Методику моделирования динамики социально-экономических показателей в системе SPSS Base рассмотрим на примере анализа статистических данных по демографической нагрузке в РФ в период 2005-2013 гг. Эмпирической базой анализа служили статистические данные, приведенные в ежегодниках Росстата «Регионы России. Социально-экономические показатели» за 2014, 2010 и 2008 годы (приведены в приложении). Анализу подлежали следующие показатели демографической нагрузки:

- общий коэффициент демографической нагрузки, определяемый как численность лиц нетрудоспособных возрастов в расчете на 1000 человек трудоспособного населения;

- коэффициент демографической нагрузки, определяемый как численность лиц моложе трудоспособного возраста в расчете на 1000 человек трудоспособного населения[1];

- коэффициент демографической нагрузки, определяемый как численность лиц старше трудоспособных возраста в расчете на 1000 человек трудоспособного населения.

Конечной целью анализа является сравнение динамики показателей демографической нагрузки в регионах Центрального федерального округа.

Исходные данные, использованные в примере, приведены в табл. 2)

              Таблица 2

Динамика коэффициентов демографической нагрузки в РФ в период 2005-2013 гг. (на 1000 человек трудоспособного возраста)

В редактор данных системы SPSS Base вводим:

- переменную «год»;

- уровни временных рядов коэффициента демографической нагрузки в РФ – переменные «Всего», «Моложе», «Старше».

Результаты ввода данных приведены на рис. 1 (получен с помощью процедуры «Отчеты итогов в колонках» системы SPSS Base).

Как видно из рис. 1, уровни временного ряда общего коэффициента демографической нагрузки равны суммам уровней временных рядов коэффициентов демографической нагрузки, определяемых для лиц моложе и старше трудоспособного возраста.

Графики временных рядов коэффициентов демографической нагрузки в РФ, построенные с помощью процедуры «Sequence» (последовательность) системы SPSS Base, представлены на рис. 2.

а	б
Рис. 2. Графики временных рядов коэффициента демографической нагрузки в РФ: а – все население нетрудоспособного возраста; б – население моложе и старше трудоспособного возраста. Вертикальной пунктирной линией отмечен 2008 г., отвечающий изменению характера динамики показателей

Судя по характеру временных рядов – медленный рост показателей в начале периода наблюдений и ускорение роста после 2008 г. (отмечено вертикальной пунктирной линией), устанавливаем временной диапазон анализа – 2008-2013 гг. и горизонт прогнозирования – 2014-2015 гг.

Поскольку график временного ряда, представленный на рис. 2 а, является суммой временных рядов графиков рис. 2 б, анализ достаточно, в принципе, выполнить только для двух последних показателей – коэффициентов демографической нагрузки населением моложе и старше трудоспособного возраста.

Судя по рис. 2, конкурирующими моделями тренда временных рядов этих показателей могут быть:

1) двухпараметрическая экспоненциальная модель роста вида

х = b₀ exp(b₁t);                                                          (5)

2) трехпараметрическая параболическая модель вида

х = b₀ + b₁t + b₂t².                                                       (6)

Обе модели допускают значение временной переменной t=0, и вместо переменной «год» используем переменную

t=год-2008.                                                            (7)

Согласно соотношению (7), начальному году анализируемого периода (2008-му) отвечает значение временной переменной t=0, конечному – 2013-му году – t=5, прогнозным 2014 и 2015 годам – значения временной переменной t=6 и 7 соответственно.

Исходные данные по временным рядам коэффициентов демографической нагрузки в РФ в период 2008-2015 гг., подготовленные к моделированию и прогнозированию, представлены на рис. 3. Расчетные значения уровней временных переменных «Всего», «Моложе», «Старше» пока не определены, а фактические их значения для 2014-2015 гг. на рис. 3 отмечены точками, обозначающими пропуски.

Расчет параметров конкурирующих моделей тренда временного ряда проводим в программной среде модуля Curve Estimation пакета SPSS Base.

Результатом моделирования являются:

1) текстовая таблица «ANOVA table», содержащая следующие результаты моделирования:

- статистические характеристики качества модели;

- собственно таблица дисперсионного анализа;

- МНК-оценки параметров модели и их статистические характеристики;

2) графики, отражающие результаты моделирования.

На рис. 4 приведена таблица «ANOVA table» для экспоненциальной модели роста общего коэффициента демографической нагрузки в РФ в период 2008-2013 гг.

Поясним эту таблицу. В ее верхней части приведены статистические характеристики качества модели:

- «Multiple R» – множественный коэффициент корреляции;

- «R Square» – коэффициент детерминации R²;

- «Adjusted R Square» – коэффициент детерминации, скорректированный на число параметров модели;

- «Standard Error» – стандартная ошибка аппроксимации.

В центре таблицы «ANOVA table» – собственно таблица дисперсионного анализа. Приведены для регрессии (Regression) и остатков (Residuals):

- «DF» – число степеней свободы;

- «Sum of Squares» – сумма квадратов;

- «Mean Square» – средний квадрат,

а также критерий Фишера (F) и уровень его статистической значимости (Signif F).

Заключают таблицу «ANOVA table» данные по оценке коэффициентов регрессии (B):

- «ВРЕМЯ» – коэффициент регрессии при временной переменной;

- «(Constant)» – свободный коэффициент модели.

Здесь же приведены:

- ошибки коэффициентов регрессии (SE B);

- величина бета-коэффициента (Beta);

- значения критерия Стьюдента (T);

- уровни их статистической значимости (Sig T).

