Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Цель: знакомство с развитием комбинаторики, формирование навыков вычисления размещений, сочетаний и перестановок

Вид работы: индивидуальный.

Время выполнения: 4 часа.

Теоретический материал

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).

До того, как та или иная область знания формируется в особую науку, она сначала проходит длительный период накопления эмпирического материала, потом развивается в недрах другой, более общей науки и лишь затем выделяется в самостоятельную ветвь. С задачами, в которых приходится выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшие расположения охотников во время охоты, воинов во время битвы, инструментов во время работы. Определенным образом располагались украшения на одежде, узоры на керамике, перья в оперении стрелы. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, обладающие следующей особенностью: при малом числе наблюдений над ними не замечается никакой зависимости, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. В рукописи ''Же Ким'' (''Книга перестановок'') показаны различные соединения этих знаков по два и по три. Восемь рисунков из трех рядов символов изображали землю, горы, воду, ветер, грозу, огонь, облака и небо (некоторые рисунки имели и иные значения). Неудивительно поэтому, что сумма первых 8 натуральных чисел (т. е. число 36) воплощала в представлениях древних китайцев весь мир. Понадобилось выразить по мере углубления знаний и другие элементы мироздания с помощью тех же знаков -- и -- --. Были составлены 64 фигуры, содержавшие уже пять рядов черточек. Надо полагать, что автор рукописи ''Же Ким'' заметил удвоенные числа рисунков при добавлении одного ряда символов. Это можно рассматривать как первый общий результат комбинаторики.

Конкретные комбинаторные задачи, касавшиеся перечисления небольших групп предметов, греки решали без ошибок. Аристотель описал без пропусков все виды правильных трехчленных силлогизмов, а его ученик Арисксен из Тарента перечислил различные комбинации длинных и коротких слогов в стихотворных размерах. Живший в IV в. н.э. математик Папп рассматривал число пар и троек, которые можно получить из трех элементов, допуская их повторения.

Области применения комбинаторики:

1. Производство (распределение нескольких видов работ между рабочими).

2. Агротехника (размещение посевов на нескольких полях).

3. Учебные заведения (составление расписаний).

4. Химия (анализ возможных связей между химическими элементами).

5. Лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв).

6. Азартные игры (подсчёт частоты выигрышей).

7. Экономика (анализ вариантов купли-продажи акций).

8. Спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками).

9. Военное дело (расположение подразделений).

Перестановками из  элементов называются соединения, которые состоят из одних и тех же  элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.

Число перестановок из  элементов обозначают  и читают «пэ энное». Формула числа перестановок  из  различных элементов:

,

.

Произведение первых  натуральных чисел обозначают  (читается «эн факториал»), т. е. , причём по определению . Таким образом,

                                           (37.1)

Размещениями из  элементов по  элементов ( ) называются такие соединения, каждое из которых содержит  элементов, взятых из данных  разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число всевозможных размещений из  элементов по  элементов обозначают  и читают «А из эм по эн».

Формула для вычисления  - числа размещений из  элементов по  элементов имеет следующий вид:

        (37.2)

Например, .

Отметим, что правая часть формулы (2) содержит произведение  последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно . Пусть в формуле (2) . Тогда

т. е. число размещений из  элементов по  равно числу перестановок из этих элементов:

                            (37.3)

Сочетаниями из  элементов по  в каждом ( ) называются соединения, каждое из которых содержит  элементов, взятых из данных  разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Число всевозможных сочетаний из  различных элементов по  элементов обозначают  и читают «це из эм по эн».

Формула для подсчёта числа сочетаний из  различных элементов по  элементов в каждом имеет следующий вид:

                           (37.4)

Рассмотрим свойства сочетаний, которые в ряде случаев упрощают вычисления при решении задач.

1. .

2. Рекуррентное свойство

Пример 1. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3?

Решение. В качестве первой цифры может быть выбрана любая из цифр 1, 2, 3 (т. е. ). Второй цифрой может быть выбрана любая из четырёх данных цифр 0, 1, 2, 3 (т. е. ). Согласно правилу произведения число всевозможных двузначных чисел, составленных с помощью предложенных цифр, равно .

Ответ: 12 чисел.

Пример 2. Сколькими способами можно положить 6 различных открыток в 6 имеющихся конвертов (по одной открытке в конверт)?

Решение. Задача сводится к нахождению числа перестановок из 6 элементов. По формуле (1) находим: .

Ответ: 720 способами.

Пример 3. Сколько существует способов выбора двух карт из колоды в 36 карт?

Решение. Изымаемые из колоды всевозможные пары карт без учёта порядка их расположения в наборе образуют сочетания из 36 по 2. По формуле (4) находим

Ответ: 630 способов.

Задания к практической работе

Задание 1. Сколько различных двузначных чисел с разными цифрами можно записать, используя цифры:

1) 1, 2 и 3;

2) 4, 5 и 6;

4) 6, 7, 8 и 9;

6) 0, 3, 5 и 7?

