Определение 2.8. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению их длин на косинус угла между векторами, т.е.

                  φ

                                     ∙ .

              Заметив, что | | cos j — есть проекция вектора   на направление вектора , имеем . Аналогично,

Рассмотрим основные свойства скалярного произведения:

1) Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из векторов-сомножителей является нулевым вектором, или если данные векторы перпендикулярны.

2) Скалярное произведение обладает переместительным свойством:

.

3) Скалярное произведение векторов обладает распределительным свойством:

.

4) Чтобы умножить скалярное произведение на число достаточно умножить на это число один из сомножителей

.

2.1.6. Разложение вектора по ортам в пространстве R³

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат OXYZ в пространстве , и произвольный радиус вектор

                                   М₃

                                                                М    

                                     О                            М₂       

                               М₁                                       

                                                                         Р

Из точки M конца радиуса-вектора  проведём прямую, параллельную оси OZ до пересечения в точке P с плоскостью OXY. Обозначим через M₁ и M₂ — соответственно, проекции точки P на оси OX и OY. Пусть M₃ — проекция точки M на ось OZ. Тогда будем иметь

Заменив векторы  и  равными им векторами и , получим

                                                               (2.1)

Равенство (2.1) показывает, что всякий вектор в R³ можно представить в виде суммы трёх векторов, лежащих на осях координат. От точки O в направлении каждой оси отложим по вектору длины, равной 1. Обозначим эти вектора через и , соответственно и назовём их ортами. Обозначим через x, y и z — проекции вектора  на координатные оси OX, OY и OZ, соответственно. Так как векторы  и лежат на одной оси OX, то = . Аналогично, = ,  = . Следовательно, равенство (2.1) может быть переписано в виде

                                                                            (2.2)

Равенство (2.2) даёт разложение вектора  по ортам . Вместо полной записи (2.2) часто пользуются сокращенной ={x, y, z }, где x, y, z — проекции вектора  на координатные оси, которые будем называть координатами вектора .

Действия с векторами, заданными своими координатами

Рассмотрим действия с векторами, которые заданы своими координатами:

1) При сложении векторов их одноименные координаты складываются, т.е. если , то

.

2) При умножении вектора  на число l необходимо умножить на это число все его координаты:

3) Рассмотрим скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.

Пусть , найдём их скалярное произведение

.

Согласно свойствам (3) и (4), имеем

Так как  — три взаимно перпендикулярных вектора, то

 и, следовательно,

                                                                      (2.3)

т.е. скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.