Всероссийская олимпиада школьников – 2018

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Всероссийская олимпиада школьников – 2018

Школьный этап

Математика

Класс

Ответы и решения.

1. Юра выписал на доске слова ДУМА, ДАША, КАША, ДАМА, КУМА. Теперь он хочет записать их в столбик так, чтобы каждое следующее слово получалось из предыдущего заменой ровно одной буквы (остальные буквы при этом остаются на своих местах). Сколькими способами он сможет это сделать? (Ответ объясните, все способы запишите.)

Ответ. Двумя способами.

Решение. Если слово стоит не первым и не последним, то из него должно получиться какое-то из данных слов, а оно, в свою очередь должно получиться из другого данного слова.

Из слова ДУМА можно получить два слова: ДАМА и КУМА.

Из слова ДАША можно получить два слова: КАША и ДАМА.

Из слова ДАМА можно получить два слова: ДУМА и ДАША.

Из слова КУМА можно получить только одно слово: ДУМА.

Из слова КАША можно получить тоже только одно слово: ДАША.

Значит, слова КАША и КУМА могут быть либо первыми, либо последними. Тогда возможны только два способа, которые «зеркальны»: 1) КАША, ДАША, ДАМА, ДУМА, КУМА; 2) КУМА, ДУМА, ДАМА, ДАША, КАША.

2. Сколько в зоопарке зверей и сколько птиц, если у них вместе 6000 ног и 2500 голов?

Ответ: 500 и 2000.

3. Три яблока, четыре груши и один персик стоят 40 рублей. Одно яблоко, четыре груши и персик стоят 32 рубля. Сколько стоит одно яблоко, одна груша и персик, если персик стоит столько, сколько стоят два яблока.

Ответ: 4р., 5р., 8р.

4. Как-то раз Дядя Фёдор, Матроскин и Шарик отправились с почты домой. Дядя Фёдор вышел первым, а Матроскин последним. По дороге домой Дядя Фёдор обгонял других, либо его обгоняли ровно 8 раз. Матроскин обгонял других, либо его обгоняли ровно 6 раз. Известно, что Дядя Фёдор пришёл домой позже, чем Шарик. В каком порядке друзья пришли домой?

Ответ: первым пришёл Матроскин, вторым — Шарик, а третьим — Дядя Фёдор.

Решение: Заметим, что если какие-то два участника обгоняли друг друга чётное количество раз, то их взаимное расположение не изменилось. Так как Дядя Фёдор вышел раньше Шарика, а пришёл позже него, то они обгоняли друг друга нечетное количество раз. На счету у Дяди Фёдора 8 «обгонов», поэтому он и Матроскин обгоняли друг друга нечётное количество раз. Следовательно, Матроскин пришёл домой раньше Дяди Фёдора. Но тогда и Матроскин с Шариком обгоняли друг друга нечётное количество раз. Значит, Матроски обошёл и Шарика!

5. Разрежьте по линиям сетки фигуру, изображенную на рисунке , на 4 равные части.

Ответ. Например, так:

Всероссийская олимпиада школьников – 2018

Школьный этап

Математика

Класс

1. В шахматном турнире играли пять человек. Каждый из них сыграл с каждым по одному разу. Победитель партии получал 1 очко, проигравший – 0 очков, а если партия заканчивалась вничью, то каждый получал по 0,5 очка. Известно, что половина партий турнира закончилась вничью, а игрок, занявший последнее место, проиграл все партии. Какое место занял игрок, набравший 3 очка?

Ответ: первое место.

Решение Всего в этом турнире было сыграно = 10 партий. Так как половина партий закончилась вничью, то результативных партий было пять. Четыре из них были сыграны с шахматистом, занявшим последнее место, то есть в партиях между остальными игроками была одержана только одна победа. Игрок, набравший три очка, должен был выиграть, по крайней мере, две партии, поэтому именно он заработал это очко. Любой из оставшихся шахматистов одержал не более одной победы, то есть набрал не более, чем 1 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 2,5 очка. Следовательно, игрок, набравший 3 очка, стал победителем турнира.

2. В озере водятся караси и окуни. Два рыбака поймали 70 рыб, причём 5/9 улова первого рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго - окуни. Сколько рыб поймал каждый рыбак?
Решение. Количество рыб, пойманных вторым рыбаком, кратно 17, следовательно, оно может быть равно: 17, 34, 51 или 68. Количество рыб, пойманных первым, может равняться (соответственно) 53, 36, 19 или 2. Но количество рыб, пойманных первым, должно быть кратно 9, откуда получим ответ: первый рыбак поймал 36 рыб, второй - 34.
Заметим, что для данного решения несущественно, что в озере не водится иных рыб, кроме карасей и окуней.

Ответ. Улов 36 рыб и 34 рыбы.

3. В некотором натуральном числе цифры заменили буквами (одинаковые – одинаковыми, разные ‑ разными) и получили слово МАТЕМАТИКА. После этого стерли часть букв, а остальные переписали в обратном порядке. Получилось число 235405. Какое наибольшее число могло быть вначале?

Ответ. 9504950325.

4. На бильярдном столе лежат 15 шаров с номерами 1,2,3, … ,14,15. Как разложить их на шесть групп, чтобы сумма номеров шаров в каждой группе была квадратом натурального числа?

Решение: 1,3;4;2,14;5,11;6,10;7,8,9,12,13,15.

5. Три наследника разделили квадратный садовый участок со стороной 60 метров на три прямоугольные части равной площади. При этом каждые два наследника стали соседями. Какова общая длина забора, построенного внутри участка для отделения трех частей друг от друга?

Решение: Рассмотрим возможные способы разбиения квадрата на три прямоугольника. Один прямоугольник «отрезается» прямой, параллельной стороне квадрата, после чего есть ровно два способа разбиения одного из получившихся прямоугольников на два (см. рис. а), б).

а)

б)

Второй способ разбиения квадрата (см. рис. б) не удовлетворяет условию, так как в этом случае два участка не имеют общей границы.

Для разбиения, показанного на рис. а), найдем общую длину границы между участками. Площадь садового участка равна 60² = 3600 (м²), поэтому каждому наследнику достался прямоугольный участок площадью 1200 м². Ширина каждого из прямоугольников, расположенных на рис. 2а вертикально, равна половине стороны квадрата, то есть 30 м, поэтому их высота равна

1200 : 30 = 40 (м). Следовательно, длина внутреннего забора равна

40 + 60 = 100 (м).

Ответ: 100 метров

Школьный этап

Математика

Класс

1. Допишите к числу 523 три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9. Обоснуйте ответ.

Ответ. 523152, 523656.

Решение.

1) 7*8*9 = 504,

2) 523000=504*1037+352,

3) 504-352=152,

4) 523000+152=523152, 523152+504=523656, 523656+504>523000

2. Дана линейная функция у = kx +b. При каком значении b график этой функции проходит через точку пересечения графиков функций у= 1,2-х и у= х+4 и параллельно прямой у=-3х+5?

Ответ. -1,6.

Решение.

1,2-х=х+4, х=-1,4; у= 2,6, т.е. (-1,4; 2,6)- точка пересечения графиков у= 1,2-х и у= х+4;

т.к. прямые у = kx +b и у=-3х+5 параллельны, то k=-3;

2,6=-3 (-1,4)+ b, отсюда b=-1,6.

3. От пластмассового равнобедренного треугольника отломились два угла при основании, от которого осталась одна точка (на рисунке это точка M). Как восстановить этот треугольник на бумаге?

Решение.

Воспользуемся признаком равнобедренного треугольника. Обведем на бумаге контур оставшегося треугольника, проведем биссектрису OL данного угла O, проведем прямую MH перпендикулярно к OL (H OL); точки A и B – точки пересечения MH со сторонами данного угла O. Отрезок ОН является высотой и биссектрисой в AOB, значит, AOB – искомый равнобедренный треугольник.

4. Разрежьте квадрат со стороной 8 см на семь прямоугольников, каждый из которых имеет периметр 16 см. Не забудьте указать размеры полученных прямоугольников.

Решение. Возможны два варианта.

5. Задача Я. Перельмана.

Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Оказывается, что такие случаи бывают.

Мне пришлось убедиться в этом, когда однажды в парикмахерской подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой:

- Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не справимся?

- Уж сколько раствора испортили из-за этого! - добавил другой.

- В чем задача? - осведомился я.

- У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30-процентный и 3-процентный. Нужно их смешать так, чтобы составился 12-процентный раствор. Не можем подыскать правильной пропорции…

Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена.

Она оказалась очень простой. Какой именно?

Ответ. 3-процентного раствора надо взять вдвое больше, чем 30-процентного.

Решение.

Пусть для составления 12-процентной смеси требуется взять х граммов 3-процентного раствора и у граммов 30-процентного. Тогда в первой порции содержится 0,03x граммов чистой перекиси водорода, во второй 0,3y, а всего 0,03x + 0,3y. В результате получается (х + у) граммов раствора, в котором чистой перекиси должно быть 0,12(х + у). Имеем уравнение 0,03x + 0,3y = 0,12(x + y).

Из этого уравнения находим х = 2у, т. е. 3-процентного раствора надо взять вдвое больше, чем 30-процентного.

Школьный этап

Математика

Класс

1. Решите в натуральных числах:

Ответ: k = 4; n = 1.

Решение: - нечетно, то и нечетно. Это может случиться только тогда, когда ⇒ n – 1 = 0 ⇒ n =1. ⇒ ; k = 4.

2. Решите уравнение:

Ответ: ; .

Решение: 1 способ: 1 сл: ;

;

3x < x + 9;

2x = 9;

x = 4,5 – удовлетворяет, т.к. x ≥ 0.

2 сл: ;

;

– 3x = x + 9;

– 4x = 9;

x = -2, 25 – удовлетворяет, т.к. x < 0.

2 способ: Рассмотрим и построим графики функций:

3. В классе провели контрольную работу по математике. Средняя оценка мальчиков 3,8; девочек - 3,5; в классе -

Сколько человек писало контрольную работу, если их больше 20 и меньше 30?

Ответ: 26 учеников.

Решение: «М» - количество мальчиков и «Д» - количество девочек, то согласно условию задачи:

; или 3,8 * 13 М + 3,5 * 13 Д = 47 М

М (3,8 * 13 - 47) = Д (47 – 3,5 * 13).

М = ;

Всего детей писавших контрольную работу: Д + ; где целое число.

Пусть = k; то по условию 20 < 13 k < 30.

Значит, контрольную писали 26 учеников.

4. Внутри ΔABC взята точка K так, что ∠ ABK = 30˚, ∠ KAB = 10˚, ∠ ACB = 80˚ и AC = BC. Найти ∠ AKC.

Ответ: ∠ AKC = 70˚.

40˚

Решение:

30˚

10˚

Пусть E — пересечения высоты CD и прямой BK. Так как Δ ABC — равнобедренный и CD — высота, проведенная к основанию AB, то AE = BE и

∠ EAK = ∠ EAB – ∠ KAB = 30˚ – 10˚ = 20˚ ,

∠ ACD = ∠ ACB = 40˚,

∠ EAC = ∠ CAD – ∠ EAB = (90˚ – 40˚) – 30˚ = 20˚,

∠ AKE = ∠ KAB + ∠KBA = 10˚ + 30˚ = 40˚ ⇒ Δ AEK = Δ ACE (по стороне и прилежащим к ней углам) ⇒ AK = AC, ∠ AKC = ∠ ACK = (180˚ – ∠ CAK) = (180˚ – 40˚) = 70˚.

5. Двое играют в следующую игру: на столе лежит коробок спичек, и они по очереди берут оттуда спички. За один ход разрешается взять от одной до десяти спичек. Выиграет тот, кто заберёт последнюю спичку. Может ли начинающий выиграть при любой игре соперника, т.е. существует ли у него выигрышная стратегия, если вначале в коробке было 15 спичек? 50 спичек?

Ответ: 15 и 50 спичек. Выигрывает начинающий (первый ход соответственно 4 спички и 6 спичек).

Решение:

Случай 15 спичек. Начинающий выигрывает, взяв 4 спички. Остается 11спичек, сколько бы не взял соперник, начинающий может забрать оставшиеся.

Случай 50 спичек: Мы уже заметили, что после любого хода одного из игроков другой может взять несколько спичек так, что в сумме получится 11 спичек (если один берёт k спичек, то другой берёт «11-k», а из неравенства «1 ≤ k < 10» следует «1 ≤ 11-k ≤ 10»), поэтому начинающему следует взять несколько спичек так, чтобы в коробке осталось количество спичек кратно 11, то есть он должен взять 6 спичек. В коробке останется 44 спички. После ответа соперника надо оставить 3 спички, затем 22, 11 и, наконец, 0. То есть взять последние несколько спичек.

Следует заметить, что начинающему ни на что нельзя отступать от этой стратегии – иначе инициативу перехватит соперник, и выигрышная стратегия будет у него. Например, если начинающий первым ходом возьмёт не 6 спичек, а 5, что второй возьмёт 1 спичку и уже после его хода останется 44 спички. Если же начинающий возьмёт не 6 спичек, а 7, то второй возьмёт 10, и останется 33 спички.

Школьный этап

Математика

Класс

1. Найти наибольшее пятизначное число А, у которого четвертая цифра больше пятой, третья больше суммы четвертой и пятой, вторая больше суммы третьей, четвертой и пятой и первая цифра больше суммы остальных.

Ответ: 95210.

2. Сто прямых, параллельных прямой у= х пересекают график функции у= 1/х. Найдите произведение абсцисс всех двухсот точек пересечения.

Решение. Прямая, параллельная прямой у= х, имеет уравнение у=х+b.Абсциссами точек ее пересечения с гиперболой являются оба корня уравнения 1/х= х+b⇔ x² + bx -1= 0. По теореме Виета, произведение корней этого уравнения равно -1.Перемножив сто таких произведений, получим ответ 1.

Ответ: 1.

3. В треугольнике ABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно, что площадь треугольника DEF равна 10.Найдите площадь треугольника ABC.

Решение. Треугольник ABD – равнобедренный, т.к. его биссектриса является высотой. Поэтому DF=FA и площадь треугольника DFE равна площади треугольника AFE и равна 10.

Т.к. AD-медиана, значит BC=2BD=2AB.По свойству биссектрисы треугольника:

EC/AE=BC/AB= 2. Значит, S DEC) =2 S DE) =4 S DEF) =40;

S DC) =60.

S ABC) =2S DC) =120.

Ответ: 120.

4. Маша и Медведь ели пирог. Маша ела вдвое медленнее Медведя, но начала есть на минуту раньше. В итоге они съели одинаковое количество пирога. За какое время Маша съела бы весь пирог одна?

Решение. Если Маша ест вдвое медленнее Медведя, то, чтобы съесть столько же пирога , сколько съел Медведь, ей нужно в два раза больше времени. Значит, то время, которое Маша ела в одиночку, составляет половину всего времени, за которое Маша съела половину пирога. Таким образом половину пирога Маша съедает за 2 минуты, а весь пирог за 4.

Ответ: за 4 минуты.

5. Тысячу ненулевых чисел, расставили по кругу и раскрасили поочередно в красный и синий цвета. Оказалось, что каждое синее число равно сумме двух соседних с ним красных чисел, а каждое красное число равно произведению двух соседних с ним синих чисел. Чему может быть равна сумма всех расставленных чисел?

Решение.

Возьмем синее число a и рядом с ним красное число ab. По этим числам можно восстановить следующие шесть чисел: a, ab, b, b- ab, 1- a, (1- a)(1- b), 1- b, a(1- b).Сумма этих восьми чисел равна 3. В числе 1000 таких восьмерок 125. Ответ:125∙3=375.

Ответ: 375.

Школьный этап

Математика

Класс

Решение:

Проведем биссектрису AD. Тогда ∠1 = ∠2 = ∠3. В DA D C AD = DC. Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y. Заметим, что DAB D ~ DABC по двум углам (∠В – общий, ∠1 = ∠3).

Из подобия имеем: , или .

Для нахождения х и у получим систему уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, получим откуда , тогда значит АВ = 4см, ВС = 6см.

II способ. Указание: применить теорему синусов.

Ответ: AB = 4см, ВС = 6см.

Школьный этап

Математика

Класс

1. Решить в целых числах уравнение: .

Решение:

Разложением на множители получим , заметим, что в данном случае мы ничего не прибавляли к обеим частям уравнения. Так как число 13 – это 13⋅1, 1⋅13, −13⋅(−1), −1⋅(−13) ,

то мы получаем совокупность четырех систем:

Решая системы выражением одной переменной через другую, получаем, что системы (2) и (4) решений в целых числах не имеют, а ответами систем (1) и (3) являются соответственно

x = 2, y = 1 и x = −2 , y = −1

Ответ: (2;1), (-2;-1).

2. Постройте график функции: у = +

Решение :

y= +

y= 2sin²x+1+2cos²x+1

y=4

Ответ: графиком функции является прямая, заданная уравнением у=4.

3. При каких значениях параметра m уравнение

ешение :

ОДЗ: х

1-й случай. Если 3m-2=0, то m = имеем m + 2 = +2 В этом случае в левой части преобразованного уравнения будет выражение, отличное от нуля при любом х из ОДЗ уравнения, а в правой части – нуль. Следовательно, при m = данное уравнение решений не имеет, то есть m =