◦Функция арксинус y=arcsin(x) 
Свойства функции y=arcsin(x).
◦Область определения арксинуса: 
◦Область значений функции арксинус: 
.
◦Функция нечетная, так как 
.
◦Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .
◦Функция вогнутая при 
, выпуклая при 
.
◦Точка перегиба (0; 0) , она же ноль функции.
◦Асимптот нет.
◦Функция арккосинус y=arccos(x) 
Свойства функции y=arccos(x).
◦Область определения арккосинуса:
◦Область значений арккосинуса: 
.
◦Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
◦Функция убывает на всей области определения, то есть, при
◦Функция вогнутая при , выпуклая при
◦Точка перегиба 
.
◦Асимптот нет.
◦Функция арктангенс y=arctg(x) 
Свойства функции y=arctg(x).
◦Область определения: 
.
◦Область значений: 
.
◦Функция арктангенс - нечетная, так как .
◦Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .
◦Функция арктангенс вогнутая при 
, выпуклая при 
.
◦Точка перегиба (0; 0) , она же ноль функции.
◦Горизонтальными асимптотами являются прямые 
при 
и 
при 
. На чертеже они показаны зеленым цветом.
◦Функция арккотангенс y=arcctg(x) 
Свойства функции y=arcctg(x).
◦Область определения: .
◦Область значений арккотангенса: 
.
◦Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
◦Функция убывает на всей области определения, то есть, при .
◦Функция вогнутая при , выпуклая при .
◦Точка перегиба .
◦Горизонтальными асимптотами являются прямые 
при (на чертеже показана зеленым цветом) и y=0 при .
Преобразование графиков элементарных функций.
Три способа геометрических преобразований графика функции:
•Масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.
На необходимость масштабирования указывают коэффициенты k1 и k2 отличные от единицы, если 
, то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если 
, то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.
•Симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.
На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами k1 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и k2 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy ). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.
•Параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy .
Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b , отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на а единиц, при отрицательных а – вправо на а единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на b единиц, при отрицательном b – вниз на b единиц.
Пример (преобразование графика степенной функции).
С помощью преобразования графика функции 
построить
Решение.
Функция представляется в следующем виде:
Имеем k1=2, причем перед этим коэффициентом знак «минус»,
а=-1/2 , b=3 . Следовательно, получили цепочку геометрических преобразований графика: растяжение вдоль оси ординат вдвое, симметричное отображение относительно оси абсцисс, сдвиг вправо на 1/2 и сдвиг вверх на 3 единицы.
исходная степенная функция
растягиваем вдоль оси oy вдвое
отображаем симметрично относительно оси ox
сдвигаем вправо на 1/2
сдвигаем вверх на 3 единицы
Пример (преобразование графика показательной функции).
Построить график показательной функции 
Решение.
По свойствам степени преобразуем функцию:
Таким образом, имеем цепочку преобразований графика показательной функции : 
исходная показательная функция
сжимаем вдоль оси oy вдвое
растягиваем вдвое вдоль оси ox
отображаем симметрично относительно оси ox
отображаем симметрично относительно оси oy
сдвигаем вверх на 8 единиц
Пример (геометрические преобразования графика логарифмической функции y=ln(x)).
Построить 
преобразованием графика функции 
Решение.
Используем свойства логарифма:
Таким образом, имеем цепочку преобразований графика логарифмической функции:
график исходной функции натуральный логарифм
сжимаем вдоль оси oy втрое
растягиваем вдвое вдоль оси ox
отображаем симметрично относительно оси oy
сдвигаем вверх на 2 единицы
Преобразование графиков тригонометрических функций подчиняется общей схеме геометрических преобразований 
. Единственно хочется обратить внимание на влияние коэффициента k2 на период тригонометрических функций. При отличном от единицы коэффициенте k2 период становится равным 
. То есть, при 
растяжение графика функции вдоль оси абсцисс соответствует увеличению периода, а при 
сжатие графика соответствует уменьшению периода. Коэффициент k1 влияет на амплитуду колебаний синусоиды и косинусоиды.
Пример (геометрические преобразования синусоиды y=sinx).
С помощью преобразования графика функции y=sinx построить
Решение.
Приводим функцию к виду шаблона :
Имеем k1=3, k2=0,5, a=3, b=-2, причем перед коэффициентом k1 стоит знак «минус», перед k2 минуса нет.
Таким образом, цепочка преобразований графика функции y=sinx примет вид:
Поэтапное преобразование графика синусоиды. Графическая иллюстрация.
График исходной синусоиды y=sin(x) . Наименьший положительный период равен 
. Максимумы находятся в точках 
, минимумы – в точках 
.
Растягиваем вдоль оси ординат втрое (амплитуда колебаний при этом возрастает в три раза). Наименьший положительный период равен . Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Растягиваем вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое увеличивается 
. Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Наименьший положительный период при этом не меняется 
. Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Сдвигаем график вправо на 3 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Сдвигаем график вниз на 2 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки 
минимумы – в точки 
Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=sinx завершается.
Пример (преобразование тригонометрической функции y=cosx).
Построить график функции 
преобразованием косинусоиды y=cosx.
Решение.
Приводим функцию к виду шаблона :
Имеем 
, причем перед коэффициентом k2 стоит знак «минус», перед k1 минуса нет.
Таким образом, цепочка преобразований графика тригонометрической функции косинус примет вид:
Поэтапное преобразование графика косинусоиды. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=cos(x) . Наименьший положительный период равен . Максимумы находятся в точках 
, минимумы – в точках 
.
Растягиваем вдоль оси ординат в 3/2 раза (амплитуда колебаний при этом возрастает в 3/2 раза). Наименьший положительный период равен . Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Сжимаем график вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое уменьшается 
. Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Симметрично отображаем относительно оси ординат. В силу четности функции график при этом не изменится.
Сдвигаем график вправо на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется 
. Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Сдвигаем график вверх на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки 
, минимумы – в точки 
.
Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=cosx завершается.
Пример (преобразование тригонометрической функции y=tgx ).
С помощью геометрических преобразований графика функции y=tgx построить 
Решение.
Приводим функцию к виду шаблона :
Имеем 
, причем перед коэффициентами k1 и k2 стоит знак «минус».
Таким образом, цепочка преобразований графика тангенсоиды примет вид:
Поэтапное преобразование графика тангенсоиды. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=tg(x) . Наименьший положительный период равен . Область определения 
.
Производим сжатие вдоль оси ординат в 2 раза. Наименьший положительный период при этом не меняется . Область определения остается прежней .
Растягиваем график вдоль оси абсцисс в 3/2 раза. Наименьший положительный период при этом равен 
. Область определения изменяется на 
.
Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Период и область определения при этом не меняются.
Симметрично отображаем относительно оси ординат. Период и область определения при этом не меняются. Стоит заметить, что график в точности совпадает с графиком двумя шагами ранее. Это объясняется нечетностью функции тангенса. То есть, если к нечетной функции применить симметричное отображение относительно осей ox и oy , то получим исходную функцию.
Сдвигаем график вправо на 
(примерно на полторы единицы). Наименьший положительный период при этом не меняется 
Область определения изменяется на 
. 
Сдвигаем график вверх на 
(примерно на единицу). Период и область определения при этом не меняются.
Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функции y=tgx завершается.
Пример (геометрические преобразования обратной тригонометрической функции y=arccosx).
Построить график функции 
преобразованием графика y=arccosx.
Решение.
Сначала от арккосинуса перейдем к арксинусу, используя соотношение обратных тригонометрических функций
Следовательно, 
Таким образом, имеем цепочку преобразований арккосинуса в арксинус:
Поэтапное преобразование графика арккосинуса. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=arccos(x) .
Отображаем симметрично относительно оси ox .
Сдвигаем вверх на .
Вот так перешли от арккосинуса к арксинусу
Теперь проводим геометрические преобразования графика арксинуса.
Имеем 
, причем перед коэффициентами k1и k2 знака минуса нет.
Таким образом, цепочка преобразований графика y=arcsinx примет вид:
Поэтапное преобразование графика арксинуса. Графическая иллюстрация.
График функции y=arcsinx . Область определения 
. Область значений 
.
Растягиваем вдвое вдоль оси ординат. Область определения не меняется . Область значений становится 
.
Растягиваем вдоль оси абсцисс втрое. При этом область определения расширяется до 
. Область значений не меняется .
Сдвигаем график на единицу вправо. При этом область определения переходит в 
. Область значений не меняется .
Этим этапом задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершается.
Дата: 2016-10-02, просмотров: 172.