Прокомментируем данные таблицы «ANOVA table». Согласно этим данным, экспоненциальная модель тренда динамики общего коэффициента демографической нагрузки в РФ в период 2008-2013 гг. объясняет 99,9% общей дисперсии при стандартной ошибке аппроксимации логарифма показателя StErr – 0,0024, чему соответствует относительная ошибка аппроксимации показателя 0,24%.

Модель статистически значима на высоком уровне – критерий Фишера F=2748,1, а р-уровень не хуже 0,00005. Это означает, что ошибка признать модель незначимой очень мала – не более 0,005%.

В математической форме модель записывается так:

х = 588,7 exp(0,0303t),                                                (8)

где t – временная переменная, определяемая соотношением

t = год – 2008.

Коэффициент регрессии b₁ при временной переменной t (b₁=0,0303) статистически значим на высоком уровне – критерий Стьюдента t=52,4 значительно больше критического значения (t_крит@2), и его р-уровень не хуже 0,00005.

Экспоненциальная модель обладает тем положительным свойством, что оба ее параметра имеют четкий смысл:

- коэффициент регрессии при временной переменной t (0,0303) – это МНК-оценка темпа прироста общего коэффициента демографической нагрузки в РФ, которая составляет в среднем 3,03% в год;

- свободный коэффициент b₀=588,7 – это расчетная величина общего коэффициента демографической нагрузки в РФ х_расч при t=0, т.е. в начальный год временного интервала анализа – 2008 год. Это расчетное значение показателя в 2008 г. достаточно близко к фактическому значению 590.

Результаты моделирования в графическом виде для обеих конкурирующих моделей – экспоненциальной и параболической – представлены на рис. 5.

а	б
Рис. 5. Моделирование динамики общего коэффициента демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г.: а – экспонентой; б – квадратичным полиномом (параболой). Полужирные линии – фактические временные ряды; пунктирные линии – расчет

Параметры и характеристики качества обеих моделей динамики общего коэффициента демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г. приведены в табл. 3

              Таблица 3

Параметры и характеристики качества конкурирующих моделей динамики общего коэффициента демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г.

Из табл. 3 следует, что высокими характеристиками качества обладают обе конкурирующие модели динамики общего коэффициента демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г. – каждая из них объясняет более 99% общей дисперсии, обе статистически значимы на высоком уровне (р-уровень не хуже 0,005%).

По коэффициенту детерминации R² предпочтительнее модель (2) – квадратичная парабола, а по критерию Фишера более предпочтительной является модель (1) – экспонента. Экспоненциальная модель (1) более простая – имеет два параметра, тогда как модель (2) – три. Кроме того, следует учитывать, что полиномы могут быть использованы для интерполяции, но не рекомендуются для использования в прогнозных целях – при экстраполяции за пределы временного диапазона анализа они часто искажают характер тренда, хотя в данном конкретном случае искажения не наблюдается. 

Исходя из сравнительного анализа, в качестве модели динамики общего коэффициента демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г. принимаем экспоненциальную модель (1). Дополнительным доводом в ее пользу является четкая интерпретируемость параметров экспоненциальной модели – параметр b₀ (свободный коэффициент) равен расчетному значению показателя в начальный год временного диапазона анализа (2008 г.), параметр b₁ (коэффициент регрессии при временной переменной) – это среднее значение коэффициента прироста. Коэффициент прироста b₁=0,0303, т.е. темп прироста общего коэффициента демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г. в среднем составляет 3,03% в год. Заметим также, что расчетное значение общего коэффициента демографической нагрузки в РФ в 2008 г. х_расч(2008)=b₀=588,7 достаточно близко к фактическому значению 590.

Ниже в табл. 4 и 5 представлены параметры и характеристики качества экспоненциальных и параболических моделей динамики двух частных коэффициентов демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г. – для лиц моложе и старше трудоспособного возраста.

              Таблица 4

Параметры и характеристики качества конкурирующих моделей динамики частного коэффициента демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г. (лица моложе трудоспособного возраста)

              Таблица 5

Параметры и характеристики качества конкурирующих моделей динамики частного коэффициента демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г. (лица старше трудоспособного возраста)

Из табл. 4 и 5 следует, что и экспоненциальные, и параболические модели динамики обеих частных коэффициентов демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г. (для населения моложе и старше трудоспособного возраста) обладают достаточно высокими характеристиками качества и удовлетворяют предъявляемым к аппроксимирующим моделям требованиям. Можно также отметить и близость расчетных значений частных коэффициентов демографической нагрузки в РФ по обеим моделям: для лиц моложе трудоспособного возраста это 251,7 и 253,4 соответственно при фактическом уровне показателя 253 человека на 1000 человек трудоспособного населения в 2008 году, для лиц старше трудоспособного возраста – 337,1 и 336,6 соответственно при фактическом уровне показателя 337 человека на 1000 человек трудоспособного населения.

В то же время, экспоненциальные модели предоставляют аналитику более полную информацию – по величине коэффициента регрессии при временной переменной можно судить о темпах роста демографической нагрузки на трудоспособное население: для лиц моложе трудоспособного возраста средний темп прироста показателя составляет 2,69% в год, для лиц, старше трудоспособного возраста – 3,29% в год. Напомним, что темп прироста общего коэффициента демографической нагрузки в РФ в 2008-2013 г. в среднем составляет 3,03% в год, т.е. демографическую нагрузку на трудоспособное население в большей мере определяется старшим поколением, и это тенденция сохраняется.