Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Матеріали дисертаційної роботи доповідались на: ІІІ з’їзді українського біофізичного товариства (Львів, жовтень 2002); ХІ Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, травень 2006) та щорічних наукових конференціях Інституту хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України (Київ, травень 2006, травень 2007). Вони також були оприлюднені на міжнародних конференціях: Тhe 5^th International Conference on Biological Physics ICBP (Gothenburg, Sweden, August, 23-27, 2004); Втором Евразийском конгрессе по медицинской физике и инженерии „Медицинская физика 2005”, (Москва, Россия, июнь 2005).

Публікації

Основні результати дисертації опубліковано у 6 статтях у вітчизняних та зарубіжних фахових виданнях, 6 тезах доповідей на вітчизняних та міжнародних конференціях.

Структура дисертаційної роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних літературних джерел із 222 найменувань, містить 59 рисунків та дві таблиці. Повний обсяг дисертації становить 166 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, обговорено наукову новизну і практичне значення одержаних здобувачем результатів, показано зв’язок дисертаційної роботи з науковими програмами Інституту хімії поверхні ім. О.О. Чуйка НАН України.

У першому розділі розглянуто сучасний стан експериментального та теоретичного дослідження процесів самоорганізації у реакційно-дифузійних системах та проаналізовано механізми виникнення у них просторово-часових структур.

У другому розділі розглянуто елементи лінійної теорії стійкості та теорії біфуркацій, а також особливості методу імпедансної спектроскопії як методу дослідження лінійної стійкості електрохімічних систем.

У третьому розділі розглянута поведінка канонічної моделі типу активатор-інгібітор - моделі ФітцХ’ю-Нагумо у її повній версії під дією постійної та періодичної стимуляції для нульвимірного, одновимірного та двовимірного випадків. Модель ФХН описує просторово-часову поведінку двох динамічних змінних - активатора  та інгібітора :

, ,         (1)

де  - лапласіан у розглядуваному одно- чи двовимірному випадках,

 - безрозмірні часова і просторові змінні.

При моделюванні функціональних властивостей мембран нервових клітин, змінна  розглядається як трансмембранний потенціал, а змінна  - як рефракторність, що визначає стан збудливості нервової клітини. При цьому функція збудження, , відповідає вольт-амперній характеристиці повного іонного струму через мембрану, а функція  є швидкістю відновлення. Постійні параметри  характеризують фізіологічний стан системи, зокрема параметр  розглядають як зовнішній стимулюючий струм. Параметр . Параметр  відповідає рівню збудження системи. Параметри  та  є відповідно коефіцієнтами дифузії активатора та інгібітора. Через просторові та часові константи системи вони запишуться як  та , де  і  є відповідно просторовими константами активатора та інгібітора, а  - їх часовими константи. Малий параметр  є відношенням часових шкал активатора та інгібітора, а саме . Цей малий параметр та коефіцієнти дифузії не впливають на кількість стаціонарних точок системи ФХН, але від них залежить їх стійкість.

Динамічні режими системи ФХН. Бістабільний режим. Завдяки N-подібній формі нулькліни активатора система ФХН може відтворювати властивості трьох основних категорій реакційно-дифузійних систем: збудливих, систем Хопфа-Тюрінга (ХТ) та бістабільних. Якісні зміни поведінки таких систем відбуваються стрибкоподібно при досягненні контрольним параметром системи свого біфуркаційного значення. У збудливій системі при біфуркації Хопфа виникають коливання, у моностабільній системі при біфуркації „сідло-вузол” виникає ще один стаціонарний стан (бістабільність).

За контрольний параметр системи ФХН був вибраний параметр зовнішньої сили, були встановлені області його значень, де реалізуються основні динамічні режими системи ФХН. Як було встановлено, існують дві області значень параметрів  та , що визначають умови реалізації моностабільних (збудливого та режиму ХТ) і бістабільного режимів. Графічно ці області розділяються кривою . Для значень параметра , які лежать у межах , та будь-яких значеннях параметра  маємо випадок лише однієї стаціонарної точки (стійкої або нестійкої) тобто реалізацію у системі ФХН моностабільних режимів. Для значень параметра  з області  та значень параметра  з інтервалу  маємо реалізацію у системі ФХН бістабільного режиму, де

, (2)

. (3)

При значеннях  та  у системі ФХН відбувається біфуркація „сідло-вузол”.

Режим Хопфа-Тюрінга системи ФХН. Як відомо, нестійкість Хопфа є локальною динамічною нестійкістю, що виникає у нелінійній системі з кількома часовими шкалами. У фазовому просторі системи вона викликає появу нового атрактору - граничного циклу (замкненої орбіти). У системі типу активатор-інгібітор, вона виникає, коли активатор змінюється у часі швидше, ніж інгібітор. У системі ФХН відношення часових шкал активатора  та інгібітора  визначається значенням малого параметра . На противагу біфуркації Хопфа, біфуркація Тюрінга не є динамічною. Її називають біфуркацією викликаною дифузією. Вона можлива у системі, де активатор має менший коефіцієнт дифузії, ніж у інгібітора, тобто там, де діє короткодіючий активаторний процес (процес самоприскорення зростання активатора) та далекодіючий інгібіторний процес (процес сповільнення зростання активатора). Критичні значення параметра зовнішньої сили , що визначають області реалізації біфуркації Хопфа та Тюрінга, були знайдені з аналізу характеристичного рівняння системи ФХН

, (4)

де нижні індекси функцій відповідають похідним по динамічним змінним системи. При біфуркації Хопфа для дійсної та уявної частини найбільшого власного значення  характеристичного поліному (4) повинні виконуватися такі умови:  й , де хвильове число . Звідки, областю значень параметра , при яких у системі ФХН можливий автоколивальний режим, буде , де

(5)

(6)

Необхідною умовою реалізації у системі біфуркації Тюрінга є  i , де хвильове число . Таким чином, областю значень параметра , при яких з просторово-однорідного стану системи можуть спонтанно виникати стаціонарні просторово-впорядковані структури, буде , де

,(7)

.(8)

Біфуркаційна діаграма моделі ФХН зображена на рис. 1 у координатах параметрів  при фіксованих значеннях параметрів: .

Аналіз біфуркаційних діаграм показав, що збільшення параметра  при сталих значеннях інших параметрів, веде до зменшення областей окремих біфуркацій. Збільшення ж лише коефіцієнта дифузії інгібітора, , веде до збільшення області нестійкості Тюрінга. Зміна ж параметра  від негативних до позитивних значень звужує області окремих біфуркацій та пересуває вправо точки перетину кривих, що визначають границі нестійкостей.

Теорія Хопфа. Розрахунок періоду граничного циклу. На основі теорії Хопфа була встановлена залежність періоду граничного циклу, , що відповідає стійким автоколиванням динамічних змінних  та  у точковій системі ФХН, від параметра зовнішньої сили (рис. 2) у межах визначених рівностями (5) та (6)

, (9)

де частота ,  - координата єдиної стаціонарної точки нестійкої до біфуркації Хопфа, яка пов’язана із параметром .

при критичних значеннях  та , які у даному випадку рівні  й , у системі ФХН народжується граничний цикл з періодом рівним . Це випадок надкритичної біфуркації Хопфа.

Періодична стимуляція точкової системи ФХН. Чисельне моделювання системи ФХН здійснювалося за допомогою математичного пакету Matematica 4.1 та 5.1 (Wolfram Research Inc., 1988 – 2004, trail version). На його основі були отримані відгуки точкової системи ФХН на серію періодичних імпульсів прямокутної та трикутної форми, що адекватно моделювали властивості імпульсів збудження - потенціалів дії у мембранах нервових клітин. Як виявилося, нижнє граничне значення постійної стимулюючої сили, при якій у системі ФХН народжується граничний цикл, І₁, є критичним і для випадку періодичної стимуляції. Так, якщо амплітуда стимулюючих імпульсів, як трикутних, так і прямокутних, була меншою за цю величину, то жодне значення тривалості імпульсів не спричиняло появу потенціалів дії - імпульсів з амплітудою більшою деякого порогового значення. Це відповідає експериментальному факту існування мінімального значення сили струму, при якому він неефективний ні при якій тривалості. Була отримана залежність мінімальних значень тривалості стимулюючих прямокутних імпульсів, при яких у системі ФХН вже генеруються потенціали дії, від значень періоду стимуляції для амплітуд зі згаданого критичного діапазону . Ця залежність не є монотонною. Для генерації потенціалів дії при середніх частотах стимуляції необхідна найбільша тривалість стимулюючих імпульсів у всьому діапазоні амплітуд стимуляції. Для великих значень амплітуд значення тривалості стимулюючих імпульсів вже не є таким визначальним.

