Раздел I Линейная алгебра
Тема 1. Матрицы и определители
Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Обозначения: А – матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.
Определение 1.2. Числа m и n называются размерностями матрицы.
Определение 1.3. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.
Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.
Определение 1.4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:
.
При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.
Примеры:
1. 2.
Определение 1.5. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:
Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:
образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:
Примеры.
1.
2.
Определение1. 6. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением a ` ij = aji .
Правило Крамера.
Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:
.
Предположим сначала, что Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения элементов j-го столбца
Сложив затем все уравнения, получим:
. (2.5)
Отметим, что .
(j-й столбец)
(Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при и равен при i = j . Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель . Рассматривая j = 1,2,…, n, получим систему, эквивалентную исходной: (2.6) . Разделив все уравнения на , найдем единственное решение: .
Предположим теперь, что =0. Тогда система (2.6) примет вид: .
В этом случае, если все =0, система выглядит так: и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из система решений не имеет.
Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:
1) Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
2) Если = =0, система имеет бесконечно много решений.
3) Если =0, а хотя бы один из система не имеет решений.
Примеры:
следовательно, система имеет единственное решение.
Отсюда
2. . Здесь поскольку имеет два одинаковых столбца.
Следовательно, система не имеет единственного решения. Найдем и
поэтому система имеет бесконечно много решений.
3. . Для этой системы но
следовательно, решений нет.
Обратная матрица.
Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .
Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .
Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.
Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.
Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.
Пример:
Найдем матрицу, обратную к
следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:
Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак, Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению Найдем
Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.
Основные теоремы о пределах
1.
2.
3.
4.
5.
6.
! Все правила имеют смысл, если пределы функций и существуют.
Используются также следующие пределы:
(первый замечательный предел);
(второй замечательный предел).
Техника вычисления пределов
При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
· Функция f ( x ) определена в предельной точке x = a . Тогда
.
· Функция f(x) в предельной точке x = a не определена или же вычисляется предел функции при x →∞. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода.
Необходимо помнить, что
, , , , , .
Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке x = a или при x→∞ представляет собой неопределенность (типа , , , , , , ).
При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила:
а) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной;
б) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной ;
в) чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности;
г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности;
д) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или .
Вычислить пределы функций:
Пример 1:
Пример 2:
Пример 3:
=
Пример 4:
Пример5:
Пример 6:
Пример 7:
. Теорему о пределе частного здесь применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. В данном случае имеем неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень х (в данном случае на х2 ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций:
.
Здесь мы воспользовались следующим равенством: (а – любое число).
Пример 8:
Пример 9:
Пример 10:
Определение производной
Определение 2.1: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:
.
Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.
Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .
Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции , вычисленной в точке касания, т.е.
Уравнение касательной к графику функции в точке :
Уравнение нормали к графику функции в точке :
Таблица производных
Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.
Найти производные функций:
Пример 1:
+
Пример2:
Пример 3:
Производные высших порядков
Определение2.2: Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .
Определение 2.3 : Производная третьего порядка (третья производная) от функции y=f(x) есть производная от ее второй производной: .
Определение 2.4 : Производная n -ого порядка (n-я производная) от функции y = f ( x ) есть производная от ее (n -1)-й производной: .
Рассмотрим примеры.
Пример 1: Найти производную второго порядка .
Решение:
Пример2: Найти производную второго порядка функции .
Решение:
Таблица интегралов
Рассмотрим нахождение интегралов непосредственным методом.
Пример 1: Найти неопределенный интеграл:
.
Решение: =
=
.
Пример 2: Найти неопределенный интеграл: .
Решение: =
.
Пример 3: Найти неопределенный интеграл
Решение: =
Раздел I Линейная алгебра
Тема 1. Матрицы и определители
Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Обозначения: А – матрица, - элемент матрицы, номер строки, в которой стоит данный элемент, номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.
Определение 1.2. Числа m и n называются размерностями матрицы.
Определение 1.3. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.
Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, определяемое единственным образом с использованием всех элементов матрицы. Это число называется определителем.
Определение 1.4. Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:
.
При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.
Примеры:
1. 2.
Определение 1.5. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:
Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:
образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:
Примеры.
1.
2.
Определение1. 6. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением a ` ij = aji .
Дата: 2018-12-28, просмотров: 250.