В GaAs полевая зависимость дрейфовой скорости более сложная, чем в других полупроводниках (Si, Ge), что обусловлено особенностями энергетического спктра зоны проводимости этого материала. Основной минимум зоны проводимости (долина) здесь расположен в центре зоны Бриллюэна и характеризуется высокой подвижностью (μ = 4000-8000 см²В^-1с^-1), а на осях ‹111› расположены долины с малой подвижностью (μ = 100 см²В^-1с^-1) и энергиейна 0,3 эВ выше основного минимума. В нижней долине эффективная масса m* = 0,068 m₀, а в верхних долинах m* = 1,2m₀. Следователь, плотность состояний в верхней долине примерно в 70 раз больше, чем в нижней. Рассмотрим малые и большие значения напряженность электрического поля.

При малых напряженностях электрического поля функция распределения электронов по энергии не меняется. В зависимости от типа полупроводника, степени совершенства и количества примеси в слабых электрических полях преобладает рассеяние на тепловых колебаниях решетки (фононах) или ионов примеси. В этом случае подвижность является постоянной величиной и дрейфовая скорость носителей пропорциональна напряженности электрического поля.

В сильных электрических полях функция распределения электронов по энергии существенно меняется. В полярных полупроводниках, таких как GaAs, определяющую роль начинает играть неупругое рассеяние на оптических фононах. Это приводит к насыщению дрейфовой скорости носителей и уменьшению подвижности с ростом напряженности электрического поля.

Получим соотношение между дрейфовой скоростью и напряженностью электрического поля, опираясь на предположение о равенстве электронных температур верхней и нижней долинах T_e. Величина энергетического зазора между минимумами зоны проводимости ∆E = 0,31 эВ для GaAs. Введем обозначения: m*₁ и m*₂ – эффективные массы, μ₁ и μ₂ – подвижности, n₁ и n₂ – концентрации электронов в нижней и верхней долинах, причем полная концентрация носителей заряда равна n = n₁ + n₂. Плотность стационарного тока в полупроводнике можно представить следующим образом:

(3.1)

где v – средняя дрейфовая скорость

(3.2)

так как μ₁ >> μ_2. Отношение заселенностей верхней и нижних долин, разделенных энергетическим зазором ∆E, равно:

(3.3)

где R – отношение плотностей состояний и

(3.4)

M₁ и M₂ – число верхних и нижних долин соответственно. Для GaAs M₁ = 1, а число верхних долин равно 8, но они расположены у края зоны Бриллюэна, и поэтому M₂ = 4. Используя значение эффективных масс электронов в GaAs m*₁ = 0,067m₀, m*₂ = 0,55 m₀, получим R=94.

Поскольку электрическое поле ускоряет электроны и увеличивает их кинетическую энергию, электронная температура T_e превышает температуру решетки T. Электронная температура определяется с помощью времени релаксации энергии:

(3.5)

где время релаксации энергии τ_e предполагается равным 10^-12с. Подставив v из выражения (3.30) и n₂/n₁ из выражения (3.31) в последнюю формулу, получим

(3.6)

Используя это равенство, можно рассчитать зависимость T_e от напряженности электрического поля при заданной величине T. Из выражений (3.2) и (3.3) следует соотношение между дрейфовой скоростью и полем:

(3.7)

Рассчитанные с помощью этих выражений типичные зависимости v от E для GaAs при трех температурах решетки приведены на рисунке.

Рис.8 Зависимости дрейфовой скорости от напряженности электрического поля для GaAs при трех температурах решетки.

ВАХ в линейной области

Математическое описание ВАХ AlGaAs/InGaAs/GaAs псевдоморфного транзистора с высокой подвижностью электронов (pHEMT). Для описания модели ВАХ сделаны следующие предположения для AlGaAs/InGaAs/GaAs pHEMT:

· постепенное приближение канала;

· как только происходит насыщение скорости около стока в конце канала, ток стока начинает увеличиваться только благодаря модуляции длины канала;

· двухкусочная аппроксимация используется, чтобы представить отношение между скоростью и электрическим полем.