Редукована одновимірна система ФХН та її точний розв’язок. Коли інгібітор  є значно повільнішим у часі, ніж активатор , тобто при умові , ми отримуємо редуковану версію моделі ФХН. Як було встановлено, в одновимірному випадку, у певному діапазоні значень стимулюючої постійної сили , редукована версія системи ФітцХ’ю-Нагумо, а саме її перше рівняння при фіксованому значенні змінної інгібітора , має точний розв'язок у вигляді кінку, , що розповсюджується із постійною швидкістю , де

,  (10)

 (11)

Величина m визначається із виразу:

             (12)

Область значень стимулюючої сили, де ця система має точний розв'язок, обмежується зліва граничним значенням , що визначається параметром збудження системи , при якому корені рівняння (12), , стають уявними. Графіки залежностей амплітуд та швидкості кінку від допустимих значень стимулюючої сили  виявилися зростаючими функціями. Подальше дослідження таких солітоноподібних режимів є без сумніву перспективним, зокрема для біологічних систем.

Одновимірні просторові структури. Біфуркація Тюрінга. На основі отриманих аналітичних та чисельних розрахунків були досліджені властивості одновимірних стаціонарних періодичних просторових структур, викликаних біфуркацією Тюрінга. Встановлено, що їх характерні розміри добре узгоджуються з тими, що можна отримати за формулою , де  - найбільше нестійке хвильове число, яке відповідає другому максимуму кривої Re{l(k)} для найбільшого власного значення характеристичного поліному (4) від хвильового числа . На рис. 3 зображені одновимірні структури Тюрінга, що виникають у системі ФХН з однією (а) та трьома стаціонарними точками (б) внаслідок малого локального початкового збурення по динамічній змінній активатора. Граничні умови відповідали відсутності потоку через границю області інтегрування. У випадку системи з однією стаціонарною точкою вибраними значеннями параметрів були: , а у випадку системи з трьома стаціонарними точками мали:  В останньому випадку нестійкою до біфуркації Тюрінга була лише одна стаціонарна точка – нижня точка перетину нульклін, у середній та верхній точках умови біфуркації Тюрінга не виконувалися.

У випадку системи ФХН із трьома стаціонарними точками нами були отримані й інші стаціонарні структури. Вони, на відміну від розглянутих вище регулярних періодичних структур, що мало залежали від форми та величини початкового збурення, були дуже чутливими до вибраних початкових умов. При цьому значення параметра  не належали області реалізації біфуркації Тюрінга. Процес утворення подібних структур використовувався для моделювання процесу згортання крові.

Поверхневі структури. Біфуркація Хопфа та Тюрінга. Досліджено властивості поверхневих структур, що виникають у двовимірній системі ФХН як при реалізації біфуркацій Хопфа та Тюрінга, так і при їх порогах. Показано, що у обох цих випадках присутня взаємодія та конкуренція біфуркацій, а режими, що при цьому виникають, є результатом їх спільної дії.

За початкове збурення було вибрано імпульс малої амплітуди, що прикладався до стаціонарної точки системи. Граничні ж умови, як і раніше, відповідали відсутності потоку через границю області інтегрування.

Випадок реалізації обох біфуркацій і Хопфа, і Тюрінга у системі ФХН з трьома стаціонарними точками зображений на рис. 4. Значеннями параметрів системи ФХН були:  На рисунку за допомогою кольору відображений профіль активатора . Темний колір відповідає меншому значенню активатора, світлий - його більшому значенню (див. лінійку зліва). Розвиток структури відбувається досить швидко. У центрі області виникає локалізована стаціонарна структура з кількох піків, навколо якої у процесі автоколивань утворюються концентричні структури, що мають виразні границі.

Автоколивання системи відображаються на знімках як зміна кольору їх фону. Кількість піків визначається співвідношенням між просторово-часовими шкалами системи, а кількість концентричних структур - розміром розглядуваного просторового домену. Дисперсійні криві  та , що відповідають розглядуваному випадку реалізації обох біфуркацій у бістабільній системі ФХН, зображені на рис. 4 зліва.

Найбільш складна за формою поверхнева структура, отримана у роботі, виникає у випадку системи ФХН з єдиною стаціонарною точкою, нестійкою до обох біфуркацій (рис. 5). Значеннями параметрів системи ФХН були: . У процесі автоколивань системи відбувається народження стаціонарних структур, кількість яких поступово збільшується, а форма ускладнюється. Спочатку, внаслідок збурення стаціонарної точки, у системі формується єдина локалізована стаціонарна структура у вигляді піку зі зміненою вершиною. Потім навколо неї у процесі автоколивань системи утворюються більш складні поверхневі структури. Як і раніше, темний колір відповідає меншому значенню активатора, світлий - його більшому значенню. Вигляд дисперсійних кривих  та  характеристичного поліному (4) був подібний до зображених на рис. 4, тому не наводиться.

На противагу такому процесу ускладнення форми структур, для системи ФХН з єдиною стаціонарною точкою, де реалізується біфуркація Хопфа та поріг біфуркації Тюрінга, спостерігалися переходи від простих поверхневих структур до більш складних і навпаки (рис. 6). Значеннями параметрів були: . Дисперсійні криві  та  для цих значень системи ФХН відрізнялися від зображених на рис. 4 положенням другого максимуму кривої . Він знаходився у області негативних значень.

Період автоколивань отриманих поверхневих структур та хвильове число, яке б їх характеризувало, знайти складно. Існує певна залежність остаточного вигляду структури від вибраного розміру просторового домену та початкових умов. Крім того, існує широкий діапазон значень параметрів, що дають одну і ту ж картину розподілу. Тому на даний момент ми не можемо представити карту можливих типів структур в залежності від значень параметрів системи. Двовимірні просторово-часові структури моделі ФХН не можна розглядати як концентраційний розподіл речовини у хімічних реакційно-дифузійних системах, так як у моделі ФХН активатор та інгібітор можуть приймати і позитивні, і негативні значення. Проте за формою деякі з них є дуже подібними до експериментальних хімічних нерівноважних структур. Останні сьогодні розглядаються як можливі елементи пам’яті у нових хімічних комп’ютерах. Система ФХН є чудовою базовою моделлю для аналізу нових потенційно можливих структур у живих системах. Отримані структури ми розглядаємо як певні біологічні сигнали. Часто результати чисельного моделювання не тільки відтворюють основні експериментальні дані, а й передбачають можливість отримання нових цікавих явищ.

Четвертий розділ був присвячений дослідженню нестійкості Хопфа при електрокаталітичній реакції на поверхні малої частинки, в якості якої виступав сферичний мікроелектрод. Лінійна стійкість модельної електрохімічної системи досліджувалася на основі аналізу її комплексного опору – імпедансу. Показано, що нестійкість в системі обумовлюється негативним імпедансом, значення якого визначається взаємодією процесів масопереносу і адсорбції-десорбції, що залежить від потенціалу і відбувається перед реакцією переносу заряду.

Електрокаталітичні реакції на поверхні малих частинок. Розглядався випадок частинок одного сорту, що дифундують з дифузійного шару Нернста до поверхні сферичного мікроелектрода, на якій вони адсорбуються і електрохімічно окислюються:

,                     (13)

де k_a, k_d, k_e - константи швидкості адсорбції, десорбції і переносу електрона відповідно. Без врахування впливу омічних втрат та подвійного шару, рівняннями кінетики адсорбції-десорбції та швидкості переносу електрона будуть

 (14)

,                   (15)

де R₀ – радіус електрода (початок координат збігається з центром сфери), C(R₀, t) – концентрація електроактивних частинок на поверхні електроду, q(t) – степінь покриття електродної поверхні адсорбатом, G – максимальна поверхнева концентрація, g – параметр взаємодії (позитивне значення цієї константи відповідає притяганню, а негативне – відштовхуванню між адсорбованими частинками), F – число Фарадея, R – газова постійна, T – абсолютна температура, a – фактор симетрії електронного переносу в напрямку окислення, E – потенціал електрода. Рівняння (14) в стаціонарному стані при =0 є ізотермою Фрумкіна, що зв'язує ступінь покриття електродної поверхні з об'ємною концентрацією C₀.

