Попытаемся продемонстрировать достоинства нефундаменталистской философии математики на примере проблемы возникновения теорети­ческой дедуктивной математики.

Долгое время считалось, что аксиоматический метод является единст­венно приемлемой формой изложения математических результатов. Поло­жение изменилось в XX столетии, когда было начато исследование общей картины развития научных знаний в странах Древнего и Средневекового Востока. Исследования математических достижений древних восточных цивилизаций, проведенные рядом ученых (особое значение имели труды О. Нейгебауэра и Дж. Нидэма), показали, что укоренившееся в научном мышлении представление об одновариантности развития математики яв­ляется скорее данью традиции, нежели положением, покоящимся на твер­дом фундаменте исторических фактов. Ни в одной из восточных цивили­заций математика так и не была преобразована в науку, базирующуюся на немногих первичных определениях и аксиомах. И если в отношении Древ­него Египта и Вавилона этот факт еще можно постараться объяснить уга­санием данных цивилизаций ко времени расцвета эллинской культуры, то подобная аргументация по отношению к культурам Индии и Китая совер­шенно невозможна: в этих странах наивысшие достижения науки были еще впереди. В подобной ситуации напрашивается вывод о невозможнос­ти рассмотрения математики в качестве феномена, изолированного от культурных условий, сложившихся в рамках данной цивилизации. Уни­кальный феномен, который представляет собой дедуктивная математика, похоже, трудно отделить от других созданий эллинского гения. Осознание зависимости феномена дедуктивной математики от обстоятельств времени и места заставило современных историков науки обратить пристальное внимание на проблему ее зарождения.

Действительно, исследование математики восточных цивилизаций показало, что возникновение аксиоматического метода невозможно объ­яснить одним количественным ростом математического знания. Если бы

26                                       I. Философские проблемы математики

развитие математики определялось полностью количественными параме­трами, то дедуктивный метод должен был возникнуть всюду, где объем ма­тематических сведений превысил некоторую «критическую массу». В ча­стности, это должно было неизбежно произойти и в Китае, и в Индии, где (в отличие от Древнего Египта и Вавилона) математическая традиция не прерывалась, а объем знаний, накопленный в Средние века, был сопоста­вим с объемом знаний древнегреческой математики конца IV в. — време­ни возникновения аксиоматического способа построения знания. Тем не менее математика в этих странах так и не стала дедуктивной наукой.

Таким образом, традиционная схема возникновения дедуктивного метода, опирающаяся на вульгарный вариант закона «перехода количе­ства в качество», плохо согласуется с реальной историей математики.

Недостаточность чисто «количественного» объяснения феномена де­дуктивной математики свидетельствует о необходимости поиска специ­фических предпосылок, внешних по отношению к математике как тако­вой, без которых обретение математикой дедуктивной формы было бы невозможно. При этом необходимо, чтобы выбор тех или иных истори­ческих предпосылок происходил не при помощи интуиции исследовате­ля (которая может и подвести), а на основе объективного критерия, внешнего по отношению к истории как таковой. Такой критерий можно «извлечь» только из анализа самого дедуктивно-аксиоматического мето­да, точнее его «идеи».

Указанная «идея» содержится в принадлежащей С.А. Яновской харак­теристике математического метода рассуждений, приведенной в § 1.1. Наличие четко обозначенной тенденции отталкивания от чувственно или мысленно созерцаемой реальности в процессе построения системы зна­ния (после фиксации ее предмета), содержащейся в этой характеристике, является достаточно строгим критерием различения дедуктивных и неде­дуктивных наук, позволяющим объективным способом выделить истин­ные предпосылки возникновения дедуктивно-аксиоматического метода. Этот способ опирается на анализ той роли, которую аксиоматический метод играет в современном научном познании.

Прежде всего следует выяснить, связан ли способ выведения фактов из определений и аксиом только с теоретическими науками (как это имеет место в геометрии) или же он может эффективно применяться и в практически ориентированной системе знаний.

Основной целью ученого, занимающегося теоретической наукой, яв­ляется приращение имеющихся в данной науке знаний. Его деятельность исходит всегда из наличного знания и завершается получением нового знания, что может быть выражено следующей схемой: понятие — дело — понятие . В практической деятельности, напротив, человек нацелен на не­посредственно значимый для него результат, и те или иные сведения ин­тересуют его лишь постольку, поскольку способствуют достижению наме-

1.2. Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики...  27

ценного результата. В этом случае знание вторично по отношению к по­ставленным целям и соответствующая деятельность подчиняется иной, нежели в предыдущем случае, схеме: дело — понятие — дело . Противопо­ложность установок теоретической и практически ориентированной на­уки («знание ради знания» и «знание для конкретного дела») приводит к существенному различию принятых в этих науках критериев истинности.

Ложность системы правил, положенных в основу определенного вида практической деятельности, проявляется только тогда, когда фактичес­кий результат их выполнения оказывается отличным от ожидаемого. В случае соответствия фактического и ожидаемого результатов рассмат­риваемая система правил считается «практически истинной», хотя с точ­ки зрения теории это может быть и не так. В теоретической системе зна­ний отсутствие противоречия между утверждением науки и реальностью само по себе еще не служит доказательством ее истинности. Важно, что­бы помимо соответствия внешней действительности это утверждение внутренне согласовывалось бы с остальными положениями теории. В от­личие от теоретической науки, в практически ориентированной системе знаний соответствие ее утверждений действительности является не толь­ко необходимым, но и достаточным условием успешной деятельности, вследствие чего в ней отсутствует потребность в специальной проверке всех положений на внутреннюю согласованность.

Характерной особенностью дедуктивной науки является то, что содер­жательные представления относительно изучаемых ею объектов привле­каются лишь однажды, при формулировании начальных положений. В дальнейшем при доказательстве утверждений данной науки стремятся к тому, чтобы в процессе вывода не использовалось ничего сверх оговорен­ного ранее. Так как в дедукции представления, связанные с реальностью, должны использоваться лишь в той мере, в какой они отражены в исход­ных посылках, то в своих выводах подобная наука не может выйти за рам­ки содержания, имеющегося в неявном виде в ее основоположениях. Она и не может быть не чем иным, как систематическим развертыванием, вы­явлением этого содержания. Поскольку процесс логического вывода представляет собой получение нового знания из наличного знания, то в силу этого он является теоретической деятельностью. Весь вопрос в том, может ли теоретическая деятельность такого рода вызываться нуждами практики или же необходимо, чтобы объекты данной деятельности рас­сматривались как самостоятельные сущности, изучение которых пред­ставляет интерес независимо от практических приложений.

Выше уже говорилось, что проверка утверждений на соответствие их действительности естественным образом входит в любую практически ориентированную систему знаний. В этой связи требования дедуктив­ной теории, разрешающей обращение к опыту только при формулиров­ке начальных ее положений, выглядят не просто неуместными, но чем-

28                                        1. Философские проблемы математики

то прямо противоположным по отношению к установке, разделяемой всеми прикладными науками. Этого противопоставления недостаточно, чтобы исключить возможность применения идеи аксиоматического вы­вода в практических целях, но вполне достаточно, чтобы исключить вся­кую возможность возникновения дедуктивного способа рассуждений в практически ориентированной системе знания.

Теперь важно выяснить, в рамках какой конкретной науки (или, воз­можно, одной из нескольких наук) мог зародиться аксиоматический ме­тод. Заслуга подобной постановки вопроса принадлежит С.А. Яновской: «Почему в "Началах" Евклида геометрия строится аксиоматически, арифметика же нет? Почему вообще так поздно вошла в математический обиход система аксиом для арифметики натуральных чисел? Известно ведь, что наиболее распространенная теперь в литературе система акси­ом Пеано было опубликована лишь в 1891 г., между тем как система ак­сиом Евклида стала общеупотребительной в геометрии со времен древ­них греков»¹.

