного события – появление при последовательном вынимании двух шаров красного цвета равна

P (Красный шар и Красный шар) = P (E)*P (D/E) = 0.6*0.56 = 0.34

Теорему, отражающую связь между условными и безусловными вероятностями открыл в 18 веке английский священник Байес. Полностью теорема Байеса утверждает, что произведение вероятности первого события на условную вероятность второго события, вычисленную с предположением, что первое событие произошло, равна произведению вероятности второго события на условную вероятность первого события, вычисленную с предположением, что второе событие уже произошло, то есть

P (E)*P (D/E) = P (D)*P (E/D)

Это выражение можно переписать  в виде

P (D/E) = [P (D)*P (E/D)]/ P (E)

Теорема полной вероятности.

Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей.

Ниже приведены результаты опробования горизонтальной выработки (канавы), разделенной на три равных участка.

Теперь мы можем переделать эту таблицу как частотную таблицу, в которой рассчитана частота появления пробы с определенным содержанием.

На одном из участков берут пробу, причем участок и место, где берут пробу, выбирают случайно. Случайный отбор может происходить с использованием разных способов, один из них можно назвать способом урны. Сначала скатывают в трубочки листки бумаги с написанными на них номерами канав, кладут в урну, перемешивают и затем выбирают, далее тем же образом приготавливают 7 листков бумаги с предварительно написанными на них содержаниями металла и выбирают из урны один листок.

Вопрос. Какая вероятность появления пробы с содержанием 4%?

Появление события B (то есть появление пробы с содержанием 4%) может произойти только вместе с одним из событий К1,  К2, К3 - то есть, появление события В может произойти только в одном из трех участков нашей канавы. События К1, К2, К3 образуют полную группу несовместных событий (событий, которые не могут появиться одновременно в данном опыте), но то что одно из этих событий произойдет в данном опыте равно 100% .  Назовем эти события – гипотезами.

Вероятность события В определяется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе по следующей формуле

P(B) = ∑ P(Ki)*P(B/Ki)

Это формула полной вероятности. Событие B может появиться только в комбинации с одной из гипотез К1, К2, К3, образующих полную группу несовместных событий. Комбинации К1В, К2В, К3В так же несовместны, так как несовместны гипотезы К1, К2, К3. Применяя к данным комбинациям (гипотезы-события) теорему сложения получим

P(B) = P(B/K1) + P(B/K2) + P(B/K3) = ∑P(B/Ki)

Далее применим теорему умножения и получим

P(Ki, B) = P(Ki)*P(B/Ki)

Поэтому

P(B) = ∑ P(Ki)*P(B/Ki)

По условию задачи гипотезы К1, К2, К3 - равновозможные, следовательно

P(K1) = P(K2) = P(K3) = 0.33

Следовательно легко можно рассчитать, что вероятность появления события В ( то есть вероятность появления пробы с содержанием 4 %) равна

P(B) = P(4%) = 0.33*0.285 + 0.33*0.285 + 0.33*0.572 = 0.38

Таким образом, наугад взятая в канаве проба с вероятность 38% покажет содержание металла равное 4 % .

 Такая же вероятность получится, если мы рассчитаем ее по простой формуле, однако, если гипотезы не равны друг другу, то есть например, длина участков будет разная, а количество проб то же, то по простой формуле вероятности мы уже не получим этот же результат.

Лекция 3