Глава 3. Системы одновременных уравнений

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Глава 3. Системы одновременных уравнений

Сложные экономические процессы описываются с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают следующие виды эконометрических систем.

Системы независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора фактора x:

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов.

Система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная y включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором фактора x:

В таких моделях уравнения оцениваются последовательно (от первого уравнения к последнему) с использованием МНК.

Система взаимозависимых уравнений (система одновременных уравнений) – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы:

Оценивание параметров структурной модели

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений.

Наибольшее распространение получили следующие методы оценивания структурной модели:

– метод инструментальных переменных (ИП);

– косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

– двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Методы оценивания структурных уравнений различных видов

Точная идентифицируемость

Допустим, требуется оценить параметры уравнения функции потребления в простой модели Кейнса формирования доходов:

(3.3)

где С _t,Y_t, I_t – объем потребления, совокупный доход, и инвестиции соответственно, а e _t – случайный член.

Структурный коэффициент b характеризует предельную склонность к потреблению.

В исходной модели С _t, Y_t – эндогенные переменные, а I_t – экзогенная.

Непосредственное оценивание параметров в структурном уравнении функции потребления дает смещенные и несостоятельные оценки, так как объясняющая переменная Y_t является эндогенной.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему:

(3.4)

В приведенной системе коэффициенты при переменной I_t, равные b/(1 – b) и 1/(1 – b) – инвестиционные мультипликаторы потребления и дохода соответственно. Это значит, что если объем инвестиций возрастает на единицу, то объем потребления увеличится на b/(1 – b) единиц, а совокупный доход – на 1/(1 – b) единиц.

Рассмотрим различные методы оценивания структурных коэффициентов (a , b).

Сверхидентифицированность

Рассмотрим следующую простую модель Кейнса формирования доходов:

(3.8)

где C_t, Y_t, I_t, G_t – объем потребления, совокупный доход, инвестиции и государственные расходы соответственно, а – случайный член.

В исходной модели C_t, Y_t – эндогенные переменные, а I_t, G_t – экзогенные.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему:

(3.9)

Рассмотрим различные методы оценивания структурных коэффициентов (a, b).

Неидентифицируемость

Рассмотрим следующую модель спроса и предложения:

где P – цена товара, а u^D, u^S – случайные члены.

Переменные Y, P являются эндогенными, и их значения определяются в процессе установления равновесия.

В рассматриваемой модели нет экзогенных переменных, поэтому ни одно из этих уравнений не является идентифицируемым. Чтобы модель имела статистическое решение, в нее вводятся экзогенные переменные.

Предположим, что продавцы товара облагаются специальным налогом T, который они должны платить с выручки. При этом уравнение спроса останется неизменным, если переменная P означает рыночную цену, а уравнение предложения изменится:

(3.10)

где T – экзогенная переменная.

Уравнение спроса будет идентифицируемым, поскольку переменная T не включена в него и может выступать как инструментальная для P, а уравнение предложения – неидентифицируемым.

Включим в уравнение спроса экзогенную переменную x – доход на душу населения:

(3.11)

Экзогенную переменную x можно использовать как инструментальную вместо P для уравнения предложения.

В итоге получили в целом точно идентифицируемую модель спроса и предложения.

Пусть структурное уравнение спроса имеет временной тренд (скажем, потому что привычки медленно меняются со временем):

(3.12)

где t – переменная времени, а r – коэффициент при ней.

В модели спроса имеются две экзогенные переменные x, t, которые можно использовать в качестве инструментальных для P в уравнении предложения.

В итоге получили сверхидентифицируемое уравнение предложения, и точно идентифицируемое уравнение спроса.

Ненулевое ограничение

Добавление экзогенной переменной не есть единственный способ, который может привести к идентифицируемости уравнения. В некоторых случаях неидентифицируемая модель может быть идентифицируема путем задания соотношения между структурными коэффициентами.

Рассмотрим неидентифицируемую модель спроса и предложения (3.10).

Улучшим спецификацию модели, введя ограничения на коэффициенты s = –e:

(3.13)

Благодаря введению ограничения на коэффициенты уравнение предложения также стало идентифицируемым.

Действительно, при использовании ИП можно рассмотреть новую версию модели как систему из четырех уравнений:

(3.14)

где P₁ – цена товара для продавца (сумма, остающаяся у него после уплаты налога).

Последние два уравнения системы (3.14) являются уравнениями-тождествами и не требуют проверки на идентификацию.

Переменная T не включена в уравнение спроса, поэтому она может использоваться как инструментальная для P. Точно так же эта переменная не включена в уравнение предложения, поэтому она может использоваться как инструментальная для P₁.

В итоге модель в целом является точно идентифицируемой.

Вывод. Ненулевое ограничение позволяет исключить одну объясняющую переменную из уравнения. Если эта переменная эндогенная, для нее не нужно искать инструментальную переменную, если экзогенная, то она освобождается на роль инструментальной для одной из эндогенных переменных, оставшихся в уравнении.

Пример 3.5. Опишем процедуру оценивания структурной модели (3.13). Модель имеет две эндогенные переменные (Y , P) и одну экзогенную (T).

Было показано, что исходная модель точно идентифицируема, и поэтому для оценки ее структурных коэффициентов используем КМНК.