ВАХ AlGaAs/InGaAs/GaAs pHEMT получена для случая, когда сопротивление источника и сопротивление стока предполагают равным нолю. Кривая ВАХ имеет две области: линейную область (V_DS <V_DSAT) и область насыщенности (V_DS> V_DSAT).

Рассмотрим линейную область. Ток стока в линейной области записывается:

(3.8)

где q – заряд электрона, n_s=2D электронный газ, w - длина канала и v – скорость электрона. Скорость, с которой 2DEG электроны перемещаются в канале InGaAs, определяется электрическим полем в канале и подвижностью электронов. Однако если электрическое поле превышает некоторое критическое значение - E_c, в этом случае скорость достигает насыщения. Зависимость v(E) можно представить следующим образом:

для , для

(3.9)

где E - продольная составляющая электрического поля, μ – подвижность электронов, - скорость насыщения и - критическое значение электрического поля.

Вторая особенность при описании ВАХ HEMT транзистора заключается в зависимости концентрации носителей в канале HEMT в неравновесных условиях при приложении напряжения к затвору.

Из уравнения Пуассона для p-типа:     

(3.10)

     при интегрировании от области истощения E=0 до E следует, что                                                        

(3.11)

где d – толщина узкозонного полупроводника GaAs и E(d)=0. При достаточно малых d и N_A, получаем связь электрического поля и концентрации носителей:

(3.12)

Исходя из физических соображений и согласно рисунку:

Рис.9 AlGaAs/GaAs гетеростуктура.

мы можем записать зависимость концентрации носителей в канале HEMT при приложении напряжения к затвору в виде:

(3.13)

так как , то отсюда следует:

(3.14)

или                             

(3.15)

здесь E_f – это уровень Ферми относительно дна зоны проводимости в канале и является функцией концентрации носителей на поверхности n_s в канале, d₂ – это полная толщина слоя AlGaAs, ∆Ec – неоднородность зоны проводимости в гетероструктуре и φ_b – высота барьера (затвора) Шоттки.

Рис.10 Зависимость концентрации носителей заряда от приложенного напряжения на затвор при температуре 300К: прямая – точное значение, а точечная кривая – Das Gupta.

Для моделирования ВАХ по модели Das Gupta предлагается записать зависимость E_f  псевдоморфного транзистора AlGaAs/InGaAs/GaAs (pHEMT) от n_s в виде полинома:

значение E_f рассчитано для трех значений n_s, а именно 2 × 10¹⁰, 2 × 10¹¹ и 2 × 10¹² /см. После замены значений E_f в выражении, стоящем выше, и решения системы из трех уравнений, можно оценить значения коэффициентов К1, К2, К3. Тогда в системе AlGaAs/GaAs, n_s запишется как:

(3.17)

Преобразуя это выражение, мы получим квадратичное уравнение относительно n_s^1/2 :

где  . Решение данного уравнения может быть записано в виде:

(3.19)

Оно обеспечивает отношение для n_s в 2-хмерном газе (2-DEG) как функцию напряжения на затворе. В случае напряжения канала V(x) из-за присутствия V_d (напряжения на стоке) выражение для n_s запишется:

(3.20)

где V_g1=V_g−V_T−K₁.

Подставляя уравнение (3.8) в (3.9), ток стока в линейной области выражается:                                                

(3.21)

Заменяя E = dV / dx в уравнении (3.32) и преобразуя, мы получаем:

(3.22)

Интегрируя это уравнение от источника (x=0, V=0) до стока (x=L, V=V_d), мы получаем:

(3.23)

ток стока I_d может бить записан как:                                                 

(3.24)

где  и .

Подставляя величину n_s из уравнения (3.20) в уравнение выше (3.24) и преобразуя, получаем:

(3.25)

После интегрирования:

(3.26)

где  и .

ВАХ в области насыщения