Кинематика (6 занятий)
Движение с постоянной скоростью.
Занятие 1
Задача 1
Радиолокатор определяет координаты летящего самолета, измеряя угол между направлением на Северный Полюс и направлением на самолет и расстояние от радиолокатора до самолета. В некоторый момент времени положение самолета определялось координатами α 1 = 44°, расстояние R 1 = 100 км. Через промежуток времени равный 5 с после этого момента координаты самолета были: α 2 = 46°, расстояние R 2 = 100 км. Изобразите в декартовой системе координат с осью у, направленной на север, и с радиолокатором в начале координат положение самолета в оба момента времени; определите модуль и направление его скорости. Угол отсчитывайте по часовой стрелке.
Задача 2
Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках А, В, С, последовательно зарегистрировали сигнал в моменты времени t A > t B > t C звук от взрыва, который произошел в точке O, лежащей на отрезке АС. Найдите длину отрезка АО, если АВ = ВС = L. В какой момент времени произошел взрыв?
Задача 3
С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испускаются звуковые сигналы длительности t 0. Длительность приема отраженного от дна импульса составляет t. Скорость звука в воде равна с. С какой скоростью погружается подводная лодка?
Задача 4
Из взрывчатого вещества изготовлен стержень длины l. Скорость детонации (скорость вовлечения во взрыв новых участков взрывчатого вещества) равна v, а скорость разлета продуктов взрыва u < v. Как изменяется со временем область занятая продуктами взрыва, если стержень подрывается с одного из концов?
Задача 5
По графику зависимости координаты от времени постройте график зависимости скорости от времени. Найдите среднюю скорость движения за большое количество циклов.
Задача 6
На какой угол изменится направление движения шара после двух упругих столкновений со стенками, угол между которыми равен α? Как полетит шар, если угол между стенками равен 
? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам.
Задача 7
Стрелок пытается попасть в диск радиуса R, который движется от одной стенки к другой с постоянной по модулю скоростью достаточно быстро, чтобы за ним нельзя было уследить. Нарисуйте график зависимости вероятности попадания пули в диск от расстояния между точкой прицеливания и левой стенкой. Выстрелы производятся на высоте R от пола, перпендикулярно направлению движения диска. Разберите случаи с различными расстояниями между стенками.
Движение с переменной скоростью.
Занятие 2
Задача 8
Нарисуйте график зависимости координаты от времени для прямолинейного движения, удовлетворяющего одновременно двум условиям: средняя скорость в промежутке от 2 до 6 с равна 5 м/с, максимальная скорость в том же промежутке равна 15 м/с.
Задача 9
Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние L, а затем тормозится с ускорением a. При какой начальной скорости время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим?
Задача 10
В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью v 0. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения s? В нулевой момент времени сосуд пуст.
Задача 11
График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности. Максимальная скорость тела равна v 0, время движения t 0. Определите путь, пройденный телом.
Задача 12
Графики зависимости координаты от времени, построенные в различном масштабе времени для двух частиц, оказались одинаковыми. Одно деление оси времени t для графика первой частицы отвечает 4 с, а для графика второй – 1 с. Найдите отношение скоростей и отношение ускорений частиц для точки А графика.
Задача 13
Тело начинает движение из точки А и движется сначала равноускоренно в течение времени t 0, а затем равнозамедленно, с тем же по модулю ускорением. Через какое время от начала движения тело вернется в точку А?
Задача 14
Из одной и той же точки вертикально вверх с интервалом времени ∆ t брошены два шарика со скоростью v. Через какое время после вылета второго шарика они столкнутся?
Занятие 3
Задача 15
Из верхней точки окружности по гладкому желобу под углом φ к вертикали начинает скользить шарик. За какое время он достигнет окружности, если ее диаметр равен D?
Задача 16
Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки А гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?
Задача 17
Из орудия произведен выстрел под углом φ к горизонту. Начальная скорость снаряда v. Поверхность земли горизонтальна. Найдите: горизонтальную и вертикальную компоненты скорости как функцию от времени; зависимость координат х и у от времени; уравнение траектории, т.е. зависимость у от х; время полета, наибольшую высоту и дальность полета снаряда.
Задача 18
С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь из пушки снаряд, чтобы поразить стартующую вертикально, с ускорением а, ракету? Расстояние от пушки до стартового стола L, пушка стреляет под углом α к горизонту.
Задача 19
Из шланга лежащего на земле под углом α к горизонту бьет струя воды со скоростью v. Определите массу струи находящейся в воздухе, если площадь ее сечения неизменна и равна s.
Занятие 4
Задача 20
Снаряд, вылетев из орудия со скоростью v попал в точку с координатами х и у. Найдите: тангенс угла наклона, образуемого стволом орудия и горизонтом; границу области возможного попадания снаряда; наименьшую потребную скорость снаряда, при которой он сможет поразить цель с координатами [х,у].
Задача 21
В сферической лунке прыгает шарик упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо равен Т1, а справа налево Т2. Определите радиус лунки.