Для того чтобы аксиоматический метод мог с необходимостью возник­нуть в некоторой области знаний, важно, чтобы утверждения о свойствах объектов данной предметной области не допускали иного способа про­верки, кроме повторения процесса мысленного их конструирования в со­ответствии с заранее принятыми постулатами построения. Цель аксиома­тического метода не может сводиться к максимальной краткости изложения или к возможно большей его доступности. Современные акси­оматические изложения геометрии или логики представляют значитель­ные трудности для человека, не имеющего склонности к математике. От­каз от использования содержательных представлений после завершения формулировки основоположений дедуктивной науки оказывается осмыс­ленным только при условии, если главной целью является получение га­рантий того, что сложные утверждения теории обладают не меньшей сте­пенью истинности, нежели ее исходные постулаты и аксиомы. Без этой «сверхзадачи» никакая наука не будет преобразована в форму аксиомати­ческой теории. Откуда же может возникнуть потребность в столь жестком контроле за степенью достоверности получаемых утверждений науки?

Если, как, например, в физике или химии, существует «внешний» способ проверки истинности утверждения теории, не задействующий всех использованных в его выводе гипотез и основоположений, то нали­чие каких-либо пробелов в выводе при его подтверждении данной про­веркой не будет представлять серьезной опасности для его сохранения в

¹ Яновская С.А. Из истории аксиоматики // Историко-математические исследования. М., 1958. Вып. 11. С. 64. Изложение подхода С.А. Яновской с последующим развитием ее рассуждений см.: Молодший В.Я. Очерки по философским вопросам математики. М., 1969. С. 268-277.

1.2. Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики...  29

составе науки, хотя согласие с «экспериментом» не свидетельствует само по себе о нежелательности устранения подобных пробелов внутритеоре-тическими средствами. При отсутствии «внешних» способов проверки дело обстоит иначе. В этом случае для устранения сомнений в правиль­ности научного положения не остается ничего другого, как перепрове­рить шаг за шагом все ведущие к нему рассуждения.

«Внешняя» проверка утверждений теории возможна не только в есте­ственных науках, где она предусмотрена, так сказать, по определению, но и в математических дисциплинах. Наиболее простой пример такого рода дисциплины доставляет арифметика.

Формула \ + 2 + 3 + ... + п = п (п + 1)/2 допускает строго дедуктивное доказательство на основе аксиом Пеано, однако в смысле убедительности оно не только не превосходит, но даже уступает неформальному рассужде­нию, опирающемуся на расположение в противоположном порядке сла­гаемых из второго экземпляра искомой суммы под первым, после чего, ввиду равенства всех сумм подписанных одного под другим чисел, дока­зываемое соотношение становится очевидным. Чем же объясняется убе­дительность приведенного — заведомо недедуктивного — рассуждения?

Если число п невелико, то указанная выше процедура без труда может быть проделана с реальными предметами (например, камешками), замеща­ющими отвлеченные числа. Так как операции счета с камешками тождест­венны в отношении результата аналогичным операциям с неименованны­ми числами, то подобная процедура в состоянии убедить в справедливости рассматриваемой формулы для небольших п даже самого софистически на­строенного оппонента. Поскольку рассуждение не зависит от величины па­раметра и, вскрывая по существу причину совпадения левой и правой частей равенства, то формула не может быть неверна и для остальных значений п. И здесь самому заядлому спорщику нечего было бы возразить.

Сходным образом обстоит дело и с другими, более сложными утверж­дениями теоретической арифметики. Каждое предложение, выводимое из аксиом формализованной арифметики, обладает и «содержательным» до­казательством, как минимум не уступающим по степени убедительности формальной дедукции. Даже если для утверждения и не удается найти краткого оригинального доказательства наподобие приведенного выше, на худой конец можно ограничиться преобразованием аксиоматического вы­вода в содержательное рассуждение с помощью интерпретации всех шагов вывода на «квазипредметной» модели. Последнее возможно по той причи­не, что сами законы счета, служащие прообразом аксиом формальной арифметики, не только обладают подобной интерпретацией, но и истори­чески могли быть осознаны лишь благодаря рефлексии над фактически осуществляемой деятельностью счета путем перевода этой деятельности в план мысленного созерцания и представления. Так как вопрос об истинно­сти аксиом не обсуждается в рамках дедуктивной теории, то справедливость

30                                       1. Философские проблемы математики

любого формально выведенного арифметического утверждения обусловлена принятием (или непринятием) исходных основоположений, в то время как после «квазипредметной» интерпретации этот момент условности полно­стью исчезает. Последнее же означает, что переход на точку зрения аксио­матики не дает никакого выигрыша в отношении степени убедительности обоснования арифметических утверждений. Наличие независимой внеш­ней проверки справедливости предложений теоретической арифметики лишает ее «внутреннего стимула» к преобразованию в дедуктивную форму. Вследствие этого арифметика ни при каких обстоятельствах и не могла стать первой дедуктивной дисциплиной.

Внешний по отношению к логической дедукции способ проверки су­ществует и для некоторых геометрических теорем. Так, в равенстве углов при основании равнобедренного треугольника можно убедиться про­стым перегибанием чертежа вокруг прямой, соединяющей середину ос­нования с противолежащей вершиной (предварительное нахождение се­редины основания при этом излишне, поскольку она находится попутно в результате перегибания). Но уже теорема о том, что равенство углов влечет также и равенство смежных с ними углов, не может быть доказа­на с помощью подобных средств.

Стандартное школьное доказательство с использованием первого и третьего признаков равенства треугольников, имеющее реальный «пред­метный эквивалент», позволяет доказать совпадение лишь ограниченных частей смежных углов. Для того чтобы гарантировать равенство смежных углов как неограниченных частей плоскости, необходимо постулировать специальное свойство, логически эквивалентное однозначности продол­жения прямой (у Евклида эту роль играет IV постулат о равенстве всех прямых углов). Только таким образом можно завершить указанное рас­суждение, однако «цена» такого доказательства будет велика. Оно будет относиться уже не к реально проводимым линиям, имеющим ширину (даже самый совершенный в теоретическом отношении способ неогра­ниченного продолжения прямой не может при фактическом исполнении приводить к одинаковым результатам), а к их мысленным прообразам, к идеализированным прямым, ибо только таким способом на место интуи­тивного представления о прямой может быть поставлено строгое поня­тие, пригодное в качестве основания для логических выводов.

Линии без ширины и точки, не имеющие частей, — вот подлинные объекты теоретической геометрии. Но тогда соединение точек прямой линией, ее продолжение до нужных пределов, проведение из любого центра окружности произвольного радиуса и нахождение при определен­ных условиях точки пересечения прямых не могут считаться заведомо выполнимыми операциями. Ссылки на реальную практику геометричес­ких построений здесь не помогают, да и та, даже если отвлечься от разли­чий между «физическими» и «математическими» объектами, не гаранти-

1.2. Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики...  31

рует всеобщности выполнения перечисленных операций. Выполнимость данных операций может быть только постулирована, причем лишь при­нятие этих допущений дает пропуск в царские врата геометрии.

Замене физических линий линиями математическими соответствует переход от реальной предметной деятельности к ее идеализированному аналогу — деятельности, осуществляющейся только в воображении. Ге­ометрия не является в этом смысле чем-то исключительным среди мате­матических наук.

В арифметике цифровые знаки играют ту же роль, что и чертежи в ге­ометрии: замещая фактические действия с пересчитываемыми или из­меряемыми предметами, они способствуют переносу соответствующей деятельности в план представления и воображения. При известном на­выке бумага и карандаш становятся при действиях с небольшими числа­ми излишними, и счет в уме становится более быстрым способом дости­жения требуемого результата.

Имеются, однако, и различия. Самым важным с точки зрения рассмат­риваемой проблемы является то, что в арифметике действия с числами в уме, на бумаге или на счетах различаются между собой лишь по форме. Со­держание всех этих действий одно и то же, что и позволяет, в конечном счете, производить независимую от всякой аксиоматики проверку ариф­метических утверждений. В геометрии, в отличие от арифметики, нарисо­ванный на бумаге чертеж играет по отношению к мыслимому с его помо­щью содержанию роль сугубо вспомогательную, способствуя удержанию в голове сложного хода логической мысли. Различие между идеализирован­ными и фактически проводимыми линиями приводит к тому, что мыслен­ная деятельность с идеальными геометрическими объектами оказывается намного «богаче» ее реального прообраза, как это имеет место в случае те­оремы о смежных прямолинейных углах.

В случае возникновения сомнений в истинности утверждений, каса­ющихся свойств идеальных геометрических объектов, обращение к практике реальных построений ничего не даст в отношении прямых и окружностей без ширины. Единственный способ удостовериться в пра­вильности геометрических предложений заключается в оценке прием­лемости принятых постулатов и проверке корректности сделанных на их основе, а также при помощи общих аксиом заключений. Отсутствие воз­можности «внешней» проверки геометрических теорем и превращает аксиоматический метод в естественный способ построения науки о свойствах фигур и тел.

Актуальным доказательство теоретического предложения может стать только тогда, когда предмет утверждения будет удерживаться перед умст­венным взором силой воображения независимо от способа фактического его конструирования, который воссоздается уже позднее, в ходе реально проводимого доказательства. Предположение о равенстве суммы углов

32                                       1. Философские проблемы математики

треугольника двум прямым может быть выдвинуто на основе частного случая равносторонних треугольников, например при замещении ими плоскости, и это будет достаточно весомым аргументом в пользу поиска доказательства для общего случая. Здесь важно то, что выдвинутый в ка­честве гипотезы факт удерживается нашим воображением как легко рас­познаваемое целое на всем протяжении рассуждений, направляя и орга­низовывая их в качестве цели всех действий вплоть до завершения дедуктивного доказательства. Выдвигая предположение, мы мыслим фи­гуру расположенной в «обыденном» пространстве, но, проводя доказа­тельство, переносим ее (подчас не отдавая себе в том полного отчета) в «идеализованное», математическое пространство, «отделенное» от свое­го чувственного прообраза определениями и постулатами, относящимися не к видимым, но лишь к мыслимым точкам, линиям и поверхностям.

Особая роль геометрии в историческом становлении идей аксиома­тического метода как раз и объясняется парадоксальным сочетанием указанных противоположных обстоятельств: хотя свойства геометриче­ских объектов в силу их особой наглядности и очевидности могут быть открыты и разъяснены независимо от какой бы то ни было аксиоматики и дедукции, доказательство их истинности в большинстве случаев не­возможно без опоры на предварительно сформулированные аксиомы и постулаты. Существует ли еще хотя бы одна предметная область, утверж­дения об объектах которой удовлетворяли бы указанным выше свойст­вам геометрических предложений и теорем? Если бы никакая другая на­ука не могла обладать названными свойствами, это и означало бы, что геометрия является единственной теоретической дисциплиной, в лоне которой способен зародиться аксиоматический метод.

Двойственный характер объектов «первой дедуктивной науки», стано­вящихся «идеальными» при окончательном изложении ее результатов, но в процессе их обоснования не противополагаемых чувственной действи­тельности и потому целиком принадлежащих ей, накладывает весьма же­сткие ограничения на их возможную природу. В самом деле, они не могут существовать независимо от целесообразной человеческой деятельности (как это имеет место в отношении объектов оптики или астрономии), ибо в противном случае для утверждений теории нашелся бы внешний по от­ношению к дедуктивному выводу способ проверки. По той же причине объектами первой дедуктивной науки не могут быть и преобразованные трудом человека предметы природы. Только тогда, когда чувственно вос­принимаемые объекты, будучи материальными предметами, существуют в таковом качестве как продукт целенаправленной деятельности, представ­ляя собой формы деятельности, зафиксированные как вещь (или, иными словами, опредмеченные представления), только в этом случае при аксиома­тическом изложении их «материальная оболочка» способна испариться без следа, сохранив в своем составе лишь те мыслительные действия, кото-

1.2. Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики...  33

рые при соединении с веществом природы и приводят к созданию зримо осязаемых объектов, характерных для рассматриваемой науки на стадии открытия и поиска обоснования ее результатов.

