Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Тригонометрические функции.

Тригонометрические уравнения и неравенства.

Обратные тригонометрические функции.

Определение: Функция называется обратимой, если она принимает каждое свое значение только один раз.

у

х

1

- 1

a1

a2

а2

а1

a2

Замечание: Тригонометрические функции являются периодическими функциями и повторяют свои значения бесконечное множество раз, значит, они необратимы в своей области определения.

 

При   функция     возрастает от - 1 до 1 и принимает каждое свое значение один раз, то есть при    функция    имеет обратную функцию.

Определение: Арксинусом числа а, принадлежащего отрезку , называется угол a, принадлежащий отрезку , синус которого равен а .

arcsin a = a ,  , , sin a = a .

Пример :

1)    , так как  , , ;

2)  , так как  , , ;

3) , так как , , ;

4)   arcsin  =  , так как , , sin  = ;

5)

х

a1

у

1

а1

a2

- 1

а2

p

0

  , так как  , ,

 

При х Î [0 ; p ] функция       убывает от 1 до -1 и принимает каждое свое значение один раз, то есть при х Î [0 ; p ] функция       имеет обратную функцию.

Определение: Арккосинусом числа а, принадлежащего отрезку   [ - 1; 1 ], называется угол a, принадлежащий отрезку [0 ; p ], косинус которого равен а .

arccos a = a , а Î [ - 1 ;1 ] , a Î [ 0 ; p ] , cos a =  a .

Пример:

1) arccos 1 = 0 , так как  ,  , cos 0 = 1 ;

2) arccos  =  , так как  ,  , ;

3) , так как  ,  , ;

4) arccos  =  , так как  ,  , ;

5) , так как  ,  , ;

6)

y

x

а1

a1

a2

а2

arccos 0 =  , так как  ,  , cos = 0 .

 

При   функция     возрастает от - ¥ до + ¥ и принимает каждое свое значение один раз, то есть при  функция       имеет обратную функцию.

 

Определение: Арктангенсом числа а называется угол a, принадлежащий интервалу , тангенс которого равен а .

arctg a = a , , tg a = a.

Пример :

1) arctg 1 =  , так как Î ( ) , tg  = 1 ;

2) arctg ( - 1 ) =  , так как Î ( ) , tg ( ) = - 1 ;

3) arctg  =  , так как Î ( ) , tg  = ;

4) arctg ( ) =  , так как Î ( ) , tg ( ) = .

 

y

x

а1

a1

a2

а2

0

При х Î (0 ; p ) функция    у = ctg х убывает от + ¥ до -  ¥ и принимает каждое свое значение один раз, то есть при х Î  (0 ; p ) функция   у = ctg х имеет обратную функцию.

Определение: Арккотангенсом числа а   называется

угол a , принадлежащий интервалу

(0 ; p ) , котангенс которого равен а .

arcс tg a = a , a Î ( 0 ; p ) , с tg a = a.

Пример:

1) arcс tg 1 = , так как Î ( 0 ; p ) , с tg  = 1 ;

2) arcс tg ( -1 ) = , так как Î ( 0 ; p ) , с tg = -1 ;

3) arcс tg  = , так как Î ( 0 ; p ) , с tg =  ;

4) arcс tg ( ) = , так как Î ( 0 ; p ) , с tg = .

Упражнения:

№1. Найти значение выражения:

1) а rс cos ( - 0,5) + arcsin ( - 0,5) ;        3) arccos - arcsin ( - 1) ;

2) arccos  + arcsin ;       4) arccos - arcsin .

№2. Вычислить :

1) 2 arcsin  + arctg ( - 1) + arccos ;	2) 3 arcsin  + 4 arccos - arcс tg
3) arс tg  + arccos  + arcsin 1 ;	4) arcsin ( - 1) -  arccos  + 3 arс tg  .

Или

х _1,2 = ( – 1 ) ^к · arcsin а + p k , k Î Z .

Пример: Решить уравнения:

№1. sin 3х = – 1                 .

№2. sin ( 2х – ) = 0   2х – = p k 2х =  + p k

№3. sin =                           

                                                         

                                             

                                                                                        

Ответ: .                                                                          

cos х = а

1. а > 1 , а < – 1 ,         cos х = а           корней нет .

2. а = 1 ,                         cos х = 1                х = .

3. а = 0 ,                         cos х = 0                х = .

4. а = – 1 ,                      cos х = – 1        х = .

5. – 1 < а < 1 ,             cos х = а                х ₁ = arccos а + 2 p k , k Î Z

х ₂ = – arccos а + 2 p k , k Î Z .

Или

х _1,2 = ± arccos а + 2 p k , k Î Z .

Пример: Решить уравнения:

№1. cos ( 3х – ) = 1      3х –  = 2 p k        3х =  + 2 p k      х = .

№2. cos ( х – ) =       х₁ –  = arccos  + 2 p k          х₂ –  = – arccos  + 2 p k

х₁ – =  + 2 p k                         х₂ – = –  + 2 p k

х₁ = +  + 2 p k                        х₂ = – +  + 2 p k

х₁ =  + 2 p k , k Î Z .              х₂ = 2 p k , k Î Z .

Ответ: х₁ =  + 2 p k , х₂ = 2 p k , k Î Z .

№3. cos =   

                    

                              , k Î Z         , k Î Z .

Ответ: , , k Î Z .

 

  tg х = а ,  а - любое число,  х = arctg а + p k , k Î Z

ctg х = а , а - любое число,    х = arcс tg а + p k , k Î Z           

        

Пример:

№1. tg 2х =  2х = arctg  + p k 2х =    .

№2. с tg = 7     = arcс tg 7 + p k  x = 3 arcс tg 7 + 3 p k , k Î Z .

№3. с tg    tg x = - 1   x = arctg ( - 1 ) + p k     x = + p k , k Î Z .

3.2.Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному.

Замечание: При решении тригонометрических уравнений целого вида, содержащих синусы и косинусы, область допустимых значений не устанавливается, так как эти функции определены для любого действительного значения.

Пример №1: Решить уравнение: 8 sin ² x - 6 sin x - 5 = 0 .

Решение:

Введем новую переменную у = sin x , получим квадратное уравнение:

8 у ² - 6 у - 5 = 0; D = b ² - 4 ac;    D = ( - 6 )² - 4 · 8 · ( - 5 ) = 196;

;      ;    y ₁ = ; y ₂ = ;

sin x = ; х _1,2 = ( – 1 ) ^к · arcsin  + p k ; х _1,2 = ( – 1 ) ^к · + p k ;

х _1,2 = ( – 1 ) ^к+1 · + p k , k Î Z ;

sin x =    корней нет , так как - 1 £ sin x £ 1 .

Ответ: х _1,2 = ( – 1 ) ^к+1 · + p k , k Î Z .

 

Пример №2: Решить уравнение: 8 sin ² 3 x + 6 cos 3 x - 3 = 0 .

Решение:

Используя формулу cos ² 3x + sin ² 3x = 1 , заменим sin  ² 3x = 1 - cos ² 3x .

8 (1 - cos ² 3x ) + 6 cos 3x - 3 = 0;        8 - 8 cos ² 3x + 6 cos 3x - 3 = 0;

- 8 cos ² 3x + 6 cos 3x + 5 = 0;                           8 cos ² 3x - 6 cos 3x - 5 = 0;

Введем новую переменную у = cos 3 x , получим квадратное уравнение:

8 у ² - 6 у - 5 = 0; D = b ² - 4 ac;    D = ( - 6 )² - 4 · 8 · ( - 5 ) = 196;

;      ;    y₁ = ; y₂ = ;

cos 3x = ; 3х = ± arccos + 2 p k ;  3х = ± + 2 p k ;

.

cos 3 x =     корней нет , так как - 1 £ cos 3 x £ 1 .

Ответ: .

Пример №3: Решить уравнение:

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

;            ;

;             ;

Введем новую переменную у = cos  , получим квадратное уравнение:

2 y ² - 3 y - 2 = 0;  D = b ² - 4ac;      D = ( - 3 )² - 4 · 2 · ( - 2 ) = 25;

;      ;   y₁ = ;   y₂ = 2;

= ± arccos   + 2 p k ; = ± + 2 p k ;

x = ± + 4 p k , k Î Z .

корней нет , так как - 1 £ cos £ 1 .

Ответ: x = ± + 4 p k , k Î Z .

Пример №4: Решить уравнение: 3 cos 2 x = 7 sin x .

Решение:

Воспользуемся формулой cos 2x = 1 - 2 sin ² x :

3 ( 1 - 2 sin ² x ) - 7 sin x = 0;     3 - 6 sin ² x - 7 sin x = 0;

Введем новую переменную у = sin x , получим квадратное уравнение:

- 6 y ² - 7 y + 3 = 0; 6 y ² + 7 y - 3 = 0; D = b ² - 4ac; D = 7 ² - 4 · 6 · ( - 3 ) = 121;

;     ;     y₁ = ;  y₂ = ;

sin x =     корней нет , так как - 1 £ sin x   £ 1 .

sin x =    х _1,2 = ( – 1 ) ^к · arcsin  + p k , k Î Z .

Ответ: х _1,2 = ( – 1 ) ^к · arcsin  + p k , k Î Z .

3. 3. Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: Тригонометрическое уравнение вида a sin x + b cos x = 0

( a Î R , b Î R , a ¹ 0 , b ¹ 0 ) называется однородным первой степени относительно   sin x и cos x .

Определение: Тригонометрическое уравнение вида a sin ² x + b sin x cos x + с cos ² x = 0

( a Î R , b Î R , с Î R , a ¹ 0 , b ¹ 0 , с ¹ 0 ) называется однородным второй степени относительно   sin x и cos x .

Способ решения: Значения аргумента х, при которых sin x = 0 или cos x = 0 , не являются корнями тригонометрического уравнения однородного n-ой

степени относительно  sin x и cos x , так как если sin x = 0 

 (cos x = 0), то из данного уравнения следует равенство cos x = 0   

(sin x = 0), а из основного тригонометрического тождества следует, что косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому чтобы решить тригонометрическое уравнение однородное n-ой степени относительно  sin x и cos x , можно обе части уравнения разделить на    или .

 

Пример №1: Решить уравнение: sin x + cos x = 0 .

Решение:

 Данное тригонометрическое уравнение является однородным первой степени относительно sin x и cos x .

Разделим обе части этого уравнения на cos x ¹ 0, получим:

tg x + = 0 ; tg x = ; x = arctg ( ) + p k ; x = + p k , k Î Z .

Ответ: x = + p k , k Î Z .

Пример №2: Решить уравнение: 5 sin ² x + 3 cos ² x = 4 sin 2 x .

Решение:

Воспользуемся формулой sin 2 x = 2 sin x cos x :

5 sin ² x + 3 cos ² x - 8 sin x cos x = 0 ;

Полученное тригонометрическое уравнение является однородным второй степени относительно sin x и cos x . Разделим обе части этого уравнения на cos ² x ¹ 0, получим:                    5 tg ² x - 8 tg x + 3 = 0;

 

Введем новую переменную у = tg x , получим квадратное уравнение:

5 y ² - 8 y + 3 = 0; D = b ² - 4ac; D = ( - 8 ) ² - 4 · 5 · 3 = 4;

;     ;     y₁ =  ;     y₂ = 1 ;

tg x =  ; x = arctg  + p k , k Î Z .

tg x = 1 ; x = arctg 1 + p k ; x =  + p k , k Î Z .

Ответ : x = arctg  + p k , x =  + p k , k Î Z .

Пример №3: Решить уравнение: 3 sin ² x - 4 sin x cos x + 5 sin ² .

Решение:

Воспользуемся формулой .

C помощью формулы sin ² x + cos ² x = 1 выполним замену

2 = 2 ·1 = 2 (sin ² x + cos ² x ) .

3 sin ² x - 4 sin x cos x + 5 ( - cos x ) ² = 2 (sin ² x + cos ² x );

3 sin ² x - 4 sin x cos x + 5 cos ² x - 2 sin ² x - 2 cos ² x = 0;

sin ² x - 4 sin x cos x + 3 cos ² x = 0;

При решении тригонометрических уравнений, содержащих дроби, устанавливается область допустимых значений, так как необходимо исключить значения переменной, при которых знаменатели дробей обращаются в нуль.

Пример №1: Решить уравнение: sin x tg x + 1 = sin x + tg x .

Решение:

х

у

0

Определим область допустимых значений данного уравнения: tg x не существует при углах вертикального диаметра , значит х ¹ .

sin x tg x + 1 - sin x - tg x = 0;

Преобразуем левую часть в произведение с помощью группировки:

sin x tg x - sin x + 1 - tg x = 0;

sin x ( tg x - 1 ) - ( tg x - 1 ) = 0;

( tg x - 1 ) ( sin x - 1 ) = 0;

Решение :

cos x ³ a   Û      - arccos a + 2 p k £ x £ arccos a + 2 p k , k Î Z .

- arccos + 2 p k £ 2x £ arccos + 2 p k , k Î Z ;

- + 2 p k £ 2x £ + 2 p k , k Î Z ;

- + 2 p k £ x £ + 2 p k , k Î Z .

Ответ : - + 2 p k £ x £ + 2 p k , k Î Z .

Пример №3: Решить неравенство: 3 tg  < .

Решение:

Разделим обе части неравенства на 3:                  tg  < ;

Воспользуемся нечетностью тангенса:

tg  = - tg ;                              - tg  < ;

Разделим обе части неравенства на - 1:               tg  > - ;

Воспользуемся формулой решений неравенства tg x ³ a :

arctg a + p k £ x <  + p k , k Î Z .

arctg + p k £  <  + p k , k Î Z;

+ p k £  <  + p k , k Î Z;

Прибавим ко всем частям неравенства :

+ p k £ <  + p k , k Î Z;

+ p k £ < + p k , k Î Z;

Умножим все части неравенства на 2:

+ 2 p k £ х < + 2 p k , k Î Z;

Ответ: + 2 p k £ х < + 2 p k , k Î Z;

Формулы тригонометрии

Тригонометрические функции.

Тригонометрические уравнения и неравенства.