Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Пример 8. Решить уравнение .

Решение: для решения данного уравнения используем формулу:

; получаем:

, выносим за скобки

1) ;

2) .

Ответ: .

Пример 9. Решить уравнение .

Решение: используем формулу приведения и запишем исходное уравнение в виде:

Используем формулу суммы косинусов , получаем: или .

Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение: применим формулу для суммы синусов:

Получаем:

Ответ: .

Пример 11. Решить уравнение .

Решение:

Поэтому, исходное уравнение примет вид:

Заметим, что числа содержатся среди чисел вида , так как если , то . Следовательно, первая серия корней содержится во второй.

Ответ:

Задания к практической работе

Задание 1. Решить уравнение:

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;
17. ;	18. ;
19. ;	20. ;
21. ;	22. ;
23. ;	24. ;
25. ;	26. ;
27. ;	28. ;
29. ;	30. ;
31. ;	32. ;
33. ;	34. ;
35. ;	36. ;

Задание 2. Найти все значения a, при которых уравнение

имеет корни, и решить это уравнение.

Контрольные вопросы

1. Какие уравнения называются тригонометрическими?

2. Что называется корнем тригонометрического уравнения?

3. По каким формулам находят решения простейших тригонометрических уравнений?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4.

Практическая работа № 34

Тема: Показательные, логарифмические неравенства

Цель: формирование навыков решения показательных и логарифмических неравенств.

Вид работы: индивидуальный.

Время выполнения: 2 часа.

Теоретические сведения

Решение показательных неравенств часто сводится к решению нера- венств или .

Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции: для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Пример 1. Решить неравенство: .

Решение. Запишем неравенство в виде . Так как , то функция является возрастающей. Поэтому решениями неравенства являются числа .

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство: .

Решение. Запишем неравенство в виде , или .

Так как функция - убывающая функция, то .

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство: .

Решение. Запишем неравенство в виде . Так как , то , откуда .

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство: .

Решение. Пусть , тогда получим квадратное неравенство . Решаем его и получаем: и . Вернемся к замене:

1) - не имеет решений, так как при всех .

2) .

Ответ: .

Пример 5. Решить графически уравнение: .

Рисунок 34.1 – графики функций и

Решение. В одной системе координат построим графики функций

и (рис. 34.1). Из рисунка видно, что графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой .

Проверка показывает, что - корень данного уравнения:

и .

Ответ: .

При изучении логарифмической функции рассматривались неравенства вида: и . Приведем примеры решения более сложных логарифмических неравенств. Обычный способ решения таких неравенств заключается в переходе от них к более простому неравенству или системе неравенств, имеющей то же самое множество решений, т.е. к равносильному неравенству или к равносильной системе неравенств.