Задача 22
Определите скорость и ускорение, которыми обладают точки земной поверхности на экваторе и в Санкт-Петербурге из-за вращения Земли вокруг своей оси. Радиус Земли принять равным 6400 км. Санкт-Петербург находится на 60° с.ш.
Задача 23
Край гладкого горизонтального стола скруглен по окружности радиуса r. С какой наименьшей скоростью нужно пустить по столу маленькое тело, чтобы оно, достигнув начала скругления, сразу полетело по параболе?
1.4. Преобразование Галилея.
Занятие 5
Задача 24
Начальные положения и скорости двух кораблей заданы на рисунке. Корабли движутся без ускорения. Найдите наименьшее расстояние между ними.
Задача 25
Буер представляет собой сани с парусом, и может двигаться лишь по прямой, вдоль которой направлены его коньки. Ветер дует со скоростью v перпендикулярно направлению движения буера. Парус отклонен на 30° относительно направления движения буера. Какую максимальную скорость может развить буер в таких условиях?
Задача 26
При упругом ударе тела о неподвижную стенку его скорость v меняется лишь по направлению. Определите изменение скорости после удара этого тела, если стенка движется: со скоростью u навстречу телу; со скоростью w < v в направлении движения тела.
Задача 27
Ядро, летящее со скоростью v, распадается на два одинаковых осколка. Определите максимальный возможный угол α между скоростями одного из осколков и вектором 
, если при распаде покоящегося ядра осколки имеют скорость u < v.
Задача 28
Мальчик может плавать со скоростью в два раза меньшей скорости течения реки. Он хочет переплыть реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки равна 200 м?
Движение со связями.
Занятие 6
Задача 29
Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной а. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью v. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой. Где и через какое время встретятся черепахи?
Задача 30
На рисунке скорость груза А равна v A. Чему равна скорость груза В?
Задача 31
Постройте примерный график зависимости скорости точки В от времени если скорость v A точки А постоянна. Найдите формулу этой зависимости при x (0) = 0 и постройте ее график.
Задача 32
Скорость точки А твердого тела равна v и образует угол 45° с направлением прямой AB. Скорость точки В этого тела равна u. Определите проекцию скорости точки B на направление АВ.
Задача 33
Найдите зависимость скорости точки поверхности колеса радиуса R от ее положения на поверхности (угла α между вертикалью, проходящей через ось колеса, и направлением на точку) и скорости колеса V. Проскальзывания между колесом и горизонтальной подстилающей поверхностью нет.
Задача 34
Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью v под углом α к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах α ось движется вправо, а при каких влево? Нить достаточно длинна и не провисает, таким образом угол α остается постоянным.
Задача 35
Стержень, шарнирно закрепленный одним концом на горизонтальной плоскости, лежит на цилиндре. Угловая скорость стержня равна ω. Проскальзывания между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла α между стержнем и плоскостью.
Динамика.
Законы Ньютона.
Занятие 1
Задача 1
В электронно-лучевой трубке электроны с начальной горизонтальной скоростью v влетают в область электрического поля протяженности l, где на них действует вертикальная сила со стороны заряженных отклоняющих пластин. Чему равна эта сила, если электроны, попадая на экран, смещаются на расстояние y по сравнению со случаем незаряженных пластин? Экран находится на расстоянии L от центра области действия электрической силы. Масса электрона me.
Задача 2
Четырьмя натянутыми нитями груз закреплен на тележке. Сила натяжения горизонтальных нитей соответственно T 1 и T 2, а вертикальных – T 3 и T 4. С каким ускорением движется тележка по горизонтальной плоскости?
Задача 3
Динамометр состоит из двух цилиндров, соединенных легкой пружиной. Найдите соотношение масс этих цилиндров, если при приложенных к ним силам F 1 и F 2 динамометр показывает силу F.
Задача 4
Два груза массой соответственно m 1 и m 2 соединены нитью перекинутой через блок, закрепленный на потолке. Найдите ускорение грузов и силы натяжения нити в месте крепления к грузам. Блок и нити невесомы, трение отсутствует.
Задача 5
Система из трех одинаковых шаров, связанных одинаковыми пружинами, подвешена на нити к потолку и находится в равновесии. Нить перерезают, найдите ускорения шаров сразу после перерезания нити.
Задача 6
Тело массы m, с разных сторон, соединено двумя пружинами жесткости k 1 и k 2 с неподвижными стенками, пружины первоначально не деформированы. При возникновении колебаний, наибольшее ускорение тела равно a. Найдите максимальное отклонение тела от положения равновесия и максимальные силы, с которыми пружины действуют на стенки.
Задача 7
Тело массы m прикреплено к двум соединенным последовательно пружинам жесткости k 1 и k 2. К свободному концу цепочки пружин приложена постоянная сила F. Каково суммарное удлинение пружин, если движение системы установилось (колебания прекратились)?
Занятие 2
Задача 8
Тело, находящееся на горизонтальной плоскости, тянут за нить в горизонтальном направлении. Нарисуйте график зависимости силы трения, действующей на тело со стороны плоскости, от силы натяжения нити. Первоначально тело неподвижно. Масса тела равна 10 кг, а коэффициент трения 0,51.
Задача 9
Ленточный подъемник образует угол α с горизонтом. С каким максимальным ускорением может подниматься ящик на таком подъемнике, если коэффициент трения равен μ? Лента подъемника не прогибается.
Задача 10
Цилиндр скользит по желобу, имеющему вид двугранного угла с раствором α. Ребро двугранного угла наклонено под углом β к горизонту. Плоскости двугранного угла образуют одинаковые углы с горизонтом. Определите ускорение цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и поверхностью желоба μ.
Задача 11
По деревянным сходням, образующим угол α с горизонтом втаскивают за привязанную к нему веревку массивный ящик. Коэффициент трения ящика о сходни μ. Под каким углом к горизонту следует тянуть за веревку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик?
Задача 12
Человек массы m 1, оставаясь на месте, тянет за веревку груз массы m 2. Коэффициент трения о горизонтальную плоскость равен μ. При какой наименьшей силе натяжения веревки груз сдвинется с места? Различием в сопротивлении трения покоя и скольжения пренебречь.
Задача 13
Тело массы m 1 лежит на доске массы m 2, находящейся на гладкой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между телом и доской μ. Какую силу нужно приложить к доске, чтобы тело соскользнуло с нее? За какое время тело соскользнет, если к доске приложена сила F 0, а длина доски равна L? С каким ускорением будут двигаться тело и доска, если сила F 0 приложена к телу массы m 1?
Занятие 3
Задача 14
Масса воздушного шара вместе с канатом, волочащимся по земле, равна m; выталкивающая сила, действующая на шар, равна F; коэффициент трения каната о землю равен μ. Сила сопротивления воздуха, действующая на воздушный шар, пропорциональна квадрату скорости шара относительно воздуха и равна α 
. Найдите скорость шара относительно земли, если дует горизонтальный ветер со скоростью u.
Задача 15
Лента горизонтального транспортера движется со скоростью u. На ленту по касательной к ней влетает шайба, начальная скорость v которой перпендикулярна краю ленты. Найдите максимальную ширину ленты, при которой шайба достигнет другого ее края, если коэффициент трения между шайбой и лентой μ.
Задача 16
Какая шайба, вращающаяся вокруг своей или не вращающаяся пройдет больший путь до остановки? Начальная скорость центров шайб одинакова.
Задача 17
Горизонтальную ось радиуса R, вращающуюся с угловой скоростью ω, обжимает втулка, снабженная противовесом, чтобы перемещаясь вдоль оси, она не вращалась. Определите установившуюся скорость втулки под действием силы F, приложенной к ней вдоль оси. Максимальная сила трения оси о втулку F тр > F.
Задача 18
На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монетка. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость v. Найдите установившуюся скорость монеты.
Занятие 4
Задача 19
Найдите ускорение тел системы изображенной на рисунке. Сила F приложена в направлении нити к одному из тел массы m. Участки нити по обе стороны от легкого блока, прикрепленного к телу массы M, параллельны.
Задача 20
К свободному концу нити, прикрепленной к стенке и переброшенной через ролик, подвешен груз. Ролик закреплен на бруске массы m 0, который может скользить по горизонтальной плоскости без трения. В начальный момент нить с грузом отклоняют на угол α от вертикали, а затем отпускают. Определите ускорение бруска, если известно, что угол, образованный нитью с вертикалью, не меняется при движении системы. Чему равна масса груза?
Задача 21
Скорость тела массы m в жидкости убывает с пройденным расстоянием l по закону 
, где 
– начальная скорость, а β – постоянный коэффициент. Как зависит сила вязкого трения, действующая на тело со стороны жидкости, от скорости тела?
Задача 22
Сила сопротивления воздуха, действующая на капли дождя, пропорциональна произведению квадрата скорости капель на квадрат их радиуса: 
, где ρ – плотность воздуха, а безразмерный коэффициент 
равен приблизительно 0,16 (а α 0,3). Какие капли, крупные или мелкие, падают на землю с большей скоростью? Оцените скорость капли радиусом в 1 мм при падении с большой высоты.
Задача 23
Сила сопротивления воздуха, действующая на капли тумана, пропорциональна произведению радиуса на скорость: 
. Капли радиуса 0,1 мм падая с большой высоты имеют скорость порядка 1 м/с. Какую скорость будут иметь капли, радиус которых в два раза меньше? А в десять раз?
Занятие 5
Задача 24
На два катка разного радиуса положи тяжелую плиту. Она образует угол α с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Масса катков в сравнении с массой плиты мала.
Задача 25
Тело массы M связано нитью длины l с осью, вокруг которой оно обращается с угловой скоростью ω. Найдите силу натяжения нити. Размером тела и силой тяжести пренебречь. Замените нить однородной веревкой массы m и найдите зависимость силы натяжения веревки от расстояния x от оси вращения.
