1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).
2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
3. Найти точки пересечения с осями координат
4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).
6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.
7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
8. Найти наклонные асимптоты функции.
9. Построить график функции.
Пример:
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график y = x 3 +6 x 2 +9 x +2
РЕШЕНИЕ:
1) Область определения функции – вся числовая прямая, то есть
D (y) = (−∞; +∞) .
Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.
2) Точки пересечения с осями координат:
Ox : найти затруднительно
Oy:x=0⇒ 03 +6*02 +9*0+2=2 ⇒ Точка (0;2)
3)Функция общего вида, так как
y(-x) = -x3 +6x2 -9x+2≠ ±y(x)
4) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:
y'=3x2 +12x+9
Находим критические точки: y'=0; 3x2 +12x+9=0; x1 =-1; x2 =-3.
Исследуем знак производной на интервалах,
на которые критические точки делят область определения функции.
y' + - +
![]() |
y -3 -1 x
Функция возрастает на интервалах (−∞ ;-3),(-1; +∞) , убывает на интервале
(-3;-1). Функция имеет минимум в точке x = -1 , y(-1) =-2 , функция имеет максимум в точке x = -3 , y(-3)=2.
5) Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.
y''=(3x2 +12x+9)'=6x+12
Находим критические точки: y''=0; 6x+12=0; x=-2.
Исследуем знак производной на интервалах, на
которые критические точки делят область определения функции.
y'' - +
y -2 x
Функция выпукла вверх на интервале (−∞;-2) , выпукла вниз на интервале
(-2 ; +∞) . Точка перегиба: x =-2, y(-2) = 0.
6) Асимптоты.
Так как =
=∞ , асимптот нет.
7) Строим график функции.
|
|
Интегральное исчисление.
1.Основные правила интегрирования |
1. Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2.Таблица основных неопределенных интегралов |
1. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
3.Непосредственное интегрирование |
Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.
Пример:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
4.Метод подстановки (замена переменной интегрирования) |
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Пример 2:
(положим t = 2x+3, тогда x=
t-
, dx =
dt)
=
=-
+C= =-
+C
Пример 3:
dx= (положим t= x2 +25, тогда dt = 2x dx, x dx=
dt) =
*
dt=
dt=
+C =
+C =
+C =
+C
Определенный интеграл.
Если существует определенный интеграл от функции f(x) , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке .
Для интегрируемости функции на отрезке достаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.
Если функция непрерывна на , то от нее существует неопределенный интеграл
и имеет место формула
т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.
Формула
называется формулой Ньютона-Лейбница.
Пример 1:
Необходимо найти определенный интеграл
Имеем:
Таким образом искомый интеграл равен 6.
Пример 2:
Вычислить интеграл:
Решение:
=( 3
+ 4
+5x)
=
+2
-
- ( +2
26- 8=18.
Приложение определенного интеграла в экономике
Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.
Задача . Известно, что спрос на некоторый товар задается функцией p = 4 – q2, где q – количество товара (в шт.), p – цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p* = q* = 1. Определите величину потребительского излишка.
Решение.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 629.