Теория поведения потребителей
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Практическое занятие 2

Теория поведения потребителей

Функция совокупной (общей) полезности:

 

TU = F(QA,QB,..,QZ),

 

где ТU – совокупная (общая) полезность данного товарного набора;

QA,QB, …,QZ – объемы потребления товаров А, В, ..., Z в единицу времени.

Существует множество уравнений, описывающих данную функцию, но наиболее часто применяемым является:

TU = а + bq + cq² – dq³,

 

где q – количество потребленного товара;

a, b, c, d – положительные константы.

Предельная полезность – это прирост совокупной полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на одну единицу.

Математически предельная полезность товара есть частная производная совокупной полезности товарного набора по объему потребления i-того товара:

 

MU=dTU/dQ=TU`(Q),

 

где MU – предельная полезность товара.

Основное условие потребительского оптимума или Второй закон Госсена: для максимизации полезности потребитель должен таким образом распределить свой ограниченный бюджет, чтобы предельные полезности на один рубль, затраченный на последнюю единицу каждого товара, равнялись бы между собой:

MUА/PА=MUВ/PВ=…=MUZ/PZ,

 

а сумма всех затрат потребителя на товары и услуги плюс сбережения (S) соответствовала его денежному доходу (R), то есть:

 

PAQA+PBQB+…+PZQZ+S=R.

Если эти предельные полезности не равны, то совокупное удовлетворение может быть увеличено путем уменьшения расходов на товары с меньшей степенью полезности и увеличения затрат на товары с большей степенью полезности.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа)
2. Производная независимой переменной
3. Производная степени
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня

 

 

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного

 

Задача 1.

Индивид потребляет два блага в количествах x и y соответственно. Согласуются ли приведенные ниже функции полезности с аксиомами потребительских предпочтений? (да/нет):

Решение:

Аксиомы потребительских предпочтений:

1) полнота (сопоставимость любых потребительских наборов);

2) транзитивность;

3) ненасыщаемость («больше — лучше, чем меньше», предпочтительность набора, содержащего больший объем любого блага без уменьшения объемов остальных);

4) непрерывность;

5) выпуклость множества наборов, предпочтительных по отношению к любому данному.

Если система предпочтений потребителя задана функцией полезности, то аксиомы 1 и 2 тем самым выполняются. Аксиома 4 выполняется, если функция полезности непрерывна. Во всех вариантах а) – в) функции полезности непрерывны, так что требования аксиом 1, 2 и 4 можно считать выполненными.

Аксиома 3 выполняется, если функция полезности возрастает по каждому аргументу. Функция варианта а), очевидно, удовлетворяет этому требованию, варианта в) — нет, она является убывающей по каждому аргументу. Так как

 

т. е. значения функций б) и в) — взаимно обратные величины, функция б) является возрастающей (в чем можно убедиться и любым иным способом).

Аксиома 5 требует, чтобы каждая кривая безразличия ограничивала снизу выпуклую область. Это означает, что предельная норма замены MRSxy должна убывать с ростом x и возрастать с ростом y. Функция а) этому требованию не отвечает: соответствующие кривые безразличия – 90-градусные дуги окружностей с центром в начале координат.

Для функции б)

 

 

Так что

 

Таким образом, функция б) удовлетворяет всем аксиомам предпочтений.

Ответ:

а) нет; б) да; в) нет.

 

Задача 2

Предпочтения индивида характеризуются предельными нормами замещения MRSxy = 2, MRSxz = 0.8. Найти предельные нормы замещения а) MRSyx, б) MRSzx, в) MRSyz, г) MRSzy.

Решение

Если единица блага x замещается a единицами блага y с сохранением уровня полезности, то единица блага y замещается 1/a единицами блага x. Поэтому MRSyx = 1/MRSxy.

Если к тому же единица блага y замещается b единицами блага z при том же условии, то единица блага x замещается ab единицами блага z и поэтому MRSxy ∙ MRSyz = MRSxz.

Это позволяет найти все неизвестные предельные нормы замещения по известным MRSxy и MRSxz.

Комментарий.

Более формализованный подход связывает предельные нормы замены с производными функции полезности:

 

и т. п., откуда следуют приведенные выше соотношения. Заметим, что система предпочтений определяет функцию полезности неоднозначно: если функция U(x, y, …) описывает предпочтения данного потребителя, то точно так же их описывает функция U 1(x, y, …) = ϕ(U(x, y, …)), где ϕ – произвольная монотонно возрастающая функция. Но

 

так что отношение частных производных зависит не от количественной шкалы, в которой отображаются полезности, а лишь от предпочтений индивида.

Ответ:

а) 0.5; б) 1.25; в) 0.4; г) 2.5.

 

Задача 3

Предпочтения потребителя заданы в виде функции полезности U(x, y) = xy. Доход равен 800 ден.ед. Цены благ соответственно равны РX = 20, РY = 40. Чему будет равен набор для потребителя?

Решение:

Запишем задачу в общем виде:

Поскольку оптимум в этом примере является внутренним, то должно выполняться условие MRS XY = MUx / MUy = Px / Py или y / x = 20/40, т.е. х = 2у.

Таким образом, оптимальный набор должен находиться на прямой х = 2у и в то же время удовлетворять бюджетному ограничению. Получаем систему из 2-х линейных уравнений:

Ее решение дает оптимальный набор у E = 10; х E = 20. Графическая интерпретация этой задачи:

 

Задача  4

Домашнее хозяйство потребляет два блага в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией полезности U(x, y). Найти расходы потребителя на 1 и 2 блага, если а) U(x, y) = x3y2; б) U(x, y) = xαyβ.

Решение:

а) Прежде всего, определим предельную норму замены как функцию x и y: Ux = 3x2y2; Uy = 2x3y, отсюда

При ценах благ px, py в точке оптимума потребителя соотношение цен px/py равно предельной норме замены, так что

Или

Заметим, что pxx и pyy – это расходы потребителя соответственно на первое и второе блага. Отсюда ясно, как данный потребитель распределяет свой бюджет: долю 0.6 своего дохода он должен потратить на покупку первого блага, долю 0.4 – на покупку второго. Если его доход равен I, то объемы спроса на первое и на второе благо равны:

 

Каждое из приведенных равенств описывает функцию спроса на соответствующее благо.

б) Те же рассуждения применительно к более общему случаю приводят к соотношению:

 

Откуда

 

 

Функций полезности

 

Задача 5

Предпочтения потребителя представлены функцией U =  +  , где Н и М – взаимозаменяемые блага. Доход потребителя за неделю составляет 24 ден.ед. Цены заданы как Р H = 2, РM = 1. Сколько блага Н и блага М будет покупать каждую неделю потребитель, если он максимизирует свою полезность?

Решение:

Найдем предельную норму замещения для данной функции полезности

При снижении М и увеличении Н MRS HM > 0 и является убывающей функцией.

Если функцию полезности записать в виде  = U -  (*) или М = ( U - )2 , то очевидно, что М = 0 (кривая пересекает горизонтальную ось) при Н = U 2 . При Н = 0 кривая безразличия пересекает вертикальную ось в т. М = U2. Следовательно, можно представить карту кривых безразличий следующим образом (мы учитывали только левую ветку параболы (*), имеющей отрицательный наклон):

 

 

 

В точке оптимума должно выполняться условие касания кривой безразличия и бюджетной линии потребителя, т.е.

Отсюда, М = 4Н. Поскольку 2Н + М = 24, то оптимальный набор благ составляет НE = 4; МE = 16.

Оптимальный уровень полезности U = √4 + √16 = 6.

 

При данных предпочтениях потребитель всегда выбирает набор, в котором благо М в 4 раза больше, чем благо Н, т.е. допустимые наборы благ лежат на прямой М = 4Н.

Оптимальный выбор определяется как точка пересечения прямой М = 4Н и бюджетной линии 2Н + М = 24, что эквивалентно нахождению точки касания бюджетной линии и кривой безразличия 6 = √H + √M .

Это наивысший уровень полезности, который может быть достигнут при заданных ценах и уровне дохода.

Таким образом, в данном примере кривые безразличия пересекают оси координат, но оптимум является внутренним (Н > 0, М > 0).

 

Задача 6

Функция полезности потребителя U ( x , y ) = 3 x + y . Пусть Р X = 2, Р Y = 1, I = 24. Найдите оптимальный набор для потребителя.

Решение:

Товары х и у являются для потребителя совершенными заменителями, причем

Следовательно, потребитель всегда отказывается от 3 ед. товара y, чтобы увеличить на 1 ед. количество товара х в наборе, не меняя при этом уровень полезности. Таким образом, если отложить товар х по горизонтали, а товар у по вертикали, то наклон любой линии полезности будет равен – 3.

Наклон бюджетной линии равен – PX / PY =-2

Очевидно, в данном случае, чтобы максимизировать полезность, потребитель должен вообще не покупать товар у и все деньги потратить на покупку товара х. В этом случае его оптимальный набор Е(х, у):

уE = 0; хE = 24/PX = 24/2 = 12. Максимальный уровень полезности U(x,y) = 3·12 = 36.

 

Задача 7

Функция полезности потребителя имеет вид U(x, y) = min{x, 3y}. Цены благ РX = 2, РY = 1. Доход потребителя равен 140.

Определите координаты точки равновесия потребителя.

Решение:

Данная функция полезности характеризует такие предпочтения потребителя, при которых товары являются дополняющими друг друга в наборе. В данном примере товары х и у всегда входят в набор в соотношении y/x = 3/1

Следовательно, оптимальный набор может быть найден из условий:

Задача 8

Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров – х и у. Функция полезности для него имеет вид: U(x, y) = min{4x; 2x + y}. Нарисуйте карту кривых безразличия. Какой выбор сделает потребитель, если РX = 3, РY = 1, доход равен 20 ден.ед.?

Решение:

Чтобы представить карту кривых безразличия, запишем функцию полезности следующим образом:

Данные предпочтения графически можно показать следующим образом: область значений у > 2х

Оптимальный набор должен удовлетворять следующим условиям:

Задача 9

U(x, y) = 2 x + y. РX =1, РY = 2, I = 10. Найдите оптимальный выбор потребителя.

Решение:

Найдем предельную норму замещения. Поскольку MUX = 1/√x, MUY = 1, то предельная норма замещения блага у благом х зависит только от количества блага х и не зависит от количества блага у: MRS XY = MUX/MUY = 1/√x

Если зафиксировать количество блага х в наборе, то MRSXY будет постоянной величиной, как бы не менялось количество блага у.

Для оптимального выбора должны выполняться условия:

Отсюда получаем х0 = 4, у0 = 3. U0 ( х0, у0 ) = 2√4 + 3 = 7.

Итак, при заданных ценах и доходе в оптимальную корзину должно входить не только благо х, но и благо у. Если при тех же ценах на блага будет увеличиваться доход потребителя, то спрос на благо х останется неизменным, а спрос на благо у будет расти.

Задача 10

Потребитель имеет функцию полезности U(x, y) = xy + 10x. Его доход I = 10. Цены благ: РX = 1, РY = 2. Найдите оптимальный набор потребителя.

Решение:

Найдем предельную норму замещения функции полезности MRS XY = MUX/MUY = (y+10)/x.

 Для внутреннего оптимума должны выполняться условия:

Данный алгебраический ответ не имеет экономического смысла, поскольку объемы покупаемых благ должны быть неотрицательными. Таким образом, на бюджетном ограничении нет потребительского набора, при котором бюджетная линия является касательной к кривой безразличия. Следовательно, оптимум должен быть в угловой точке. Покажем оптимальный выбор на графике.

 

Практическое занятие 2

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа)
2. Производная независимой переменной
3. Производная степени
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня

 

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного

 

Задача 1.

Индивид потребляет два блага в количествах x и y соответственно. Согласуются ли приведенные ниже функции полезности с аксиомами потребительских предпочтений? (да/нет):

 

Задача 2

Предпочтения индивида характеризуются предельными нормами замещения MRSxy = 2, MRSxz = 0.8. Найти предельные нормы замещения а) MRSyx, б) MRSzx, в) MRSyz, г) MRSzy.