Задание 2. Сколько различных трёхзначных чисел, не имеющих одина­ковых цифр, можно записать с помощью цифр:

1) 3, 4 и 5;

2) 7, 8 и 9;

3) 5, б, 7 и 8;

4) 1, 2, 3 и 4?

Задание 3. Сколько различных четырёхбуквенных слов можно записать с помощью букв:

1) «м» и «а»;

2) «п» и «а»;

3) «к», «а» и «о»;

4) «ш», «а» и «л»?

Задание 4. Путешественник может попасть из пункта А в пункт С, про­ехав через пункт В. Между пунктами А и В имеются три различные дороги, а между пунктами В и С - четыре различные дороги. Сколько существует различных маршрутов между пунктами А и С?

Задание 5. Сколькими способами могут распределиться золотая и серебряная медали на чемпионате по футболу, если в нём принимают участие 32 команды?

Задание 6. Сколькими способами можно составить расписание 5 уроков на один день из 5 различных учебных предметов?

Задание 7. Сколькими способами могут занять очередь в школьный буфет:

1) 6 учащихся;

2) 5 учащихся?

Задание 8. Сколько различных шифров можно набрать в автоматиче­ской камере хранения, если шифр составляется с помощью любой из 10 гласных букв с последующим трёхзначным числовым кодом?

Задание 9. Найти значение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 10. Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы:

1) первой была цифра 5, а второй - цифра 1;

2) последними были цифры 1 и 2, расположенные в любом порядке?

Задание 11. Упростить форму записи выражений (полагая, что  - натуральное число, ):

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Задание 12. Найти значения выражения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Задание 13. Упростить выражение (буквами  и  обозначены натуральные числа)

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 14. Решить уравнение относительно :

1) ;

2) .

Задание 15. Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове:

1) гипотенуза;

2) треугольник?

Задание 16. Сколько различных шестизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 4, можно записать с помощью цифр 1, 3, 5, 6, 7 и 9?

Задание 17. В классе изучают 8 предметов естественно-математического цикла. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу, если в этот день должны быть:

1) 5 уроков из пяти разных предметов этого цикла;

2) 6 уроков из шести разных предметов этого цикла.

Задание 18. Сколько существует способов для обозначения с помощью букв А, В, С, D, Е, F вершин данного:

1) четырёхугольника;

2) треугольника?

Задание 19. В классе 20 человек. Сколькими способами из их числа можно сделать назначение: 1) физорга и культорга; 2) физорга, культорга и казначея?

Задание 20. Найти значение выражения:

1) ;

2) ;

Задание 21. Решить относительно  уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 22. Сколькими способами для участия в конференции из 9 членов научного общества можно выбрать:

1) троих студентов;

2) четверых студентов?

Задание 23. В помещении 16 ламп. Сколько существует вариантов его освещения, если одновременно должны светиться:

1) 15 ламп;

2) 14 ламп?

Задание 24. На плоскости отмечено: 1) 16 точек; 2) 13 точек, причём никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько различных отрезков можно построить, соединяя эти точки попарно?

Задание 25. В школьном хоре 7 девочек и 4 мальчика. Сколькими способами из состава хора можно выбрать для участия в районном смотре:

1) 5 девочек и 2 мальчиков;

2) 4 девочек и 3 мальчиков?

Задание 26. Найти значение выражения, предварительно его упростив:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задание 27. Решить уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Контрольные вопросы:

1. Что называют перестановками из  элементов. Приведите примеры.

2. Что называют размещениями из  элементов по  элементов. Приведите примеры.

3. Что называют сочетаниями из  элементов по  элементов. Приведите примеры.

Рекомендуемая литература: 1.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Основная:

1.1 Кремер, Н. Ш. Математика для колледжей : учебное пособие для

СПО / Н. Ш. Кремер, О. Г. Константинова, М. Н. Фридман ; под ред. Н. Ш. Кремера. — 10-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 346 с.

    1.2 Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике в 2 ч. Часть 1 : учебное пособие для СПО / Н. В. Богомолов. — 11-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 285 с.

    1.3 Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике в 2 ч. Часть 2 : учебное пособие для СПО / Н. В. Богомолов. — 11-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 217 с.

    1.4 Богомолов, Н. В. Алгебра и начала анализа : учебное пособие для СПО / Н. В. Богомолов. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 200 с.

    1.5 Далингер, В. А. Методика обучения стереометрии посредством решения задач : учебное пособие для СПО / В. А. Далингер. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 370 с.

 

2. Дополнительная:

2.1 Шипачев, В. С. Математика : учебник и практикум для СПО / В. С. Шипачев ; под ред. А. Н. Тихонова. — 8-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2017. — 447 с.

2.2 Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для академического бакалавриата / Н. Ш. Кремер. — 4-е изд., перераб. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2017. — 514 с.

 

 

Учебное издание