Пуассоновский поток – это поток обладающий двумя свойствами – ординарностью и отсутствием последействия.

Понятие ординарности было объяснено выше, а свойство отсутствия последействия можно сформулировать следующим образом: для двух неперекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих в один интервал, не зависит от того, сколько событий попало в другой.

Пусть дан стационарный поток с интенсивностью . Из ординарности потока следует:

 - вероятность наступления одного события за время :

 - вероятность ненаступления события                           

Рассмотрим интервал , представленный на рис. 1.6. Из независимости (отсутствия последействия) событий на соседних интервалах следует, что вероятность наступления k событий на m интервалах определяется биномиальной формулой:                              

                           ,                     (1.28)

где число сочетаний .

Рис. 1.6. К определению пуассоновского потока событий.

Для вычисления факториалов используем формулу Стирлинга   

                                                           (1.29)

(при m=1 ошибка вычислений по (1.29) составляет 8%, при m=100 ошибка - 0,08%), а для вычисления  при

 - второй замечательный предел . 

С учетом сделанных замечаний формула (1.28) преобразуется к виду

                           ,                           (1.30)                                            и именно в таком виде она известна как распределение Пуассона, где k=0,1,2,... Вид этого дискретного распределения приведен на рис.1.7.

                       Рис.1.7. Распределение Пуассона

Заметим, что распределение Пуассона удовлетворяет ус-ловию нормировки .      

В случае нестационарного потока распределение Пуассо-на записывается в виде:  

                      ,                       (1.31)

где -среднее число событий, наступающих на интервале T, примыкающем к моменту t ,

                               ,

а  - интенсивность нестационарного потока.

В стационарном случае  и получа-ется формула (1.30).

Найдем среднее и дисперсию распределения Пуассона. Среднее:             

                           .                       (1.32)

Вычисление (1.32) иллюстрируется следующими соотношения-ми (с учетом условия нормировки)                           

    .

Дисперсия:                        

        .      (1.33)

Здесь необходимо отметить, что распределение Пуассона обладает уникальным свойством – равенством среднего и дисперсии, - что отличает его от всех известных распределений и может служить признаком при идентификации распределения на практике. Из отношения

следует, что при больших  распределение тесно группиру-ется около среднего. Оценкой l может служить величина , где n - измеренное на практике число событий на интервале Т.

Стационарный пуассоновский поток событий называет-ся простейшим потоком.

Рассмотрим теперь интервалы времени t (см. рис.1.8) между событиями в стационарном пуассоновском потоке, которые представляют собой непрерывные случайные величины.

Возьмем начальный интервал времени (он ничем не отличается от всех остальных), и отметим после 0 некоторую точку x . На интервале (0, x) не будет ни одного события, если . 

Рис.1.8. Анализ интервалов времени в пуассоновском потоке

Вероятность выполнения этого неравенства может быть вычислена по формуле (1.30) для  с учетом того, что х=Т

                          .

Далее:                    

Последнее выражение - это (по определению) функция распределения случайной величины t , т.е. . Но тогда  

                             ,                     (1.34)

т.е. для пуассоновского потока t имеет экспоненциальное расп-ределение для  (см. рис. 1.9).

Рис.1.9. Экспоненциальное распределение.

Характеристики экспоненциального распределения:

 среднее -  ,

 дисперсия - .

Если случайная точка S попадает на интервал  между событиями в пуассоновском потоке (см. предыдущий параграф), то

                     .                (1.35)

Формула (1.35) – это распределение Эрланга 1-го порядка. При этом согласно формулам (1.17), (1.18) получим 

                     и .

Сравнивая  и , а так же  и , можно утверж-дать, что наличие случайной точки S в каком-либо интервале пуассоновского потока “раздвигает” его, увеличивая среднее и дисперсию вдвое.

Теперь найдем  для пуассоновского потока.

            ,            (1.36)

что совпадает с экспоненциальным распределением, спра-ведливым для интервала времени между событиями в пуассоновском потоке, т.е. случайная величина q распределена так же, как и T . Это является формой проявления свойства отсутствия последействия. Любая информация о том, как вел себя поток до точки S, не дает нам сведений о том, что произойдет после точки S.

Вычислим характеристическую функцию интервала между соседними событиями в простейшем потоке.                                          

.   (1.37)   

Итак, поток Пальма является простейшим, если характеристическая функция интервала между соседними событиями равна  .

В заключение отметим одно важное свойство пуассоновского процесса. Пусть есть m пуассоновских потоков с интенсивностями , , … . Объединим эти потоки. Тогда объединенный поток будет опять пуассоновский с интенсивностью . Покажем справедливость этого утверждения.

Пусть - число событий i-го процесса в промежутке , i=1,2…m.  - число событий в объединенном процессе.

         ,

 где . Ответ становится очевидным, если учесть, что  в степени выше первой является величиной высшего порядка малости по сравнению с .

Аналогично: .