Разрешая исходную систему относительно Y , P, получим приведенную систему

где

(3.15)

Пусть имеются следующие наблюдений:

T	0	2	5	8	10	12	14
P	40	42	43	44	45	48	49
Y	70	68	63	61	60	56	52

Оцененные уравнения приведенной системы, полученные по выборочным данным с использованием МНК, есть:

т.е. оценки

Тогда соотношения (3.15) имеют вид:

Отсюда получаем следующие оценки структурных коэффициентов:

a = 150, b = –2, d = –50, e = 3.

Замечание. Перейти от приведенной формы модели к структурной с учетом соотношения (3.14) можно сделать также следующим образом.

Выразив T из первого уравнения приведенной формы в виде и подставив его во второе, получим , т.е. a = 150, b = –2.

Выразив T из первого уравнения приведенной формы в виде , где P₁= P – T и подставив его во второе, получим , т.е. d =–50, e = 3.

Анализ методов оценивания

Приступать к оцениванию того или иного структурного уравнения системы имеет смысл после того, как установлено его идентифицируемость. Для установления идентифицируемости можно использовать ИП.

Для решения точно идентифицируемого уравнения применяется КМНК, а для решения сверхидентифицированного уравнения – ДМНК.

Анализ рассмотренных примеров позволяет сформулировать их основные этапы.

Этапы КМНК:

1. Структурная модель преобразуется в приведенную форму.

2. Для каждого приведенного уравнения обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты.

3. Оценки приведенных коэффициентов преобразуются в оценки параметров структурных уравнений.

Этапы ДМНК:

1. На основе приведенной формы модели получают для сверхидентифицированного уравнения теоретические (расчетные) значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения.

2. Подставляя теоретические значения эндогенных переменных вместо их фактических значений в сверхидентифицируемое уравнение и применяя обычный МНК, определяют его структурные коэффициенты.

Метод получил название двухшагового, так как МНК используется дважды: при нахождении теоретических значений эндогенных переменных из приведенной формы модели и при определении структурных коэффициентов по теоретическим значениям эндогенных переменных и исходным данным экзогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

– все уравнения системы сверхидентифицируемы;

– система наряду со сверхидентифицируемыми содержит точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверидентифицируемы, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК.

Пример 3.6. Рассмотрим следующую идентифицируемую эконометрическую модель с двумя эндогенными (y₁, y₂) и двумя экзогенными (x₁, x₂) переменными:

(3.16)

Имеются следующие выборочные данные (у. е.):

y₁	y₂	x₁	x₂
2	5	1	3
3	6	2	1
4	7	3	2
5	8	2	5
6	5	4	6

Для точно идентифицируемой структурной модели применим КМНК.

Приведенная форма модели есть:

Оцененные уравнения приведенной системы, полученные по выборочным данным с использованием МНК, есть

(3.17)

Перейдем от приведенной формы модели к структурной.

Для этой цели из первого уравнения приведенной формы модели надо исключить x₂, выразив его из второго уравнения приведенной формы:

и подставить в первое, а из второго уравнения приведенной формы модели следует исключить x₁, выразив его из первого уравнения приведенной формы:

и подставить во второе.

В результате получим следующую структурную форму модели:

(3.18)

Замечание. Покажем, что для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК

Из уравнений (3.17) можно найти расчетные значения эндогенных переменных . Подставляя их вместо фактических y₁, y₂ в правую часть структурной модели (3.16) и применяя обычный МНК к каждому уравнению модели, получим тот же результат, что и КМНК.

Расчетные данные для использования ДМНК приведены в таблице:

y₁		x₁	y₂		x₂
2	6,303	1	5	2,657	3
3	6,242	2	6	2,763	1
4	6,164	3	7	3,989	2
5	6,220	2	8	4,256	5
6	6,070	4	5	6,334	6

Пример 3.7. В идентифицируемой модели (3.16) примера 3.6 наложим ограничение на ее параметры b₁₂ = a₁₁, тогда придем к модели:

(3.19)

В результате первое уравнение стало сверхидентифицируемым:

G = 1(y₁), D = 1(x₂) и D > G – 1.

Второе уравнение не изменилось и является точно идентифицируемым:

G = 2(y₁, y₂), D = 1(x₁) и D = G – 1.

При использовании тех же данных, что и в примере 3.6, получим ту же систему приведенных уравнений:

(3.20)

Для определения структурных коэффициентов второго, точно идентифицируемого уравнения системы (3.19) применяем КМНК. Его структурная форма, найденная из системы приведенных уравнений та же, что и в примере 3.6.

Для определения структурных коэффициентов первого, сверхидентифицируемого уравнения системы (3.19) используем ДМНК. На основе второго уравнения приведенной системы (3.20) находим расчетные значения эндогенной переменной. Подставляя их вместо фактических y₂ в первое уравнение системы (3.19) и применяя обычный МНК, получим решение поставленной задачи.

Исходные данные при использовании ДМНК следующие:

y₁	x₁
2	1	6,304	7,304
3	2	6,242	8,242
4	3	6,164	9,164
5	2	6,220	8,220
6	4	6,069	10,069

Окончательно, рассматриваемая система уравнений составит:

Глава 3. Системы одновременных уравнений

Сложные экономические процессы описываются с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают следующие виды эконометрических систем.

Дата: 2019-02-02, просмотров: 193.

12 3 4 Следующая ⇒