Элементы теории ошибок измерений

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Элементы теории ошибок измерений

Оценка точности равноточных измерений

Измерения, выполненные в одинаковых условиях, равным числом приёмов измерений, одним и тем же прибором называют равноточными.

а) Понятие точности измерений, арифметической средины

Под точностью измерений понимают качество измерений, определяющее близость их результатов к точному значению измеряемой величины.

В какой последовательности выполняют оценку точности результатов равноточных измерений?

Её выполняют в следующей последовательности:

- вычисляют значение арифметической средины X ( среднего арифметического ) ;

- вычисляют значение средней квадратической ошибки ( ср. кв.ош. ) m отдельного измерения;

- вычисляют значение ср.кв.ош. М арифметической средины.

Что понимают под арифметической срединой? Каким образом её определяют по результатам измерений?

Если в результате равноточных измерений получен ряд измеренных величин l ₁ , l ₂ , l ₃... l _n_,а X - точное значение измеряемой величины, то можно написать ряд случайных ошибок: ₁ = l₁ - X ; ₂ = l₂ - X ... _n= = l _n - X /

Образовав сумму этих ошибок + ₂+ ₃+ ...+ _n= l₁ + l₂ + +l₃ +...+ l _n, получим [ ] = [ l ] - nХ.

Разделив обе части последнего соотношения на n, имеем

. ( 6 )

Согласно свойству случайных ошибок при стремится к нулю. Поэтому , то-есть .

Следовательно, среднее арифметическое из l измерений выражается формулой

. ( 7 )

Кроме того, среднее арифметическое из l измерений стремится к истинному значению измеряемой величины при большом числе измерений n.

E) Погрешности функций измеренных величин

В практике топографо-геодезических работ искомые величины часто определяют как функции измеренных величин. Полученные при этом результаты содержат ошибки, зависящие от вида функции и ошибок аргумента. Рассмотрим основные ошибки функций измеренных величин.

1) Функция вида z = x y ( 23 )

m ² _z= m ² _x + m² _y ; при m _x = m _y = m

m _z = m . ( 24 )

2) Функция вида z= kx ( 25 )

m _z= k m _x . ( 26 )

3). Функция вида

z = x y t .... .... u ( 27 )

m²_z = m²_x + m²_y + m²_t +... +... m² _u; ( 28 )

при m _x = m _y = m_t = ...= m _u = m

m _z = m , ( 29 )

где n - число аргументов.

4) Функция вида

z = k₁ x₁ k₂ x₂ k₃ x₃ ... k_nx_n ( 30 )

m² _z = k²₁ m ² _x+ k²₂ m² _x + k²₃ m ² _x+ ....+.... k² m² _x( 31 )

при к ₁ = к ₂ = к₃ =...=к _n = k

m² _z = k m . ( 32 )

5). Функция общего вида

z = f ( x ₁, x_2,x₃.... x _n) ( 33 )

m ²_z = m² + m ² +

+ m² + ... m² . ( 34 )

З) Относительная ошибка

Относительной ошибкой называют отношение абсолютной ошибки измерения к значению измеряемой величины.

Эта ошибка обычно выражается дробью, или в процентах. Она применяется для оценки точности линейных измерений, измерений площадей, объёмов и т.д.

Например, абсолютная ошибка измерения длины линии , а длина линии L = 500 м. Относительная ошибка

Следует отметить, что точность измерений часто оценивается относительной средней квадратической ошибкой, которая выражается отношением средней квадратической ошибки m измерений к результату измерения L, т.е. m / L .

Например, линия длиной L = 800 м измерена со ср.кв.ош. m = 4 см. Относительная средняя квадратическая ошибка в этом случае

Арифметического

Оценка точности результатов неравноточных измерений заключается в определении вероятнейшего значения весового арифметического среднего L_о , средней квадратической ошибки отдельного результата измерения , вес которого равен 1, и средней квадратической ошибки М _о арифметической средины.