Зміна степені покриття електродної поверхні адсорбатом q(t) та концентрація C(r,t) задовольняють рівнянням

                               (16)

,                      (17)

де D – коефіцієнт дифузії,  товщина дифузійного шару Нернста. Граничні умови враховували те, що на поверхні електроду дифузійний потік рівний швидкості адсорбції-десорбції, а також те, що на відстані  об’ємна концентрація частинок A постійна і рівна C₀. Були розраховані значення стаціонарного потенціалу електрода E_s (відлік проводився від потенціалу нульового заряду електрода, вільного від адсорбованих частинок) та значення стаціонарної концентрації частинок A на поверхні електроду , коли швидкість адсорбції-десорбції є рівною швидкості переносу електрона.

Для обчислення комплексного фарадеєвського імпедансу даної системи розглядалася її поведінка під дією малого періодичного сигналу, що накладався на стаціонарне значення поляризаційного потенціалу

,                                           

де , комплексна частота s рівна . У відповідь на це збурення степінь покриття електродної поверхні , фарадеєвський струм  і концентрація  коливатимуться в околі стаціонарних значень

, , .

Фарадеєвський імпеданс у просторі зображень Лапласа як функція комплексної частоти s має вигляд  або:

, (18)

де частинні похідні для зручності позначені як ,  – опір переносу заряду, , , , , .

Перехід із простору Лапласа в простір Фур'є здійснюється заміною . При розрахунках не були враховані опір електроліту та імпеданс подвійного шару. У цьому випадку імпеданс розглянутої модельної системи дорівнює фарадеєвському імпедансу.

Для модельних розрахунків були використані такі значення параметрів системи: G = 10^-9 моль/см²; g = 8; Gk_a = 0.1 см/с; Gk_d= 10^-5 моль /см² с; k_e = 10 с^-1; D = 10^-5см²/c; d = 10^-3см; F = 96484Кл/моль; R = 8,314 Дж/моль К; a = 0.5; C₀ = 10^-5моль/см³; T=295 К;  = 38,7 В^-1.

Як видно з рисунка, зі зменшенням радіуса електрода збільшується густина потоку, максимум кривої стає більш виразним, змішуючись в область більш високих значень потенціалів. Вольтамперна крива має N-подібну форму. На величину струму впливають два протилежних фактори: збільшення потенціалу і зменшення концентрації електроактивних частинок у приелектродному шарі за рахунок процесу адсорбції, що нелінійно залежить від потенціалу. Таким чином, у цій системі потенціал відіграє роль активатора, а концентрація електроактивних частинок у приелектродному шарі - роль інгібітору. Вольтамперна крива містить область так званого негативного диференційного опору, у якій звичайно і виникають розглядувані нестійкості.

Для дослідження лінійної стійкості нелінійної системи поблизу стаціонарної точки звичайно використовується добре відома процедура знаходження власних значень матриці Якобі. Для електрохімічної системи це еквівалентно дослідженню зміни нулів фарадеєвського імпедансу при зміні потенціалу електрода. Нулями імпедансу є власні значення якобіана при потенціостатичному контролі, а полюса імпедансу - це власні значення якобіана при гальваностатичному контролі.

Таким чином, для з'ясування лінійної стійкості електрохімічної системи необхідно дослідити зміни реальних частин параметра s згаданих нулів зі зміною потенціалу електрода. У нашому випадку нулі імпедансу знаходилися з рівняння (19), яке може бути розв’язане лише чисельними методами.

     (19)

Його аналіз показав, що у системі існує дві точки біфуркації Хопфа, де Re(Z_f(w))=Im(Z_f(w)). Осциляції виникають, якщо фарадеєвський імпеданс прямує до нулю зі сторони негативних значень Re(Z_f(w)), коли w®¥. Значення контрольного параметра w у точці біфуркації Хопфа залежить від радіуса електрода і товщини дифузійного шару Нернста. На рис. 8 представлені діаграми Найквіста, що характеризують поведінку фарадеєвського імпедансу в комплексній площині в точці біфуркації Хопфа H₁ для різних радіусів електрода.

Діаграма Найквіста складається з двох змінених півкіл і проходить через початок координат. В області низьких частот на діаграмі є індуктивна петля, що зменшується зі зменшенням розмірів електрода. Останнє веде також до зменшення області потенціалів, у якій у системі може спостерігатися нестійкість. Поляризаційний опір Z_f(w®0) у точці біфуркації Хопфа є негативним. Точка на імпедансній діаграмі Найквіста, де Re(Z_f(w))=Im(Z_f(w)), відповідає пороговому опору, коли в системі виникають коливання. У випадку впливу на систему зовнішнього сигналу з частотою рівною одному з біфуркаційних значень, отриманий вихідний сигнал буде рівним вхідному, тобто пройде через систему без опору. При w®¥ фрадеєвський імпеданс дорівнює опору переносу заряду. Усі криві сходяться у точці , .

Діаграми Боде в точці біфуркації Хопфа H₁ для сферичних електродів різних радіусів представлені на рис. 9. Зменшення радіуса електрода веде до зменшення модуля фарадеєвського імпедансу. При біфуркаційній частоті модуль фарадеєвського імпедансу обертається в нуль. Зі зменшенням радіуса електрода біфуркаційна частота зміщається в область більш високих частот.

У точці біфуркації Хопфа відбувається зміна функціональної залежності фазового кута фарадеєвського імпедансу від частоти. Вплив товщини дифузійного шару спостерігався в області низьких частот для негативного імпедансу. В області позитивних значень реальної частини фарадеєвського імпедансу такої залежності не виявлено. Значення параметрів електрохімічної системи в точках біфуркації Хопфа H₁ і H₂ (див. рис. 7) наведені відповідно в таблицях 1 і 2.

Табл. 1. Значення параметрів електрохімічної системи в точці біфуркації Хопфа H₁

R0, см	wH, Гц	qH	ifH, А см-2	EH, В
0,01	141,44	0,563	0,008867	0,1443
0,001	198,78	0,513	0,01514	0,1768
0,0001	257	0,375	0,05345	0,2582

Табл. 2. Значення параметрів електрохімічної системи в точці біфуркації Хопфа H₂

R0, см	wH, Гц	qH	ifH, А см-2	EH, В
0,01	184,22	0,1924	0,00488	0,16895
0,001	187,89	0,192	0.,04878	0,169
0,0001	242,9	0,295	0,0434	0,2598

ВИСНОВКИ

 

У дисертації, відповідно до поставленої мети та завдань, встановлено умови виникнення та особливості розвитку нерівноважних просторово - часових структур у двох реакційно-дифузійних моделях типу активатор-інгібітор. Головні результати та висновки можна сформулювати у вигляді наступних тверджень:

1. Вперше для повної версії реакційно-дифузійної моделі ФітцХ’ю-Нагумо розраховані значення параметра зовнішньої постійної сили, при яких у системі можливі біфуркації Хопфа та Тюрінга. На їх основі та за допомогою чисельного моделювання досліджені властивості двовимірних просторово-часових структур, що виникають у моностабільній та бістабільній системі ФітцХ’ю-Нагумо у результаті спільної дії біфуркацій Хопфа та Тюрінга.

2. Вперше отримано точний розв’язок редукованої одновимірної моделі ФітцХ’ю-Нагумо у вигляді біжучої хвилі (кінку), швидкість якої крім параметра постійної зовнішньої сили залежить від коефіцієнта дифузії активатора та рівня збудження системи. Подальше дослідження таких солітоноподібних режимів допоможе в розумінні механізмів порушення ритмічної активності біологічних систем

3. Для точкової системі ФХН як емпіричної моделі збудливих біологічних мембран на основі біфуркаційної теореми Хопфа знайдено залежність періоду стійких автоколивань динамічних змінних системи від постійної зовнішньої сили. У якості останньої можуть виступати різні чинники: малі частинки біологічно активних речовин, зовнішні електромагнітні поля, струми.

4. Вперше для модельної електрохімічної системи з електрокаталітичною реакцією на поверхні сферичного мікроелектроду у потенціостатичних умовах розраховані значення частот, при яких у системі виникає біфуркація Хопфа. Отримані результати можуть бути використані при оптимізації технологічного процесу, в основі якого лежать спонтанні коливання потенціалу (струму) електроду.

5. Показано, що область потенціалів, де спостерігається нестійкість Хопфа, зменшується зі зменшенням радіуса електрода. Останнє викликає також зміщення біфуркаційної частоти електрохімічної системи в область більш високих частот. При збільшенні товщини дифузійного шару Нернста біфуркаційна частота зміщується в область більш низьких частот для сферичного електрода одного й того самого радіусу.