Производная сложной функции

Определение производной

Рассмотрим функцию , где (рис. 31). Возьмем произвольную точку . Для любого  разность х – х₀ называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается . Таким образом,

Разность  называется приращением функции в точке х₀.

Производной функции  в точке х₀ называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента при , если этот предел существует и обозначается

Функция, имеющая производную в точке х_0, называется дифференцируемой в этой точке. Если же функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала , то она дифференцируема на этом интервале. Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если функция  дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Однако непрерывность функции в точке не является достаточным условием дифференцируемости функции в точке.

Геометрический смысл производной

Пусть непрерывная функция , где , дифференцируема в некоторой точке , а кривая L – график этой функции, содержащий точку . Выберем на кривой L произвольную точку М (х; у) и построим секущую М0М (см. рис. 7). Точку М можно выбрать сколь угодно близко в точке М0. Положение секущей при этом будет изменяться.

Касательной к кривой L в точке М₀ Î L называется прямая М₀Т, занимающая предельное положение секущей М₀М (М Î L) при М ® М₀ (если такое положение существует).

Геометрический смысл производной: производная функции  в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой х_{0: .}

Уравнение касательной к кривой L в точке (х₀; f (х₀)), записанное как уравнение прямой, проходящей через точку (х₀; f (х₀)) и имеющей угловой коэффициент  имеет вид:

или

.

Уравнение нормали к кривой (прямой, проходящей через точку кривой L с абсциссой х₀ перпендикулярно касательной) составляется аналогичным образом с учетом того, что ее угловой коэффициент равен:

,

то есть  или .

Механический смысл производной

Положим, что материальная точка движется прямолинейно по закону  тогда ее средняя скорость за промежуток времени  вычисляется по формуле:

Как известно, мгновенной скоростью в момент времени t₀ называется предел (если он существует), которому стремится средняя скорость за промежуток времени  при , т.е.

Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t.

В этом состоит физический смысл производной.

Правила дифференцирования

Если функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках интервала

(a; b) , то для любого х Î (a; b) выполняются следующие равенства:

1.  

2.

3.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Формулы дифференцирования

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	C	х	хп						ex	ax
	0	1	nxn-1		cosx	-sin x			ex	ax

№ п/п	11	12	13	14	15	16
			arcsinx	arccosx	arctgx	arcctgx

Производная сложной функции

С понятием сложной функции Вы уже неоднократно сталкивались в школьном курсе математики. Пусть даны две функции  и , причем область определения функции содержит область значений функции .

Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функций g и j или суперпозицией функций g и j.

Дифференциал

 Дифференциал функции  – это главная часть приращения функции в точке х, так что , где  – бесконечно малая величина.

Дифференциал функции  вычисляется по формуле:

,

где – дифференциал аргумента, равный приращению аргумента в данной точке.

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение  (см. рис. 8). Приближенное равенство  используется в приближенных вычислениях. В таких случаях значение выражения  заменяют приближением: