Вывод дифференциального уравнения для нестационарного режима в подвижной среде с внутренними источниками теплоты в декартовой системе координат.

Рассмотрим процессы происходящие в подвижной среде с внутренними источниками теплоты (токи Фуко, парообразование, конденсация).

Выделим в подвижной среде элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz.

Запишем уравнение теплового баланса для данного случая

,

где  – изменение энтальпии;

 – подводимое количество теплоты;

      – внутреннее изменение теплоты.

Вывод уравнения производим при следующих условиях:

q_v = const (q_v – удельная производительность внутренних источников теплоты).

l = const – коэффициент теплопроводности.

Чтобы построить математическую модель этого объекта надо все параметры увязать в одно уравнение.

Изменение энтальпии

,

где  - объем;  - изменение температуры во времени.

Определяем подводимое количество теплоты

 - входящий поток по направлению оси x.

где - поверхность, через которую проходит тепловой поток по направлению оси x.

 - количество теплоты, выходящее из элементарного параллелепипеда в направлении оси x,

где  - температурный градиент.

- количество теплоты, аккумулированной элементарным объемом в направлении x .

 - результирующее количество теплоты.

Запишем уравнение теплового баланса:

разделим это уравнение на , тогда:

- дифференциальное уравнение второго порядка.

 - коэффициент температуропроводности  является мерой теплоинерционных свойств материалов. Приводится в таблицах, определяется экспериментально.

Температура обладает полным дифференциалом, значит:

 - локальная составляющая изменения температуры во времени;

 - составляющая скорости по оси x;

- конвективная составляющая изменения температуры.

- дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовой системе координат или уравнение Фурье-Кирхгофа для подвижной среды при нестационарном режиме.

Частные случаи дифференциального уравнения теплопроводности.

1. Для неподвижной среды (для твердого тела).

- без внутренних источников теплоты для трехмерного случая.

где  - оператор Лапласа второго порядка (сумма вторых производных).

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности для твердого тела в цилиндрической системе координат.

Простейший случай дифференциального уравнения теплопроводности для одномерного стационарного поля.