Определение 3.4. Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:

                  Свойства сложения:

1. А + В = В + А.
2. (А + В) + С = А + (В + С) .
3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

Пример:

Определение 3.5. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

                     Свойства умножения матрицы на число:

1. (km)A=k(mA).
2. k(A + B) = kA + kB.
3. (k + m)A = kA + mA.

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е.   С = А + (-1)В.

Пример:

. Тогда

Определение 3.6. Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности  называется матрица С размерности , каждый элемент которой  определяется формулой:  Таким образом, элемент  представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Пример:

. При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет  Найдем элементы матрицы С:

Итак,

Теорема 3.1 Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е.  Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если ).

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают.

Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:

Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А.

Обратная матрица.

Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.

Пример:

Найдем матрицу, обратную к

следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:

 Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак,  Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению  Найдем

Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.