В данном учебнике 5 глава отведена под «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». Данная глава состоит из двух разделов: «Элементы комбинаторики» и «Начальные сведения из теории вероятностей».

В первом разделе на простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов.

Пример:

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза. Составьте дерево возможных вариантов.

Решение: с помощью перебора получим:

135, 137, 153, 157, 173, 175,

315, 317, 351, 357, 371, 375,

513, 517, 531, 537, 571, 573,

713, 715, 731, 735, 751, 753.

Итого: 24 числа.

Затем вводится комбинаторное правило умножения:

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n ₁ способами, после чего второй элемент можно выбрать n ₂ способами из оставшихся и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны k элементов, равно произведению .

Пример:

В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд.

Решение:  

Ответ: 30 способов.

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Пример:

Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать.

Решение:

Ответ: 5040 маршрутов.

Размещением из n элементов по k  называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке по данным n элементов.

Пример:

На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда.

Решение:

Ответ: 840 способов.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.

Пример:

На плоскости отмечено 8 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки.

Решение: выбираем из 8 по 2, т.к. через 2 точки можно провести прямую:  

Ответ: 28 прямых.

Во втором разделе вводятся понятия «случайное событие» и «относительная частота случайного события»

Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний.

Пример:

В 2006 г. в городе Дмитрове в июле и августе было 46 солнечных дней. Какова относительная частота солнечных дней в указанные два месяца.

Решение:

1) 31+31=62 – дней в июле и августе.

2)  

Ответ:

Два события называются несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, т.е. наступление одного из них исключает наступление другого.

Если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей А и В. Сумма противоположных событий равна 1.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.

Если событие С означает совместное наступление двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна произведению вероятностей А и В.

Пример:

На одной полке стоит 12 книг, 2 из которых – сборники стихов, а на другой – 15 книг, 3 из которых – сборники стихов. Наугад берут с каждой полки по одной книге. Какова вероятность того, что обе книги окажутся сборниками стихов.

Решение:

1) Вероятность взять сборник стихов с первой полки:

2) Вероятность взять сборник стихов со второй полки:

3)

Ответ: