Пусть корабль движется по поверхности Земли, имеющей форму шара с величиной среднего радиуса R = 6366,707 м, из точки В₁ в точку В₂ (рис. 3.24). Тогда, в соответствии с формулами (3.38) и (3.39), координаты точки В₂ (текущие координаты местоположения корабля) можно выразить как:

                              (3.40)

Учитывая, что координаты точки начала движения корабля должны быть известны, то задача выработки автопрокладчиком текущих координат места корабля может быть представлена как совокупность следующих задач:

1) вычисление значений РШ и РД, определяемых как результат углового перемещения корабля по поверхности Земли из начального его местоположения за конечный промежуток времени;

2) непрерывное формирование координат текущего местоположения корабля в соответствии с (3.40);

3) непрерывная выдача текущих  координат следующим группам потребителей:

- операторам (на индикаторы, шкалы (в градусной мере);

- в системы корабельной автоматики (в виде напряжения или угла поворота вала);

- на планшет штурмана (в виде напряжений, подаваемых на каретки планшета для непрерывного отображение на карте (плане) вычисленных текущих координат местоположения корабля).        

Очевидно, что причиной изменения значений РШ и РД является перемещение корабля по поверхности Земли в пространстве и времени, определяемое как его угловое перемещение в двух взаимно перпендикулярных плоскостях: плоскости меридиана (приращение широты) и плоскости параллели (приращение долготы).

Используя известную из теоретической механики формулу  (ω = V/R) соответствия между линейной и угловой скоростями движения объекта по окружности с радиусом R и зная значения составляющих скорости корабля V_N и V_Е можно рассчитать угловые скорости движения корабля по земной поверхности как в плоскости меридиана, так и в плоскости параллели. При этом необходимо учитывать, что радиус параллели R_пар зависит от широты плавания корабля и, для принятой модели Земли в виде шара, определяется по формуле (R_пар = Rcosφ), где широта φ в начальный момент (точка В₁) равна величине φ_н, а в любой последующий момент времени t соответствует счислимой широте φ_с местоположения корабля. Тогда угловые скорости перемещения корабля в направлении меридиана ω_φ и параллели ω_λ рассчитываются по формулам:

Именно эти формулы и являются исходными выражениями для вычисления приращений сферических координат корабля при его движении из начальной точки в заданном направлении.

Эти приращения могут быть определены с применением известных из физики формул, используемых для вычисления пройденного за некоторый интервал времени расстояния, а именно:

;

.

Но корабельные измерители скорости движения – лаги измеряют не угловую, а линейную скорость движения корабля. Следовательно, соответствующие перемещения корабля по меридиану и параллели определяются как:

а) при

б) при

                                 (*)

где V - путевая скорость перемещения корабля, а V_N и V_E - ее проекции на меридиан и параллель.

В навигации понятие «Отшествие» (ОТШ) понимается как разность долгот двух точек, вычисленная при нулевой широте (на экваторе), т. е. при j = 0     

                   (3.41)

И так как именно эта формула используется для определения отстояния корабля от исходного местоположения по экватору, то при определении значения РД на любой другой (не нулевой) широте необходимо учитывать, что

                                        (**)

где  - средняя широта между точками В₁ и В₂  (рис. 3.25).

Величины V_N и V_E в автопрокладчике вычисляются по данным корабельных измерителей курса, скорости и дрейфа, вводимых в автопрокладчик непрерывно и автоматически, а также с учетом параметров течения, вводимых эпизодически вручную. Диаграмма формирования величин V_N и  V_E приведена на рис. 3.26.

Рис. 3.26. Диаграмма формирования параметров V_N и V_E

Таким образом, для определения угловых перемещений корабля во времени и пространстве нам необходимо учесть приведенные выше соотношения меду линейной и угловой скоростями движения материальной точки на поверхности шара с радиусом R, т. е. учесть формулы (ω = V/R)  и (R_пар = Rcosφ). Тогда:

                             (3.42)

                        (3.43)

где V_N, V_E - проекции линейной скорости перемещения корабля по поверхности Земли на меридиан и параллель соответственно, R - радиус Земли-шара.

Приведенные выше формулы определения РШ и РД в практике кораблевождения не очень удобны, так как в качестве единицы измерения разности широт и долгот (∆φ и ∆λ) используется безразмерная величина - радиан. Поэтому, для перевода значений угловых величин РШ и РД из значений радиан в соответствующие угловые минуты, необходимо подынтегральные выражения из формул (3.42) и (3.43) умножить на коэффициент, получаемый из соотношения 1 рад = 57,360 угл. мин. Величина коэффициента перевода будет равна k = 3438 угл. мин/рад. Кроме того, в указанные формулы следует подставить средний радиус Земли в морских милях, т. е. величину R = 3438 миль. С учетом отмеченных преобразований выражения (3.42) и (3.43) приобретают следующий вид:

                             (3.44)

                             (3.45)

где величина m = 1угл. мин/мили представляет собой постоянный коэффициент соответствия между линейными и угловыми величинами, а составляющие путевой скорости корабля V на меридиан (V_N) и параллель (V_Е) рассчитываются в автопрокладчике в соответствии с диаграммой, приведенной на рис. 3.26. Таким образом, формулы для выработки счислимых координат, заложенные в алгоритм задачи счисления для автопрокладчиков типа АП-4, АП-5 принимают вид:

                        (3.46)

                         (3.47)

Так осуществляется аналитическое счисление текущего местоположения корабля при его перемещении в пространстве и времени по поверхности морской поверхности Земли-шара.

Вычисляемые значения текущих координат транслируются всем потребителям (личный состав и техника), а также должны отображаться на планшете (прибор 2) автопрокладчика, на котором осуществляется автоматическая прокладка пути корабля на морской навигационной карте (МНК) в меркаторской проекции. Для решения этой задачи, требующей в любой момент времени указывать место корабля на МНК, используется специальное устройство (каретка), которое движется по планшету АП, повторяя путь корабля в масштабе МНК.

Исходной информацией для непрерывного отображения на планшете текущего местоположения корабля являются значения РШ и ОТШ, вычисляемые по формулам (*), которые определяют фактические отстояния корабля от начала ведения счисления (от начала прокладки) в любой момент времени по меридиану (S_N) и экватору (S_E) соответственно, т. е.:

                                (3.48)

                                (3.49)

Полученные составляющие S_N  и S_E фактического перемещения корабля следует преобразовать в соответствующие перемещения каретки планшета АП, учитывая при этом масштаб карты, используемой для ведения графической прокладки.

Морские навигационные карты (МНК) создаются в равноугольной проекции Меркатора, где земная поверхность проектируется на плоскость карты с переменным масштабом по меридиану. Поэтому формулы для расчета составляющих перемещения каретки в масштабе карты этот масштаб должны учитывать, а именно:

где М_т  –  текущий (переменный) масштаб карты, зависящий от широты плавания корабля.

На практике вместо полного значения масштаба М_т  часто используют только его знаменатель  С_т, так как, по определению, эти величины жестко связаны соотношением М_т = 1/С_т. В современных автопрокладчиках знаменатель текущего масштаба С_т  определяется по формуле

                                (3.50)

Знаменатель С_о основного масштаба МНК и широта  ее главной параллели, необходимые для вычисления по этой формуле, указываются под названием карты и устанавливаются на планшете (приборе 2) при его подготовке к работе.

Таким образом, перемещение кареток в АП на МНК в проекции Меркатора осуществляется на расстояния, определяемые по следующим формулам:

,      .

Здесь параметры С_О и φ_гп связаны с величиной знаменателя экваториального масштаба С_Э одной и той же карты довольно простым соотношением

что упрощает подготовку планшета АП к работе.

При ведении боевой прокладки в ходе поиска и уничтожения кораблей противника более удобно использовать постоянный масштаб, который не совпадает ни с одним из масштабов издаваемых карт. В этом случае вместо карты используются различные планшеты и планы.

При выполнении графической прокладки на картах (планах) с постоянным масштабом (М_п = const) работа схемы графической прокладки упрощается, а для вычисления перемещения каретки планшета АП используется формула, имеющая вид:

,

где величина знаменателя масштаба плана С_п = const.

Переключение планшета АП для работы по данной формуле производится оператором вручную при вводе постоянного масштаба.

Схема алгоритма формирования в аналоговой САС текущих счислимых координат корабля и их отображения на карте (плане) приведена на рис. 3.27.

Структурно-функциональная схема аналоговой системы автоматического счисления и прокладки может быть представлена в виде, показанном на рис. 3.28.

Рис. 3.27. Схема алгоритма формирования в аналоговой САС текущих счислимых координат корабля и их отображения на карте (плане)

Рис. 3.28. Структурно-функциональная схема аналоговой системы автоматического счисления и прокладки