Задача 3

Предпочтения потребителя заданы в виде функции полезности U(x, y) = xy. Доход равен 800 ден.ед. Цены благ соответственно равны РX = 20, РY = 40. Чему будет равен набор для потребителя?

Задача 4

Домашнее хозяйство потребляет два блага в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией полезности U(x, y). Найти расходы потребителя на 1 и 2 блага, если а) U(x, y) = x3y2; б) U(x, y) = xαyβ.

Функций полезности

 

Задача 5

Предпочтения потребителя представлены функцией U =  +  , где Н и М – взаимозаменяемые блага. Доход потребителя за неделю составляет 24 ден.ед. Цены заданы как Р H = 2, РM = 1. Сколько блага Н и блага М будет покупать каждую неделю потребитель, если он максимизирует свою полезность?

Задача 6

Функция полезности потребителя U ( x , y ) = 3 x + y . Пусть Р X = 2, Р Y = 1, I = 24. Найдите оптимальный набор для потребителя.

Задача 7

Функция полезности потребителя имеет вид U(x, y) = min{x, 3y}. Цены благ РX = 2, РY = 1. Доход потребителя равен 140.

Определите координаты точки равновесия потребителя.

Задача 8

Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров – х и у. Функция полезности для него имеет вид: U(x, y) = min{4x; 2x + y}. Нарисуйте карту кривых безразличия. Какой выбор сделает потребитель, если РX = 3, РY = 1, доход равен 20 ден.ед.?

Задача 9

U(x, y) = 2 x + y. РX =1, РY = 2, I = 10. Найдите оптимальный выбор потребителя.

Задача 10

Потребитель имеет функцию полезности U(x, y) = xy + 10x. Его доход I = 10. Цены благ: РX = 1, РY = 2. Найдите оптимальный набор потребителя.

 

 

Практическое занятие 2

Теория поведения потребителей

Функция совокупной (общей) полезности:

 

TU = F(QA,QB,..,QZ),

 

где ТU – совокупная (общая) полезность данного товарного набора;

QA,QB, …,QZ – объемы потребления товаров А, В, ..., Z в единицу времени.

Существует множество уравнений, описывающих данную функцию, но наиболее часто применяемым является:

TU = а + bq + cq² – dq³,

 

где q – количество потребленного товара;

a, b, c, d – положительные константы.

Предельная полезность – это прирост совокупной полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на одну единицу.

Математически предельная полезность товара есть частная производная совокупной полезности товарного набора по объему потребления i-того товара:

 

MU=dTU/dQ=TU`(Q),

 

где MU – предельная полезность товара.

Основное условие потребительского оптимума или Второй закон Госсена: для максимизации полезности потребитель должен таким образом распределить свой ограниченный бюджет, чтобы предельные полезности на один рубль, затраченный на последнюю единицу каждого товара, равнялись бы между собой:

MUА/PА=MUВ/PВ=…=MUZ/PZ,

 

а сумма всех затрат потребителя на товары и услуги плюс сбережения (S) соответствовала его денежному доходу (R), то есть:

 

PAQA+PBQB+…+PZQZ+S=R.

Если эти предельные полезности не равны, то совокупное удовлетворение может быть увеличено путем уменьшения расходов на товары с меньшей степенью полезности и увеличения затрат на товары с большей степенью полезности.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа)
2. Производная независимой переменной
3. Производная степени
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня

 

 

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного

 

Задача 1.

Индивид потребляет два блага в количествах x и y соответственно. Согласуются ли приведенные ниже функции полезности с аксиомами потребительских предпочтений? (да/нет):

Решение:

Аксиомы потребительских предпочтений:

1) полнота (сопоставимость любых потребительских наборов);

2) транзитивность;

3) ненасыщаемость («больше — лучше, чем меньше», предпочтительность набора, содержащего больший объем любого блага без уменьшения объемов остальных);

4) непрерывность;

5) выпуклость множества наборов, предпочтительных по отношению к любому данному.

Если система предпочтений потребителя задана функцией полезности, то аксиомы 1 и 2 тем самым выполняются. Аксиома 4 выполняется, если функция полезности непрерывна. Во всех вариантах а) – в) функции полезности непрерывны, так что требования аксиом 1, 2 и 4 можно считать выполненными.

