При воздействии на систему множества факторов (оцениваемых количественно или качественно) устанавливается связь между ними и признаком. Факторы – независимые случайные переменные, признак – зависимая случайная переменная. В качестве характеристики изменения признака используется полная дисперсия. Задача дисперсионного анализа – разложение полной дисперсии на составляющие:

, (2.1)

где – полная дисперсия, характеризующая изменчивость признака у в данной серии экспериментов; – cоставляющая полной дисперсии, обусловленная изменчивостью i-го фактора или взаимодействия факторов; α_i – коэффициент, характеризующий объем наблюдений; – дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов

Для решения вопроса о том, существенно ли влияние данного фактора на признак, используется критерий Фишера:

, (2.2)

где α – уровень значимости, характеризующий вероятность, с которой определяется существенность исследуемого фактора; f_i – число степеней свободы дисперсии (у), характеризующее количество информации, использованное для ее вычисления; f_ош – число степеней свободы дисперсии , характеризующее количество информации, использованное для ее определения, т.е. значимость оценивается на фоне шумового поля, создаваемого действием неучтенных факторов и ошибки эксперимента.

Модель однофакторного дисперсионного анализа

у_ik = μ + A_i + ε_ik , (2.3)

где у_ik – значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне при k-м повторении опыта; μ – математическое ожидание признака у, оценка которого вычисляется по результатам всех наблюдений; А_i – влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); ε_ik ошибка эксперимента и действие неучтенных факторов, когда фактор А находится на i-м уровне при k-м повторении опыта.

Для проведения анализа необходимо фактору А придавать различные значения, т. е. исследовать на различных уровнях i,
i = 2, 3,…, а; а_min = 2; k – число наблюдений на каждом уровне, k = 3, 4, …, n; k_min = 3. В случае однофакторного дисперсионного анализа общее число наблюдений N = a · n.

Проведя опыты, можно найти общую среднюю и средние значения по уровням наблюдений и определить суммарные квадраты.

Q = – полный суммарный квадрат, характеризующий полную изменчивость признака.

– суммарный квадрат, характеризующий отклонения групповых средних от общей средней, он определяет изменчивость признака от действия фактора А и межгрупповой ошибки эксперимента, число степеней свободы f₁ = a – 1.

– суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов внутри групп наблюдений.

Поскольку опыты производятся в однородных условиях (это предпосылка проведения дисперсионного анализа), то межгрупповая дисперсия ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов и общая дисперсия ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов однородны. По сути, это одна и та же дисперсия, оценки которой вычисляются по разному объему выборок из одной и той же совокупности экспериментальных данных, поэтому ее оценка , где f₂ – число степеней свободы, f₂ = N – a. Учтя это и определив оценку дисперсии , можно записать

,

откуда

и . (2.4)

Вклад фактора в изменчивость признака вычисляется по формуле

В_вкл = [S²_A(y)/S²_п(у)]·100 %, (2.5)

где S²_A(y), S²_п(y) – соответственно оценка дисперсии, характеризующая вклад фактора в изменчивость признака, и полная дисперсия, характеризующая полную изменчивость признака.

Расчетные зависимости для рационального подсчета численных значений суммарных квадратов имеют вид

; ;

. (2.6)

Пример. По данным источника [13] исследовать влияние местонахождения пункта продаж (Минск, Москва) на средние цены (тыс. долл США) легковых подержанных автомобилей марок БМВ, «Опель-Астра», «VW–Гольф», «Форд-Мондео» в ноябре 2000 г., имеющих в первом приближении одинаковое техническое состояние.

В табл. 13 приведены цены на автомобили в Минске и Москве, а также необходимые расчетные параметры.

Таблица 13
Вычисление показателей для расчета влияния местонахождения пункта продаж на средние цены подержанных автомобилей

№ п/п	Местонахождение пункта продаж		Суммы
	Минск	Москва
1	2	3	4
1	5,0	6,8
2	3,1	4,1
3	2,3	5,0
4	4,1	5,1
5	5,3	7,2
6	2,8	4,2
1	2	3	4
7	3,4	5,4
8	3,8	5,4
i	3,7	5,4
j	1,1	1,2
Σу	29,8	43,2	= 73
Σу2	118,6	241,9	= 360,5
(Σу)2	888,0	1866,2	= 2754,2

Решение. Приведенные значения параметров вычисляют по следующим формулам:

Вначале проверяют однородность оценок дисперсий по уровням наблюдений. Вычисляют значение F-статистики:

.

Следовательно, оценки дисперсий однородны, дисперсионный анализ можно проводить, поскольку с достаточным уровнем доверительной вероятности неучтенные факторы и неизбежная ошибка эксперимента существенно не повлияли на изменчивость признака.

Значения сумм для первого столбца данных (Минск):

Σу = 5,0 + 3,1 + …+ 3,8 = 29,8;

Σу² = 5,0² + 3,1² +…+ 3,8² =118,6;

(Σу)² = 29,8²=888,0.

Для второго столбца (Москва):

Σу = 6,8 + 4,1 +…+ 5,4 = 43,2;

Σу² = 6,8² + 4,1² +…+ 5,4² = 241,9;

(Σу)² = 43,2² = 1866,2.

Для третьего столбца (суммы):

= 29,8 + 43,2 = 73;

= 118,6 + 241,9 =360,5;

= 888,0 + 1866,2 =2754,2.

Вычисляют значения суммарных квадратов:

Оценка дисперсии, характеризующая изменение признака от воздействия фактора (местонахождения пункта продаж) и внутригрупповой ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при числе степеней свободы f₁ = a – 1 = 2 – 1 = 1

Оценка дисперсии, характеризующей воздействие на признак ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при числе степеней свободы f₂ = N – a = 16 – 2 = 14

Значимость фактора (местонахождения пункта продаж) оценивается F-критерием при уровне значимости α = 0,05 и числах степеней свободы f₁ = 1 и f₂ = 14 (табл. 10 приложения), проверяется нулевая гипотеза Н₀: S²₁(y) > S²₂(y) при конкурирующей Н₁: S²₁(y) ≤ S²₂(y):

Поскольку значение F-статистики превышает критическое значение F_кр, гипотеза о существенности фактора не отвергается.

Значение оценки дисперсии S²_А(у):

Величина оценки полной дисперсии

S²_п (у) = 1,26 + 1,16 = 2,42.

Вклад фактора – местонахождения пункта продаж автомобилей – в формирование цены на подержанный автомобиль

В_вкл = (1,26 / 2,42)100% = 52 %.

Следовательно, цена на подержанный автомобиль на 52% зависит от места нахождения пункта продаж.