Занятие №1. График функции

Цель: актуализировать, обобщить и систематизировать знания учащихся о функциональной зависимости, рассмотреть примеры задач на функциональную зависимость, сформулировать определения понятий: функция, область определения и множество значений функции.

Ход занятия:

Учитель формулирует тему и цель занятия.

Материал данного занятия знаком учащимся из школьного курса алгебры, поэтому актуализацию, обобщение и систематизацию знаний учащихся учитель проводит в форме беседы с использованием дискуссии (разбор примеров и обсуждение возникающих у учащихся вопросов).

Зависимость. В окружающей нас жизни нет явлений или обстоятельств, которые не зависели бы от каких-либо причин их вызывающих, от других обстоятельств, от условий и т.д. Настроение зависит от самочувствия, количество солнечных дней в неделе - от времени года, рост ребенка - от возраста, пройденный путь – от времени и скорости, цена за товар - от его количества и качества, высота дома - от числа этажей, скорость автобуса - от дорожных условий, усталость - от количества проделанной работы и т.д. [4].

Попытка использовать взаимосвязь явлений и обстоятельств в своих интересах побудила людей к изучению таких взаимосвязей, к их достаточно точному описанию. Точность описания основана обычно на использовании количественных характеристик и параметров или, как говорят, величин. Связь между величинами стараются представить в виде точных равенств: , , , ,  и т. д.

Любая связь, описанная точным равенством, определяет взаимную зависимость величин. Не всегда связь можно записать, например - возраст и рост ребенка. Но достаточно типичны связи, когда изменение одной из величин неизбежно влечет изменение другой. Такие связи называют функциональными. В бытовом смысле они удобны для прогнозирования, исследования и т.д. Если давление атмосферы резко упало - жди ухудшения погоды, если в баке автомобиля нет бензина - никуда не уедешь.

Наиболее удобными для анализа являются зависимости между двумя величинами, хотя в естественных ситуациях, как правило, в описании какого-либо закона или явления участвует большее количество величин. Обычно в таких случаях выбирают две наиболее интересные и важные в данном случае характеристики, а остальные временно фиксируют, называя их параметрами, а выбранные величины - переменными. Термин «переменная величина» означает лишь, что в проводимых исследованиях этой величине (в отличие от параметров) разрешено принимать разные значения. Одну из выбранных величин, как правило, более просто определяемую или вычисляемую, объявляют независимой (ее называют независимой переменной или аргументом), а другую зависимой (ее называют зависимой переменной). Если окажется, что в условиях рассматриваемой связи каждому допустимому значению независимой переменной величины соответствует только одно значение зависимой, то связь называют функциональной, а зависимую переменную - функцией от независимой. Таким образом, функция - это функциональная зависимость.

Пример 1. Автомобиль равномерно движется по прямолинейному шоссе с 12 до 14 ч со скоростью 60 км/ч. Путь  автомобиля, пройденный за  ч, равен  км, таким образом,  км. Здесь независимой переменной является время, которое изменяется от 0 до 2 ч, а зависимой переменной или функцией является расстояние , выраженное в километрах. Имеем при  ч  км, при  ч  км и т.д. Очевидно, что  изменяется от 0 до 120 км. При математическом описании функции  отвлекаются от конкретных единиц измерения и считают, что независимая переменная  принимает числовые значения из промежутка , функция принимает числовые значения из промежутка .

Пример 2. Тело падает с высоты 490 м под действием силы тяжести без начальной скорости. Высота , на которой окажется тело через  секунд без учета сопротивления воздуха, составит  м, т. е. м. Здесь независимой переменной является время, которое может принимать все значения от 0 до 10 с (обозначено через ), а функцией является высота, которая может принимать все значения от 490 до 0 м, (обозначена через ). Отвлекаясь от конкретных единиц измерения, считаем, что задана функция , где независимая переменная t принимает числовые значения из промежутка , функция принимает числовые значения из промежутка .

Часто независимую переменную обозначают через , а зависимую через , при этом пишут , , , и иногда , символизируя тем самым зависимость у от  и тот факт, что каждому допустимому значению  соответствует (в силу рассматриваемой зависимости) только одно значение . В условиях изучаемого явления (или математической задачи) обычно известно множество разрешенных значений для  - область определения функции, а множество соответствующих значений  - область значений.

В рассмотренных примерах можно обозначить время через , а путь или высоту через , тогда получим в примере 1 функцию  с областью определения  и областью значений , в примере 2 функцию  с областью определения  и областью значений .

Итак, в примере 1 формулы , ,  определяют одну и ту же функцию. В примере 2 формулы ,  и  также определяют одну и ту же функцию. Аналогично можно задавать любые функции с одинаковыми областями определения. Например,  и ,  и ,  и и прочие [5].

Таким образом, функция не зависит от обозначений переменных.

Учащиеся делают записи в тетрадях.

Сформулируем теперь более четкие определения.

Определение 1. Пусть М - некоторое множество чисел. Зависимость, связывающая с каждым значением одной переменной величины (аргумента) из заданного числового множества определенное числовое значение другой величины, называется функцией.

Часто функции обозначают буквами  и т.д., некоторые функции имеют собственные имена: sin , cos , tg , ctg , sgn.

Определение 2. Множество чисел, на котором задана функция, называют областью определения функции.

Будем обозначать область определения функции  через D( ). Другими словами, D( ) - это множество всех значений аргумента , для каждого из которых определено значение функции .

Определение З. Множество всех значений функции называется областью значений функции.

Область значений функции  обозначается через E( ). Другими словами, E( ) - это множество всех значений , когда  принимает всевозможные значения из области определения D( ).

Пусть задана функция  с областью определения D( ). Совокупность точек координатной плоскости с координатами , где  «пробегает» все множество D( ), называется графиком функции .

Например, точки с координатами , , ,  принадлежат графику функции , поскольку , , , . Графиком функции  служит прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. График функции есть полуокружность с центром в точке  радиуса 1, расположенная в первом и втором координатных углах.

График функции наиболее доступно и наглядно отражает особенности изучаемой зависимости. Если график построен, можно по его виду сделать ряд важнейших выводов: где функция обращается в нуль, где она возрастает и где убывает, ограничена ли она или может принимать как угодно большие (по модулю) значения. На все подобные вопросы можно ответить, имея лишь приближенный график, точнее даже - эскиз графика. Поэтому построение эскизов графиков - важнейший навык, необходимый как в математике, так и в смежных разделах знаний. Без графиков сейчас не представляется даже информация о текущих экологических и социальных проблемах. График - это язык, средство для передачи емкой, качественной информации об интересующих нас явлениях в их взаимосвязи с сопровождающими (или побуждающими) обстоятельствами [11].

Подведение итогов занятия

- Какой элективный курс мы начали изучать?

- Какой теме было посвящено наше занятие?

Постановка домашнего задания

Подобрать 2 примера функциональных зависимостей из окружающей жизни.

Учитель сообщает тему следующего занятия «Способы задания функции» и раздает темы докладов для выступления учащихся (3 человека; каждый ученик создает презентацию по выбранной теме доклада. Презентация входит в состав портфолио и будет представлена на заключительном занятии). Предлагаемые темы докладов:

1) аналитический способ задания функции;

2) графический способ задания функции;

3) табличный способ задания функции.

Учитель сообщает темы рефератов изучаемого курса: «История развития понятия функция», «Функции в нашей жизни», «Великие математики и их вклад в изучении функций» (3 реферата: Эйлер, Лейбниц, Бернулли), «Многочлен Лагранжа», «Построение и чтение графиков функций»,«Разрывные функции», «Графики многочленов», «Занимательные задачи о функциях, их решение», «Красавицы функции и их графики: спираль Архимеда, лемниската Бернулли, гипоциклоида, циссоида, декартов лист» и темы, предложенные самими учащимися. Написание рефератасопровождается созданием презентации (выступление с рефератом и представление презентации на последнем заключительном занятии). Для выполнения творческих заданий учащиеся разбиваются на пары.

Методические рекомендации. Необходимо ввести учащихся в тематику занятий, обозначив круг задач, которые можно будет решать с помощью графиков функций. Учащиеся должны понимать, что графики – наглядный способ решения, а графическое представление функции очень удобно для непосредственного восприятия ее особенностей, характерных свойств. Задания на написание докладов, рефератов и создание презентаций способствуют развитию навыков самообразования, удовлетворению индивидуальных интересов учащихся. Все результаты деятельности учащихся желательно фиксировать в индивидуальной карточке.

Занятие №2. Способы задания функции

Цель: рассмотреть различные способы задания функции, научить учащихся применять полученные знания при решении практических задач.

Ход занятия:

Разбор домашнего задания

Учитель спрашивает подобранные учащимися примеры функциональных зависимостей из окружающей жизни, отвечает на вопросы учащихся, выявляет затруднения, возникшие при выполнении домашнего задания.

Изучение нового материала

Учитель формулирует тему и цель данного занятия.

Учащиеся делают доклады по теме «Способы задания функции»:

· аналитический способ задания функции;

· графический способ задания функции;

· табличный способ задания функции.

Учащиеся устно отвечают у доски с использованием необходимых им наглядных средств, и делают соответствующие записи на доске, остальные делают записи в тетрадях. Учитель выслушивает доклады, делает замечания, задает дополнительные вопросы, заостряет внимание учащихся на более сложных моментах.