Задача 26
На гладкое проволочное кольцо радиуса R, расположенное вертикально, надета маленькая бусинка массы m, которая может скользить по кольцу без трения. Кольцо вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей по диаметру кольца. Где находится бусинка?
Задача 27
Из тонкого резинового жгута массы m и жесткости k сделали кольцо радиуса R 0. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения ω.
Занятие 6
Задача 28
Кольцевая цепочка массы m надета на горизонтальный диск радиуса R. Сила натяжения надетой цепочки равна T. Найдите коэффициент трения между диском и цепочкой, если при вращении диска с угловой скоростью равной или большей ω, цепочка с него спадает.
Задача 29
Конькобежец на ледяной дорожке старается пройти вираж как можно ближе к внутренней бровке. Велосипедист на велотреке, наоборот, проходит вираж как можно дальше от внутренней бровки. Как объяснить это различие в тактике прохождения виража? Профиль велотрека все круче по мере удаления от внутренней бровки.
Задача 30
В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиуса R. Разогнавшись, он начинает описывать горизонтальную окружность в верхней полусфере. После этого, для пущего эффекта нижнюю полусферу убирают. Определите минимальную скорость мотоциклиста, если коэффициент трения шин о поверхность сферы равен μ, а угол между вертикалью и направлением к мотоциклисту из центра сферы равен α.
Задача 31
С какой угловой скоростью должен вращаться вокруг своей оси горизонтально расположенный цилиндр, чтобы мелкие частицы внутри цилиндра не соскальзывали с его поверхности? Коэффициент трения между поверхностью цилиндра и частицами µ=1, внутренний радиус цилиндра R.
Импульс. Центр масс.
Занятие 1
Задача 1
Частица массы m движется со скоростью v, а частица массы 2 m движется со скоростью 2 v в направлении, перпендикулярном направлению движения первой частицы. На каждую частицу начинают действовать одинаковые силы. После прекращения действия сил первая частица движется со скоростью 2 v в направлении, обратном первоначальному. Определить скорость второй частицы.
Задача 2
В масс-пролетном спектрометре источник испускает сгусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно, и пролетают первый датчик D 1, находящийся на расстоянии L от сетки. За сеткой, по нормали к ней, на частицы действует электрическая сила F. Частицы поворачиваются и вылетают через сетку назад, пролетая через второй датчик D 2, находящийся на том же расстоянии от сетки. От напряжения источника зависит скорость вылетающих частиц, но точное ее значение остается неизвестным. Меняя напряжения, измеряют время между срабатываниями датчиков и находят наименьшее его значение Δ t. Какова масса частицы? Как можно найти массу частиц, если источник испускает несколько сортов частиц с разной массой?
Задача 3
Ящик с песком массы M лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен µ. Под углом α к вертикали в ящик со скоростью v влетает пуля массы m и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав движение, остановится? При каком значении α он вообще не сдвинется?
Задача 4
При наблюдениях с Земли удается определить только радиальную скорость звезд-партнеров, входящих в состав двойной звезды. При измерениях получены значения радиальной скорости v 1 и u 1 звезд партнеров двойной звезды. При повторных измерениях, проведенных через год, значения этой скорости составили v 2 и u 2. Найдите отношения масс звезд, входящих в состав двойной звезды. Почему нужно изменить расчеты, если повторное измерение проводится через день, месяц или полгода?
Задача 5
На покоящееся тело массы m 1 налетает со скоростью v тело массы m 2. Сила, возникающая при взаимодействии тел, линейно зависящая от времени, растет от нуля до значения F 0 за время t 0, а затем равномерно убывает до нуля за то же время. Определите скорости тел после взаимодействия, считая, что движение происходит по одной прямой.
Задача 6
Космический корабль перед отделением последней ступени ракеты-носителя имел скорость v, после отбрасывания последней ступени его скорость стала равной 1.01 v, при этом отделившаяся ступень удаляется от корабля со скоростью 0.04 v. Какова масса последней ступени, если масса корабля m 0?
Задача 7
Протон с начальной скоростью v летит прямо на первоначально покоящееся ядро гелия. Какова скорость частиц при наибольшем их сближении? Масса ядра гелия близка к учетверенной массе протона.
Задача 8
При β-распаде покоящегося первоначально нейтрона образуются протон, электрон и нейтрино. Импульсы протона и электрона равны p 1 и p 2, угол между ними α. Определите импульс нейтрино.
Занятие 2
Задача 9
Где находится центр масс однородного прута, согнутого посередине под прямым углом? Однородной треугольной пластинки?
Задача 10
На первоначально неподвижной тележке установлены два вертикальных цилиндрических сосуда, соединенных тонкой трубкой. Площадь сечения каждого сосуда равна S, расстояние между их осями l. Один из сосудов заполнен жидкостью плотности ρ. Кран на соединительной трубке открывают. Найдите скорость тележки в момент времени, когда скорость уровня жидкости равна v. Полная масса системы равна m.