Аксиома 3 выполняется, если функция полезности возрастает по каждому аргументу. Функция варианта а), очевидно, удовлетворяет этому требованию, варианта в) — нет, она является убывающей по каждому аргументу. Так как

 

т. е. значения функций б) и в) — взаимно обратные величины, функция б) является возрастающей (в чем можно убедиться и любым иным способом).

Аксиома 5 требует, чтобы каждая кривая безразличия ограничивала снизу выпуклую область. Это означает, что предельная норма замены MRSxy должна убывать с ростом x и возрастать с ростом y. Функция а) этому требованию не отвечает: соответствующие кривые безразличия – 90-градусные дуги окружностей с центром в начале координат.

Для функции б)

 

 

Так что

 

Таким образом, функция б) удовлетворяет всем аксиомам предпочтений.

Ответ:

а) нет; б) да; в) нет.

 

Задача 2

Предпочтения индивида характеризуются предельными нормами замещения MRSxy = 2, MRSxz = 0.8. Найти предельные нормы замещения а) MRSyx, б) MRSzx, в) MRSyz, г) MRSzy.

Решение

Если единица блага x замещается a единицами блага y с сохранением уровня полезности, то единица блага y замещается 1/a единицами блага x. Поэтому MRSyx = 1/MRSxy.

Если к тому же единица блага y замещается b единицами блага z при том же условии, то единица блага x замещается ab единицами блага z и поэтому MRSxy ∙ MRSyz = MRSxz.

Это позволяет найти все неизвестные предельные нормы замещения по известным MRSxy и MRSxz.

Комментарий.

Более формализованный подход связывает предельные нормы замены с производными функции полезности:

 

и т. п., откуда следуют приведенные выше соотношения. Заметим, что система предпочтений определяет функцию полезности неоднозначно: если функция U(x, y, …) описывает предпочтения данного потребителя, то точно так же их описывает функция U 1(x, y, …) = ϕ(U(x, y, …)), где ϕ – произвольная монотонно возрастающая функция. Но

 

так что отношение частных производных зависит не от количественной шкалы, в которой отображаются полезности, а лишь от предпочтений индивида.

Ответ:

а) 0.5; б) 1.25; в) 0.4; г) 2.5.

 

Задача 3

Предпочтения потребителя заданы в виде функции полезности U(x, y) = xy. Доход равен 800 ден.ед. Цены благ соответственно равны РX = 20, РY = 40. Чему будет равен набор для потребителя?

Решение:

Запишем задачу в общем виде:

Поскольку оптимум в этом примере является внутренним, то должно выполняться условие MRS XY = MUx / MUy = Px / Py или y / x = 20/40, т.е. х = 2у.

Таким образом, оптимальный набор должен находиться на прямой х = 2у и в то же время удовлетворять бюджетному ограничению. Получаем систему из 2-х линейных уравнений:

Ее решение дает оптимальный набор у E = 10; х E = 20. Графическая интерпретация этой задачи:

 

Задача  4

Домашнее хозяйство потребляет два блага в количествах x и y; его предпочтения описываются функцией полезности U(x, y). Найти расходы потребителя на 1 и 2 блага, если а) U(x, y) = x3y2; б) U(x, y) = xαyβ.

Решение:

а) Прежде всего, определим предельную норму замены как функцию x и y: Ux = 3x2y2; Uy = 2x3y, отсюда

При ценах благ px, py в точке оптимума потребителя соотношение цен px/py равно предельной норме замены, так что

Или

Заметим, что pxx и pyy – это расходы потребителя соответственно на первое и второе блага. Отсюда ясно, как данный потребитель распределяет свой бюджет: долю 0.6 своего дохода он должен потратить на покупку первого блага, долю 0.4 – на покупку второго. Если его доход равен I, то объемы спроса на первое и на второе благо равны:

 

Каждое из приведенных равенств описывает функцию спроса на соответствующее благо.

б) Те же рассуждения применительно к более общему случаю приводят к соотношению:

 

Откуда

 

 

Дата: 2018-12-28, просмотров: 1453.