Динамика колебаний математического маятника

Маятниками называются протяженные тела различной формы и размеров, совершающие колебания около точки подвеса или опоры. При отклонении из положения равновесия сила тяжести и упругие силы определяют в каждый момент времени ускорение маятника, т. е. определяют характер его движения (колебания). Рассмотрим динамику колебаний на простейшем примере математического маятника.

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка.

Рассмотрим груз малого размера, подвешенный на длинной тонкой нити. Его можно считать математическим маятником, если пренебречь массой нити и деформацией груза, т. е. считать, что масса маятника сосредоточена в грузе, а нить нерастяжима. Посмотрим теперь, под действием каких сил происходит колебание маятника после того, как он каким-либо способом (толчком, отклонением) выведен из положения равновесия.

Когда маятник покоится в положении равновесия, то сила тяжести, действующая на его груз и направленная вертикально вниз, уравновешивается силой натяжения нити. В отклоненном положении (рис.5) сила тяжести mg действует под углом к силе натяжения T, направленной вдоль нити. Разложим силу тяжести на две составляющие: по направлению нити (mg)n и перпендикулярно к ней (mg)τ.

При колебаниях маятника сила натяжения нити T несколько превышает составляющую (mg)n на величину центростремительной силы, которая заставляет груз двигаться по дуге. Составляющая же (mg)τ всегда направлена в сторону положения равновесия; она как бы стремится восстановить это положение. Поэтому она является возвращающей силой. По модулю (mg)τ тем больше, чем больше отклонен маятник.

Итак, как только маятник при своих колебаниях начинает отклоняться от положения равновесия, скажем, вправо, появляется сила (mg)τ, замедляющая его движение тем сильнее, чем дальше он отклонен. В конечном счете, эта сила его остановит и повлечет обратно к положению равновесия. Однако по мере приближения к этому положению сила (mg)τ будет становиться все меньше и в самом положении равновесия обратится в нуль. Таким образом, через положение равновесия маятник проходит по инерции. Как только он начнет отклоняться влево, опять появится растущая с увеличением отклонения сила (mg)τ, но теперь уже направленная вправо. Движение влево опять будет замедляться, затем маятник на мгновение остановится, после чего начнется ускоренное движение вправо и т.д.

Рассчитаем период колебаний математического маятника. Координату маятника x будем отсчитывать вдоль дуги от положения равновесия. Возвращающая сила

(mg)τ=-mg·sinα,

где α – угол, на который отклонен маятник от положения равновесия. Знак “–“ появился из-за того, что сила (mg)τ направлена против положительного направления отсчета координаты. При малых углах . Поэтому

.

Мы видим, что возвращающая сила пропорциональна отклонению груза x, точно так же, как и в случае с пружинным маятником. Поэтому в нашем случае действие силы тяжести можно заменить действием пружины жесткостью

.                                                             (3)

Воспользуемся результатами, полученными для пружинного маятника, и вместо k подставим выражение (3). Циклическая частота колебаний математического маятника:

.                                                    (4)

Что происходит с энергией маятника при его колебаниях? Как и в случае с пружинным маятником, два раза в течение периода – при наибольших отклонениях влево и вправо – маятник останавливается, т. е. в эти моменты скорость равна нулю, а значит, равна нулю и кинетическая энергия. Зато именно в эти моменты центр тяжести маятника поднят на наибольшую высоту и, следовательно, потенциальная энергия наибольшая. Наоборот, в моменты прохождения через положение равновесия потенциальная энергия наименьшая, а скорость и кинетическая энергия достигают наибольшего значения.

При колебаниях маятника происходит периодический переход кинетической энергии в потенциальную и обратно. Однако полная энергия маятника (сумма потенциальной и кинетической энергий) все время постоянна. Она равна той энергии, которая была сообщена маятнику при пуске, безразлично – в виде ли потенциальной энергии (начальное отклонение) или в виде кинетической (начальный толчок).

Так обстоит дело при всяких колебаниях в отсутствие трения или каких-либо иных процессов, отнимающих энергию у колеблющейся системы или сообщающих ей энергию. Именно поэтому амплитуда сохраняется неизменной и определяется начальным отклонением или силой толчка.

По результатам расчетов и из наблюдений над маятниками можно установить следующие простые законы:

1. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника (расстояние от точки подвеса до центра тяжести груза), подвешивать разные грузы, то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.

2. Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока не слишком велики амплитуды, колебания достаточно близки по своей форме к гармоническим, и период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство называется изохронизмом (от греческих слов «изос» – равный, «хронос» – время).

Впервые этот факт был установлен в 1655 г. Галилеем якобы при следующих обстоятельствах. Галилей наблюдал в Пизанском соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. В течение богослужения размахи качаний постепенно затухали, т. е. амплитуда колебаний уменьшалась, но период оставался одним и тем же. В качестве указателя времени Галилей пользовался собственным пульсом.

Наш теоретический вывод позволяет установить количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2π.

.                                                      (5)

На зависимости периода маятника от ускорения свободного падения основан очень точный способ определения этого ускорения. Измерив длину маятника l и определив из большого числа колебаний период, мы можем вычислить с помощью полученной формулы g.

.                                                                        (6)

Этот способ широко используется на практике.

Дата: 2018-11-18, просмотров: 307.