Задача 11
На гладком полу стоит сосуд заполненный водой плотности ρ 0, объем воды в сосуде V 0. Оказавшийся на дне сосуда жук объема V и плотности ρ начинает ползти по дну сосуда со скоростью u относительно него. С какой скоростью станет двигаться сосуд по полу? Массой сосуда пренебречь, уровень воды все время остается горизонтальным.
Задача 12
Два тела массы m 1 и m 2 связаны натянутой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент времени оказалось, что тело массы m 1 неподвижно, а другое тело движется со скоростью v перпендикулярно нити. Определите силу натяжения нити.
Задача 13
Космическая станция состоит из двух отсеков массы m 1 и m 2, соединенных длинным однородным тросом длины L. Станция вращается вокруг своей оси, перпендикулярной тросу. Какова угловая скорость вращения, если сила натяжения троса вблизи первого отсека равна T 1, а вблизи второго T 2? Какова масса троса?
Задача 15
Три точечные массы m 1, m 2, m 3 связаны нитями длины l и вращаются с угловой скоростью ω вокруг центра масс сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей.
Занятие 3
Задача 16
На тележке установлен цилиндрический сосуд с площадью сечения S, наполненный жидкостью плотности ρ. От сосуда, параллельно полу, отходит тонкая горизонтальная трубка длины L, небольшой отрезок которой загнут по вертикали вниз. Уровень жидкости в сосуде опускается с ускорением a. Какой горизонтальной силой можно удержать тележку на месте?
Задача 17
Обезьяна массы m уравновешена противовесом на блоке A. Блок A уравновешен грузом массы 2 m на блоке B. В исходном состоянии система неподвижна. Обезьяна начинает равномерно выбирать веревку со скоростью u относительно себя. Как будут двигаться грузы? Массой блоков и трением пренебречь.
Задача 18
На тросе висит небольшой ящик с песком. В ящик стреляют из пулемета и пули застревают в песке. Скорость пули v, масса пули m, масса ящика с песком M. Трос отклоняется на угол α от вертикали. Какова скорострельность пулемета, если все выпущенные пули попадают в цель?
Задача 19
В цилиндре под поршнем массы M прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, N >>1 шариков массы m каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно h. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень мгновенно убрать (за время поднятия поршня не произойдет столкновений между шариками и поршнем)?
Задача 20
Две тележки массы M каждая движутся параллельно со скоростями 
и 
. Груз массы m, сначала лежавший на первой тележке, с почти нулевой скоростью относительно этой тележки перебрасывают на вторую тележку. Затем с почти нулевой скоростью уже относительно второй тележки его перебрасывают обратно на первую. Какой станет разность скоростей тележек после N таких перебросов груза туда и обратно?
Задача 21
Веревку, перекинутую через гладкий гвоздь, протаскивают со скоростью v сквозь щель. Сила трения в щели F, масса единицы длины веревки ρ. Определите силу, действующую на гвоздь, если участки веревки по разные стороны гвоздя образуют угол α. При какой скорости веревка отойдет от гвоздя?
Задача 22
Газ, вытекающий из сопла ракеты, имеет скорость v относительно нее. Определите изменение скорости ракеты после того, как ее масса из-за истечения газа уменьшилась в n раз.
Занятие 1
Задача 1
Определите силу, действующую на заряженную частицу массы m в зазоре ширины l между сеточными электродами, если ее скорость изменилась от значения во время пролета через первый электрод до значения во время пролета через второй. Как по значениям скорости определить в каком направлении действовала сила на частицу?
Задача 2
Сила действующая на снаряд массы m в стволе орудия, нарастает линейно от нуля до 
на участке ствола длины 
, не меняется на участке ствола длины 
и равномерно убывает до нуля на участке ствола длины 
. Какова скорость снаряда при вылете из ствола?
Задача 3
Из длинной полоски резины жесткости k сделали рогатку. Найдите кинетическую энергию снаряда, выпущенного из этой рогатки, если резинку растянули с силой F и затем отпустили.
Задача 4
Автомобиль с работающим двигателем въезжает на обледенелую гору, поверхность которой образует угол α с горизонтом. Какой высоты гору может преодолеть автомобиль, если его начальная скорость при подъезде к основанию горы была равна v, а коэффициент трения колес о лед µ< tgα?
Задача 5
Груз массы m медленно поднимают на высоту h по наклонной плоскости с помощью блока и троса. При этом совершается работа A. Затем трос отпускают, и груз скользит вниз. Какую скорость он наберет, опустившись до исходной точки?
Задача 6
Грузик, подвешенный на нити длины l, отклонили на расстояние r от точки равновесия и отпустили. Какой будет его наибольшая скорость?
Задача 7
Горизонтальные поверхности, отстоящие друг от друга по высоте на h, плавно соединяются. По верхней поверхности движется тело со скоростью v, составляющей угол α с нормалью к линии сопряжения. Найдите угол между скоростью тела на нижней поверхности плоскости и нормалью к линии сопряжения. Трением пренебречь.
