Если для системы (2.6) ввести обозначения векторов

то ее можно записать в следующей форме

А₁х₁+А₂х₂+…+А_nx_n=B                                           (1.17)

Свойства системы (2.6) определяются через свойства векторов А₁,А₂,…,А_n,B так:

1. Система совместна, если вектор В является линейной комбинацией векторов А, т.е. r(А₁,А₂,…,А_n)=r(А₁,А₂,…,А_n,B)

    2. Система определена, если вектора А₁,А₂,…,А_n,B образуют базис в Rⁿ: r(А₁,А₂,…,А_n)=n

3. Если r(А₁,А₂,…,А_n)<n и система совместна, то неизвестные х_j в (1.17), которые являются коэффициентами при базисных векторах системы А₁,А₂,…,А_n.

Для системы (1.6) любое частное решение является выпуклой линейной комбинацией базисных решений  где λ_i≥0, i=1,2,…,N, λ₁+ λ₂+…+ λ_N=1.

Отсюда следует, что все свойства решений системы можно исследовать, изучая базисные решения.

Лекция 3.

Раздел II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

2.1.1. Числовая ось

Определение 2.1. Числовой осью называется прямая, служащая для изображения действительных чисел, на которой заданы:

1) положительное направление (от О к А);

2) точка О — начало отсчета;

3) единичный отрезок (масштаб) ОА.

Числовая ось обозначается Ох (Оy, Oz,…).

Всякое действительное число х изображается точкой числовой оси. Если число х положительно, то оно изображается точкой, которая находится на оси в положительном направлении на расстоянии х от точки О. Если число х отрицательное, то оно изображается точкой, которая находится на оси в противоположном направлении на расстоянии –х от точки О. Точке О соответствует число 0. Начало отсчета на чертеже обозначают нулем. Отрезок, ограниченный точками А и В называется направленным, если сказано, какая из этих точек считается началом отрезка, какая концом. Условимся называть величиной отрезка АВ некоторой оси число, равное его длине, взятой со знаком плюс, если направление этого отрезка совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус, если оно совпадает с отрицательным направлением оси. Величина отрезка, в отличие от его длины, есть число относительное; очевидно длина отрезка или расстояние между точками числовой оси и равно — абсолютная величина разности чисел и

                                              Рис. 2.1.

2.1.2. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве, координаты точки

Определение 2.2. Совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей с общей начальной точкой О называют прямоугольной системой координат (прямоугольной декартовой системой координат) на плоскости. Горизонтальную ось называют осью абсцисс, осью иксов или осью Ох. Вертикальную ось называют осью ординат или осью Оy. Плоскость, в которой задана система координат, называют координатной плоскостью, а точку О пересечения осей ─ началом координат. Числа, определяющее положение точки на координатной плоскости называются координатами. Если на плоскости задана прямоугольная декартовая система координат хОу, то точку М этой плоскости, имеющую координаты х и у, обозначают М (х; у).

Определение 2.3. Совокупность трех взаимно перпендикулярных числовых осей с общей начальной точкой О называют прямоугольной системой координат (прямоугольной декартовой системой координат) в пространстве. В том случае третью ось называют осью аппликат, осью зет или осью Оz.

Элементы векторной алгебры

Определение 2.4. Отрезок, имеющий заданные длину и направление в пространстве называется вектором.

                                  A

            O

Определение 2.5. Два вектора считаются равными, если выполнены условия:

а) длины векторов равны;

б) векторы коллинеарны, (т. е. расположены на одной прямой или на параллельных прямых);

в) векторы имеют одинаковое направление.

Следует различать начало и конец вектора. Поменяв их местами, мы получим уже другой вектор, направленный противоположно исходному.

             А                           О

О                           А                     

Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получаем вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно помещать в любой точке пространства. Вектор с началом в точке O и концом в точке M обозначим символом  или . Длину вектора  обозначим | | или | |. Вектор, у которого начало совпадает с концом, называется нулевым вектором.

Определение 2.6. Два вектора, , имеющие равные длины, но противоположно направленные, называются противоположными векторами. Сумма их равна нулевому вектору.

B                  O                

Вектор противоположный вектору  будем обозначать .