Регулярный поток:
Здесь , что и обозначено на рис.1.10. Из теории вероятностей известно, что плотность вероятности неслучайной величины определяется дельта-функцией.
Рис.1.10. Регулярный поток.
Поэтому для постоянного интервала можно записать
. (1.46)
Напомним здесь основные свойства дельта-функции.
1. Фильтрующее свойство. Если - произвольная функция (без разрывов в 0), то справедливо соотношение
. Здесь – малая константа.
2. При . Естественно, что и в бесконечных пределах интегрирования результат будет такой же. Это позволяет утверждать, что дельта-функция как плотность вероятности удовлетворяет условию нормировки.
3. при .
4. .
Вернемся к регулярному потоку. Для него очевидно . Найдём плотность вероятности интервала, на который падает точка S
. (1.47)
Как видно из (1.47) случайная точка S никак не изменяет вероятностные свойства интервала, на который она попадает. Найдём закон распределения времени q от случайной точки до очередного события
. (1.48)
Получился равномерный закон для плотности вероятности. В этом нет ничего удивительного, если вспомнить, что при падении точки S было предположено, что она с равной вероятностью может попасть в любой бесконечно малый промежуток интервала Т*. Найдём числовые характеристики распределения (1.48).
Из формулы (1.26) .
Из формулы (1.27) .
Характеристическая функция:
. (1.49)
Регулярный поток для моделирования потока событий используется редко, так как он обладает неограниченным последействием, т.е., зная лишь один момент наступления события в регулярном потоке, можно восстановить всё прошлое и предсказать всё будущее потока.
Нормальный поток.
По определению одномерная нормальная плотность вероятности имеет вид (формула записана применительно к случайной величине Т ):
. (1.50)
В (1.50) - среднее значение и - дисперсия распределения. График нормальной плотности приведен на рис.1.11.
Рис.1.11. График нормальной плотности вероятности.
Строго говоря, интервал времени не может быть распределён по нормальному закону, так как область определения нормального закона . Однако, если выполняется условие , то этот закон можно приближенно использовать.
Устремим . Тогда из (1.50) следует:
. (1.51)
Плотность распределения интервала, на который случайным образом упала точка S:
. (1.52)
Соответственно плотность вероятности интервала от точки S до наступления очередного события имеет вид
, (1.53)
где
. (1.54)
Характеристическая функция нормального распределения
. (1.55)
Поток Эрланга
Поток Эрланга получается путём особого преобразования («разрежения») простейшего потока. Это преобразование осуществляется путём выбрасывания некоторых событий из простейшего потока. Процесс «разрежения» потока поясняется на рис.1.12, где буквой П обозначен простейший поток.
Если выбрасывается каждая вторая точка, то получается Э1 – поток Эрланга первого порядка. Если выбрасывается два события подряд и оставляется каждое третье, то получается Э2 – поток Эрланга второго порядка и т.д.
Потоком Эрланга k -го порядка называется поток Пальма, у которого интервалы между событиями представляют собой сумму ( k +1) независимых случайных величин, распределённых одинаково по экспоненциальному закону с параметром , где - интенсивность простейшего потока и
Рис.1.12. «Разрежение» простейшего потока.
При получается исходный простейший поток П.
Для простейшего потока характеристическая функция интервала времени между соседними событиями определяется в виде . Из свойств характеристической функции следует, что для суммы независимых интервалов характеристическая функции будет иметь вид. . Поэтому для Эk можно записать .
Совершая обратный переход от характеристической функции к плотности вероятности, получим для Эk:
. (1.56)
Функция распределения для этой плотности имеет вид
. (1.57)
Соответственно числовые характеристики определяются как ,
.
При достаточно большом k (k>5) поток Эk можно считать приближённо нормальным. Это следует из того, что в Эk суммируется k+1 независимых величин (интервалов), распределённых одинаково, а такая сумма согласно центральной предельной теореме теории вероятностей (ЦПТ) при асимптотически нормальна.
Дата: 2019-02-02, просмотров: 246.