Природный субстрат, в котором воплощены объекты данной дедук­тивной науки, не играет существенной роли, так как помимо пригоднос­ти к выполнению указанной функции к нему не предъявляется никаких иных требований. По этой причине единственными свойствами рассма­триваемых объектов, не зависящими от особенностей образующего их вещества, являются их пространственно-временные закономерности (ес­ли бы в будущем и удалось обнаружить отличные от пространственно-временных универсальные характеристики телесных объектов некоторой науки, то для этого было бы недостаточно одного только чувственного созерцания и пришлось бы оказывать какое-то воздействие на них как на материальные тела; но тогда для проверки правильности найденных за­кономерностей существовал бы способ, опирающийся на это самое воз­действие и отличающийся от чисто мысленной процедуры дедуктивного вывода). Так как своим существованием эти «чувственные образы» иде­альных объектов дедуктивной науки обязаны только усилиям конструи­рующего ума, то преходящие свойства использованного при этом при­родного материала (бумаги или физических носителей магнитной «памяти» электронных дискет) являются тем, от чего необходимо полно­стью абстрагироваться. Поэтому при построении теории данные изменя­ющиеся природные предметы должны рассматриваться как «вечные», вследствие чего упомянутые выше их пространственно-временные ха­рактеристики не могут быть связаны со временем и должны быть их не­изменными пространственными свойствами.

При отвлечении от формы пространственно расположенных тел единственной содержательной характеристикой остается их количество, однако, как указывалось ранее, арифметика ни в коем случае не смогла бы стать первой аксиоматической теорией. Если же в расчет принимает­ся пространственная форма объектов теории, то тогда такой теорией и оказывается геометрия — наука, изучающая свойства плоских фигур и трехмерных тел. Круг замкнулся: никакой иной подходящей предмет­ной области для возникновения дедуктивного способа рассуждений, кроме геометрии, «в природе» не существует. Только теоретическая гео­метрия, как исторически это и произошло в Древней Греции VI —IV вв. До н.э., могла дать толчок становлению аксиоматического метода.

Какой же раздел теоретической геометрии с необходимостью требует Для своего представления аксиоматического изложения? До тех пор, по­ка объектом рассмотрения остаются чертежи, занимающие ограниченную часть плоскости, нет особой надобности в умении неограниченно про­должать прямые линии, а следовательно, вполне допустимо оставаться в Рамках геометрии, в которой все построения могут быть произведены с

2-4196

34                                       1. Философские проблемы математики

помощью циркуля и линейки. Углы как неограниченные части плоско­сти с необходимостью появляются в процессе обоснования теоремы о сумме углов треугольника. Именно в процессе ее обоснования прихо­дится формулировать сначала V и IV постулаты Евклида, а затем уже и первые три, поскольку требованиям IV и V постулатов могут удовлетво­рять только идеальные линии без ширины.

Для окончательного разрешения вопроса о причинах возникновения дедуктивного способа математических рассуждений в одной только Гре­ции необходимо обратиться к конкретным сведениям исторического ха­рактера, что опять-таки органично лишь для нефундаменталистской философии математики.

Раздел геометрии, изучающий свойства углов, мог появиться в Древ­ней Греции только в результате заимствования эллинами геометричес­ких сведений у египтян. Практические геометрические знания, нужные египтянам для строительства полных пирамид, при переносе на гречес­кую почву необходимо должны приобрести созерцательный (теоретиче­ский) характер, так как греки, как и вавилоняне, индийцы и китайцы, не строили полных пирамид. Дальнейшее преобразование теоретической геометрии в дедуктивную науку под воздействием диалектических спо­ров¹ было уже фактически предопределено и не зависело от воли и со­знания отдельных греческих математиков (хотя происходило и в соот­ветствии с их субъективным волеизъявлением)².