Пусть А — матрица нормозатрат второго порядка:

На практике запасы сырья ограничены. Обозначим  запас сырья  и , если  и  — объемы производства продуктов  и  соответственно, то  — затраты  на производство ,  — затраты  на производство ,  — суммарные затраты ; соответственно  — суммарные затраты сырья  на произ­водство  единиц продукции  и  единиц продукции . Должны быть выполнены следующие условия, называемые балансовыми уравнениями:

Решение этой системы дает возможность найти допустимые объемы производства продуктов при наличии данных запасов сырья. Домножим первое уравнение на , а второе — на  и сложим, получим

аналогичным образом, исключая :

В результате коэффициенты при  и  совпадают и составлены из элементов матрицы А по следующему правилу: от произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали.

Это число называется определителем матрицы А и обозначается

                .

Определители можно рассматривать и вне связи с исходной матрицей, тогда эту формулу называют определителем второго порядка. Аналогично можно ввести определители третьего порядка.

Таким образом, определитель — число, характеризирующее квадратную матрицу и тесно связанное с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается .

Определение 1.5. Определителем матрицы первого порядка , называется само число :  Например,

Определение 1 .6. Определителем матрицы второго порядка , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле

  .                            (1.1)

Числа а, d образуют главную диагональ; числа с, b образуют побочную диагональ.

Пример 1.7. Вычислить определитель второго порядка.

Решение. .

Определение 1.7. Определителем матрицы третьего порядка , или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле  

(1.2)

Каждое произведение : называется членом определителя, где  

Из равенства (1.2) следует, что каждый член правой части равен произведению трех элементов определителя, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения берутся со знаком «плюс», а какие со знаком «минус», полезно запомнить следующее правило треугольников:

Пример 1.8. Вычислить определитель третьего порядка:

Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться следующим методом. Справа дописывают два первых столбца, а потом делают вычисления, как показано на схеме (правило Саррюса):

                             +         -

.

Пример 1.9. Вычислить определитель третьего порядка:

                +   -