Занятие 2
Задача 1
Нить длины l с привязанным к ней шариком массы m отклонили на 90° от вертикали и отпустили. На каком наименьшем расстоянии под точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, налетев на него, порвалась? Нить выдерживает силу натяжения T.
Задача 2
С вершины гладкой полусферы радиуса R, неподвижно стоящей на горизонтальной плоскости, соскальзывает небольшое тело. На какой высоте над плоскостью оно оторвется от полусферы?
Задача 3
Определите силу, действующую на вертикальную стенку со стороны падающей гантели, когда ось гантели составляет угол α с горизонтом. Гантель начинает движение из вертикального положения без начальной скорости. Масса каждого шарика гантели равна m.
Задача 4
По вертикально стоящей гладкой твердой спирали скользит бусинка массы m. Радиус петли спирали равен R, шаг спирали – h. С какой силой действует бусинка на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние H. Начальная скорость бусинки равна нулю.
Задача 5
Какова работа силы трения за один оборот аэросаней, движущихся по вертикальной круговой дорожке? Скорость саней постоянна и равна v, масса саней m, коэффициент трения µ.
Занятие 3
Задача 1
Частица массы m влетает в область, где на нее действует тормозящая сила, зависящая только от расстояния между частицей и границей области. Найдите эту зависимость, если глубина проникновения частицы в область торможения пропорциональна ее начальному импульсу: 
.
Задача 2
Груз массы m, подвешенный на пружине жесткости k, находится на подставке. Пружина при этом не деформирована. Подставку быстро убирают. Определите максимальное удлинение пружины и максимальную скорость груза.
Задача 3
Нерастянутый резиновый шнур длины 2 l своими концами прикреплен к стенкам. К середине шнура прицепили груз массы m, который затем без толчка отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на которое опускается груз равно 
. Какова жесткость этого шнура?
Задача 4
С какой силой нужно надавить на верхний груз массы 
, чтобы нижний груз массы 
, соединенный с верхним пружиной, оторвался от пола после прекращения действия этой силы?
Задача 5
Тело массы m, подвешенное на пружине жесткости k, лежит на доске таким образом, что пружина не деформирована. Доску начинают опускать с ускорением a. Чему равно удлинение пружины в момент отрыва тела от доски? Каково максимальное удлинение пружины?
Статика
Задача 1
Между двумя стенками на нерастяжимом невесомом тросе висит груз массы m, найдите силу натяжения троса.
Ответ
Задача 2
Через три отверстия в крышке стола пропущены нити, связанные с одного конца общим узлом. К другому концу каждой нити прикреплены одинаковые грузы. Найдите углы между нитями. Трением пренебречь.
Ответ: 120°
Задача 3
На сколько сместится конец нити, перекинутой через подвижный блок, если к нему приложить силу F? Жесткость пружин равна k.
Ответ: 
Задача 4
Между одинаковыми брусками квадратного сечения, лежащими на горизонтальной плоскости, вставлен гладкий клин такой же массы с сечением в виде равностороннего треугольника. При каком коэффициенте трения брусков о плоскость они начнут разъезжаться?
Ответ: 
Задача 5
Неравноплечие весы находятся в равновесии. Если на левую их чашку положить груз, то он уравновешивается гирей массы на правой чашке. Если этот же груз положить на правую чашку, то он уравновешивается грузом массы на левой чашке. Какова масса груза?
Ответ: 
Задача 6
С какой силой давит на стенки цилиндрического стакана палочка массы m, наполовину погруженная в воду? Угол наклона палочки к горизонтали α. Трением пренебречь.
Ответ: 
Задача 7
Однородная балка длины l висит на четырех одинаковых тросах, прикрепленных на расстоянии l /3 друг от друга. Трос A порвался. Для уменьшения опасности разрыва других тросов предлагают удалить еще и канат D. Разумно ли это решение?
Ответ: Разумно
Задача 8
Катушка висит на нити, намотанной по малому радиусу r катушки. По большому радиусу R тоже намотана нить, на конце которой висит груз. Какова масса груза, если система находится в равновесии? Масса катушки M.
Ответ: 
Механика жидкости. (… занятий)
Давление жидкости.
Задача 1
Результирующая сила, действующая со стороны сжатой жидкости на три грани правильного тетраэдра, равна F. Длина ребра тетраэдра a. Определите давление жидкости.
Ответ: 
Задача 2
Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении P. Радиус отверстий r и R. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости.
Ответ: 
;
Задача 3
Сферический баллон радиуса R со стенками толщины Δ разрывается внутренним давлением P. Определите предел прочности материала стенок.
Ответ: 
;
Задача 4
Нижняя грань правильного тетраэдра с ребром a, полностью погруженного в жидкость плотности ρ, находится на глубине h. Определите силу, действующую со стороны жидкости на боковую грань тетраэдра, если атмосферное давление равно P.
Ответ: 
;
Задача 5
Трубка радиуса r закрыта снизу металлическим диском и погружена в жидкость на глубину H. Радиус диска R, высота h. Ось диска отстоит от оси трубки на расстояние a. Плотность жидкости 
, плотность металла ρ. До какой высоты нужно наливать жидкость в трубку, чтобы диск оторвался от трубки?
Ответ: 
;
Задача 6
В цилиндрическом сосуде радиуса R, частично наполненном жидкостью плотности ρ, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину l? Пробка имеет вид цилиндра радиуса r. Центр отверстия находится на глубине h. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать.
Ответ: 
;
Задача 7
Под каким углом к горизонту расположится поверхность жидкости в сосуде, скользящем по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, если коэффициент трения равен µ?
Ответ: 
Задача 8
Закрытый цилиндр радиуса R, заполненный на три четверти своего объема жидкостью плотности ρ, вращается в невесомости вместе с жидкостью с угловой скоростью ω вокруг своей оси. Как меняется давление в жидкости в зависимости от расстояния до стенок цилиндра?
Ответ: 
.
3.2. Плавание тел. Закон Архимеда.
Задача 1
Тонкостенный цилиндрический стакан массы m вертикально плавает на границе раздела жидкостей плотности 
и 
. Определите глубину погружения стакана в нижнюю жидкость, если дно стакана имеет толщину h и площадь S, а сам стакан заполнен жидкостью плотности .
Ответ: 
Задача 2
В жидкости плотности плавает прямоугольный параллелепипед из материала плотности ρ. Высота параллелепипеда b, а ширина и длина a. При каком соотношении a и b его положение устойчиво?
Ответ: 
Задача 3
С какой силой давит тяжелая палочка на дно водоема, если жестко связанный с палочкой пустотелый шарик радиуса r погрузился в жидкость наполовину? Плотность жидкости ρ, длина палочки l.
Ответ: 
Задача 4
Определите силу давления бревен массы m на стенки канала. Верхнее бревно погружено в воду наполовину, а нижнее касается верхним участком поверхности воды. Бревна одинаковы.
Ответ: 
Задача 5
Коническая пробка с радиусом основания R закрывает сливное отверстие радиуса r ванны. Какой должна быть масса пробки, чтобы она не всплывала при наполнении ванны жидкостью плотности ρ.
Ответ: 
Задача 6
Наклон кубической коробки, наполовину погруженной в жидкость, равен α. Определите массу каждого из двух противоположных ребер коробки. Массой остальных частей коробки пренебречь. Плотность жидкости ρ, длина ребер a.
Ответ: 
Задача 7
В цилиндр радиуса R, частично заполненный жидкостью падает цилиндрическая пробка радиуса r и высоты h. Начальная высота нижней поверхности над уровнем жидкости H, начальная скорость равна нулю. Какое количество теплоты выделится к моменту окончания движения жидкости и пробки? Плотность пробки ρ, плотность жидкости 
.
Ответ: 
Задача 8
Цилиндрический сосуд радиуса R, частично заполненный жидкостью вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси. К боковой стенке сосуда на нити длины l привязан воздушный шарик радиуса r. Во время вращения нить образует со стенкой угол α. Определите угловую скорость вращения сосуда.
Ответ: 
Течение идеальной жидкости.
Задача 1
Сосуд с водой подвешен к потолку. Высота воды в сосуде h. На сколько изменится сила натяжения подвеса, если в дне сосуда открыть маленькое отверстие из которого будет вытекать струя сечения S? Плотность воды ρ.
Ответ: 
Задача 2
Из широкого сосуда через узкую цилиндрическую трубку в его дне вытекает жидкость плотности ρ. Как распределены по вертикали давление и скорость жидкости в сосуде и трубке? Давление воздуха 
.
Ответ: 
в сосуде и 
в трубке
Задача 3
По длинной наклонной плоскости стекает широкий поток воды. На протяжении l по течению глубина потока уменьшается вдвое. На протяжении какого пути глубина потока уменьшится в четыре раза?
Ответ: 
Задача 4
По изогнутой под прямым углом трубе поперечного сечения S со скоростью v течет жидкость плотности ρ. С какой силой жидкость действует на трубу, если давление на выходе из трубы P? Силой тяжести пренебречь.
Ответ: 
Задача 5
Широкая струя жидкости толщины h падает под углом α на плоскость. На струи какой толщины распадается падающая струя?
Ответ: 
Задача 6
В цилиндре с поршнем находится вода, внутри которой в начальный момент имеется полость объема V. Поршень оказывает на воду постоянное давление P. Какую энергию приобретает вода в момент, когда полость исчезнет?
Ответ: 
Течение вязкой жидкости.
Задача 1
Найдите распределение скорости жидкости при установившемся ее течении между двумя плоскостями. Расстояние между плоскостями h, вязкость жидкости η. Найдите расход жидкости на единицу ширины потока, если перепад давления на единицу длины потока равен P.
Ответ: 
Задача 2
Жидкость перекачивается из одного сосуда в другой через длинную трубку радиуса R и длины l. Разность давлений на концах трубки P, вязкость жидкости η. Определите зависимость градиента скорости жидкости от расстояния до стенки трубки.
Ответ: 
Задача 3
В трубе переменного сечения поддерживается стационарное течение вязкой жидкости. В сечениях 1 и 2 скорость можно считать постоянной по сечению. Площади сечений 1 и 2 равны 
, а давление жидкости соответственно 
. Скорость жидкости в сечении 1 равна . Найдите силу, с которой жидкость действует на участок трубы между сечениями 1 и 2.
Ответ: 
Капиллярные явления.
Задача 1
Капилляр радиуса R опускают в смачивающую жидкость с поверхностным натяжением σ и плотностью ρ. Определите высоту, на которую поднимается жидкость. Определите работу, совершенную силами поверхностного натяжения, и потенциальную энергию жидкости в капилляре.
Ответ: 
Задача 2
Вертикальный капилляр радиуса r и высоты h соединен с широким сосудом трубкой на уровне дна сосуда. Как зависит разность уровней жидкости в сосуде и капилляре от высоты x уровня жидкости в сосуде? При каком значении x жидкость начнет выливаться из капилляра? Поверхностное натяжение и плотность жидкости равны σ и ρ соответственно. Жидкость полностью смачивает капилляр.
Ответ: 
Задача 3
В капилляре, опущенном вертикально в воду на глубину l, вода поднялась на высоту h. Нижний конец капилляра закрывают, вынимают капилляр из воды и вновь открывают. Определите длину столба воды, оставшейся в капилляре, если смачивание полное.
Ответ: 
Молекулярная физика.
Тепловое движение частиц.
Задача 1
Во сколько раз различаются среднеквадратичные скорости двух частичек, совершающих броуновское движение в капле воды, если их массы различаются в четыре раза?
Ответ: в 2 раза.
Задача 2
Сосуд разделен на две секции пористой перегородкой. В одной секции находится газ, состоящий из легких молекул, в другой из тяжелых. Давление газа в обеих секциях в начальный момент одинаково. Через некоторое время давление в той секции сосуде, где находились тяжелые молекулы, увеличилось. Затем, через более длительный промежуток времени, давление в обеих секциях сосуда выровнялось. Объясните этот эффект.
Ответ: сначала быстрые, потом медленные.
Задача 3
Сосуд разделен перегородками на n изолированных секций. В начальный момент в секции 1 находится одинаковое количество молекул с малярной массой 
и 
. В остальных секциях вакуум. На короткое время в перегородках открывают небольшие отверстия. Оцените отношение числа молекул с молярной массой к числу молекул с молярной массой в n-й секции сосуда.
Ответ: 
Кинематика (6 занятий)
Движение с постоянной скоростью.
Занятие 1
Задача 1
Радиолокатор определяет координаты летящего самолета, измеряя угол между направлением на Северный Полюс и направлением на самолет и расстояние от радиолокатора до самолета. В некоторый момент времени положение самолета определялось координатами α 1 = 44°, расстояние R 1 = 100 км. Через промежуток времени равный 5 с после этого момента координаты самолета были: α 2 = 46°, расстояние R 2 = 100 км. Изобразите в декартовой системе координат с осью у, направленной на север, и с радиолокатором в начале координат положение самолета в оба момента времени; определите модуль и направление его скорости. Угол отсчитывайте по часовой стрелке.
Задача 2
Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках А, В, С, последовательно зарегистрировали сигнал в моменты времени t A > t B > t C звук от взрыва, который произошел в точке O, лежащей на отрезке АС. Найдите длину отрезка АО, если АВ = ВС = L. В какой момент времени произошел взрыв?
Задача 3
С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испускаются звуковые сигналы длительности t 0. Длительность приема отраженного от дна импульса составляет t. Скорость звука в воде равна с. С какой скоростью погружается подводная лодка?
Задача 4
Из взрывчатого вещества изготовлен стержень длины l. Скорость детонации (скорость вовлечения во взрыв новых участков взрывчатого вещества) равна v, а скорость разлета продуктов взрыва u < v. Как изменяется со временем область занятая продуктами взрыва, если стержень подрывается с одного из концов?
Задача 5
По графику зависимости координаты от времени постройте график зависимости скорости от времени. Найдите среднюю скорость движения за большое количество циклов.
Задача 6
На какой угол изменится направление движения шара после двух упругих столкновений со стенками, угол между которыми равен α? Как полетит шар, если угол между стенками равен ? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам.
Задача 7
Стрелок пытается попасть в диск радиуса R, который движется от одной стенки к другой с постоянной по модулю скоростью достаточно быстро, чтобы за ним нельзя было уследить. Нарисуйте график зависимости вероятности попадания пули в диск от расстояния между точкой прицеливания и левой стенкой. Выстрелы производятся на высоте R от пола, перпендикулярно направлению движения диска. Разберите случаи с различными расстояниями между стенками.
Дата: 2018-12-28, просмотров: 677.
