Общеизвестно, что на вступительных экзаменах в вузы часто встречаются задачи, которым в «традиционном» школьном курсе в силу различных причин уделяется мало внимания.
Одним из видов таких упражнений являются задачи, содержащие параметры. В школьных учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако овладение методикой их решения мне кажется очень полезным: оно существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на такие «банальные» функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой, как, к примеру, линейные и квадратные многочлены.
Уравнения и неравенства с параметрами. В подобного рода задачах встречаются два вида символов: неизвестные или переменные (обычно обозначаются буквами x , y , z ,…) и параметры (a , b , c ,…). Конечно разница между ними весьма условна, в известной степени можно сказать, что параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему). Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра.
Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, вдохнуло, если так можно выразиться, новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений и неравенств.
1. Решить уравнение: .
Решение. Возводим обе части в квадрат (условие ):
Еще раз возводим в квадрат (условие ). Получаем окончательное уравнение
,
среди решений, которого надо найти те, для которых Получившееся уравнение имеет четвертую степень относительно неизвестного
, но зато является квадратным относительно параметра
. Попробуем этим обстоятельством воспользоваться:
Найдем дискриминант:
Теперь левая часть уравнения раскладывается на множители
Наше уравнение распадается на два:
и
,
каждое из которых надо решить при условии, что
Начнем с уравнения . Поскольку
то из того, что
, следует, что
. Значит, нам достаточно найти лишь те решения, для которых
; тогда неравенство
будет выполняться автоматически. Но сумма корней (если они есть) равна
; следовательно, уравнение
может иметь лишь один неотрицательный корень при условии
. Значит, при
будет
.
Перейдем ко второму уравнению . Из этого уравнения
. Левая часть неположительная, правая неотрицательная. Равенство возможно лишь, если
.
Ответ. Если , то
;
если , то
;
при остальных решений нет [21].
2. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни сумма которых равна нулю?
Решение. Это уравнение – квадратное, его дискриминант
.
Сумма корней уравнения равна и по условию задачи она равна нулю, т.е.
, что возможно при
. Теперь необходимо осуществить контроль неотрицательности дискриминанта при этих значениях
. При
дискриминант
положителен, тогда как при
дискриминант
оказывается отрицательным.
Ответ. [3].
3. При каких значениях параметра квадратное уравнение
имеет корни одного знака?
Решение. Так как по условию задачи рассматриваемое уравнение – квадратное, то (иначе формулировка задачи не имеет смысла). Очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминанта. Если
, то квадратное уравнение имеет один корень (два равных корня).
Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то
, т.е.
.
Решением последнего неравенства является
.
С учетом условий и
получим
.
Ответ. [7].
4. Для каждого неотрицательного значения параметра решить неравенство
.
Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно , так и относительно параметра
. Степени соответственно равны 4 и 3. Однако если умножить многочлен на
, а затем сделать замену
, то в новом многочлене максимальная степень параметра
будет равна 2. Случай
дает нам ответ
. Будем теперь считать, что
. Умножив обе части неравенства на
и сделав замену
, получим
.
Левая часть представляет собой квадратный трехчлен относительно :
,
.
Раскрывая левую часть неравенства на множители, получим
,
или
.
Второй множитель положителен при всех , если
. Приходим к неравенству
, откуда, если
,
; если
,
‑ любое. Возвращаясь к
, получим ответ.
Ответ. Если , то
;
если , то
;
если , то
‑ любое [21].
5. Найти все значения параметра , при которых существует единственное значение
, при котором выполняется неравенство
.
Решение. Обозначим (
) и перейдем к основанию 5. Получим:
.
Функция от , расположенная в числителе, монотонно убывает. Нетрудно подобрать значение
, при котором она обращается в нуль:
.
Если , то решением неравенства относительно
будет
, а следовательно, исходное неравенство не может иметь единственного решения. (Неравенство
при любом
имеет бесконечно много решений.)
Значит, и решением относительно
будет
. Возвращаясь к
, будем иметь
. Для того чтобы существовало единственное значение
, удовлетворяющее последним неравенствам, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее значение квадратного трехчлена
равнялось бы 4, т.е.
.
Ответ. [5].
6. Найти все значения , при каждом из которых множество решений неравенства
не содержит ни одного решения неравенства
.
Решение. Нам надо найти все , такие, что при всех
имеет место неравенство
. Решение последнего неравенства при данном
относительно
состоит из двух лучей, исключается внутренняя часть отрезка с концами
и
(какой из них левый, а какой правый‑неважно). Но если
меняется от ‑1 до 1, то
меняется от 0 до 1, а
меняется от 1 до 3. Теперь понятно, что
не может принимать значения от 0 до 3, а при всех
или
заданное условие выполняется.
Ответ. [22].
Графические методы решения задач с параметрами. Задачи с параметрами требуют к себе своеобразного подхода по сравнению с остальными – здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять построение различных графиков, вести графическое исследование, соответствующее данным значениям параметра.
1. При каких значениях параметра уравнение
имеет ровно 2 решения?
Решение. Рассмотрим функцию .
Графиком такой функции является ломанная из трех звеньев. Найдем точки излома:
1) ;
2) .
Так как ;
, то
и
‑ точки излома. Заметим, что
, если
и
имеет минимум в одной из точек
или
.
С геометрической точки зрения количество решений уравнения ‑ это количество точек пересечения при каждом фиксированном значении параметра
‑ ломанной, состоящей из трех звеньев, и прямой
.
По рис. 4 видно, что уравнение имеет ровно 2 решения, если значение в точке минимума меньше 27. Причем значение в другой из точек излома несущественно. Значит необходимо выполнение одного из двух неравенств:
или
.
Так как , то первое неравенство равносильно неравенству
. А поскольку
, то второе неравенство равносильно неравенству
.
Объединением полученных интервалов будет интервал .
Ответ. Уравнение имеет два решения при [7].
2. При любом значении параметра решить неравенство
.
Решение. Рассмотрим плоскость и изобразим на ней множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству рис.5. Сначала изобразим область, для точек которой имеет смысл
. Это будет полуплоскость
(правее и ниже прямой
), из которой удалены части прямых
. Вне полосы, ограниченной прямыми
и
, будет
, и, следовательно, после потенцирования неравенства получим
.
Последнему неравенству соответствует область под параболой (при этом
).
Внутри полосы будет
. На рисунке 5 область
, для точек которой
, заштрихована. (Заметим, что парабола
касается прямой
) Теперь ось
точками
разбита на шесть участков, на каждом из которых легко выписывается решение нашего неравенства. Для этого берем
на соответствующем участке, проводим горизонтальную прямую, находим значения
, соответствующие концам отрезков этой прямой, попавших в заштрихованную зону.
Например, если , то получаем два отрезка, концы первого:
и
(меньший корень уравнения
), второго:
и
.
Ответ. Если ,
, решений нет;
если , то
;
если , то
и
;
если , то
и
;
если , то
и
;
если , то
;
если , то
и
[4].
Дата: 2019-12-10, просмотров: 299.