Ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.

Модуль и направление ускорения a_M находятся построением соответствующего параллелограмма.

Однако вычисление а_M с помощью параллелограмма, усложняет расчет, так как предварительно надо будет находить значение угла , а затем — угла между векторами a_MA и a_M. Поэтому при решении задач удобнее вектор a_MA заменять его касательной ( ) и нормальной ( ) составляющими и представить равенство в виде:

 = + + .

При этом вектор  направлен перпендикулярно  (рис.1.12) в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор  всегда направлен от точки М к полюсу . Численно же =АМ , =AM .

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение можно тоже представить как сумму касательной и нормальной составляющих, тогда

+ + +

Рис.1.12

Для определения модуля ускорения точки  необходимо спроецировать последнее уравнение на координатные оси. В результате этого получим проекции ускорения точки М на указанные оси. Модуль ускорения точки М определяем по следующей формуле:

Задача 1

Для данного положения механизма определить ускорение ползуна В, если колесо 1 радиуса R =50см катится с постоянной скоростью его центра ; угол .

Решение Определим угловую скорость колеса. Так как тело катится без скольжения по неподвижной поверхности, то МЦС – Pv находится в точке контакта колеса с поверхностью и

направлена по ходу часовой стрелки , . Определим ускорение точки А. Приняв точку О за полюс . Так как колесо катится с постоянной скоростью, то его угловое ускорение  и касательное ускорение точки О равно нулю. Ускорение точки А равно.

Ускорение точки В будет состоять из ускорения точки А плюс ускорения полученного от вращения точки В вокруг точки А.

Так как скорости точек А и В параллельны между собой, то шатун АВ совершает мгновенно поступательное движение, а значит

 Спроецируем уравнение на оси x и y .

OX:                        

OY:            

Ответ:

Сложное движение точки

Рассмотрим движение точки по отношению к двум системам отсчета, из которых одну считаем основной или условно неподвижной, а другую движущуюся по отношению к основной.

Движение, совершаемое точкой, называют сложным. Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета Оху z, которая в свою очередь движется относительно основной системы отсчета O₀x₀y₀z₀, (рис.1.13).

Рис.1.13

Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета, называется относительным движением . Скорость называется относительной скоростью ( ), а ускорение – относительным ускорением ( ).

Движение, совершаемое подвижной системой отсчета (и всеми связанными с нею точками) по отношению к неподвижной системе отсчета является для точки М переносным движением.

Скорость и ускорение точки, связанной с подвижными осями и с которой, в данный момент времени, совпадает движущаяся точка М, называют переносной скоростью ( ), и переносным ускорением
точки М ( ).

Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе, отсчета называется абсолютным , его скорость и ускорение – абсолютной скоростью ( ) и - абсолютным ускорением ( ).

Для решения задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными и абсолютными скоростями и ускорениями точки.

1.15 Теорема сложения скоростей и ускорений – при
сложном движении точки

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме ее относительной и переносной скоростей.

Модуль абсолютной скорости

,

где α – угол между векторами относительной и переносной скоростей точки.

При сложном движении точки ее абсолютное ускорение равно векторной сумме переносного, относительного и кориолисова ускорения

.

Задача 1

Определить абсолютную скорость в момент времени t =2 c точки М, которая движется по диагонали прямоугольной пластины 1 по закону M ₀ M =0,3 t ² . Сама пластина движется вертикально в плоскости рисунка согласно уравнению . Угол .

Решение Так как точка М совершает сложное движение, то ее скорость состоит из переносной  и относительной  скоростей.

Ответ:

Ускорение Кориолиса

Ускорение Кориолиса характеризует быстроту изменения переносной скорости в относительном движении и изменение относительной скорости в переносном движении и равно

или ,

где α – угол между векторами  и  (рис. 2.15).

Из данной формулы видно, что Кориолисово ускорение может обращаться в нуль в следующих случаях:

1) ω _e=0, т. е когда переносное движение является поступательным или переносная угловая скорость в данный момент времени обращается в нуль;

2) v_r=0, т. е. когда относительная скорость в данный момент времени обращается в нуль;

3) когда α=0 (180º), т. е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения.

Направление вектора  определяется по правилу Жуковского либо по правилу векторного произведения (рис.1.15):

1. проецируем вектор относительной скорости  на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения;

2. поворачиваем полученную проекцию на 90º по направлению переносного вращения (по направлению ω _e) - это и есть направление кориолисова ускорения.

Рис.1.15

По правилу векторного произведения  – вектор перпендикулярный  и  направлен так, чтобы поворот от  к  на угол  виден происходящим против хода часовой стрелки.

Задача 1

Пластина АВС вращается вокруг оси Oz по закону , а по ее стороне АС движется точка М согласно уравнения . Определить ускорение Кориолиса точки М в момент времени t ₁ =0,5 c .

Решение ; Кориолисово ускорение определяется по формуле: , где  – угол между вектором угловой скорости  и вектором относительной скорости .

Вращательное движение рамки является переносным движением, а движение точки по стороне АС – относительное движение.

.

Ответ: