2.1.4.1. Постановка задачи. Система n нелинейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

 (2.2)

где  – неизвестные;

– заданные функции n переменных.

Решением системы НАТУ называется совокупность чисел , которые, будучи поставлены на место неизвестных  ,обращают каждое уравнение системы в тождество. Система (2.2) может иметь несколько решений. Нахождение решения системы уравнений является значительно более сложной задачей, чем решение одного уравнения. Для систем НАТУ не существует каких–либо приемов, используя которые получали бы приближенные значения корней. В некоторых случаях в результате построения графиков с последующим определением координат точек пересечения можно получить приближенные значения корней. Для уточнения корней всегда применяются итерационные методы, чаще всего метод Ньютона.

2.1.4.2. Метод Ньютона для решения систем НАТУ. Представим все n уравнений в виде рядов Тейлора:

(2.3)

Задача сводится к отысканию такой совокупности приращений , при которой  близки к корню, т.е. левые части уравнений (2.3) обращаются в нули. Отбросив члены более высоких порядков, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно :

(2.4)

Систему линейных уравнений (5.4) можно записать в матричном виде:

 (2.5),

где матрица коэффициентов (А) состоит из частных производных функций по всем переменным, а вектор свободных членов (В) – из функций с противоположным знаком. Матрица в левой части (2.5) называется матрицей Якоби или якобианом.

Найденные из системы (2.5) значения  используются как поправки для получения очередного – го приближения к решению:

 (2.6)

Таким образом, для выполнения одной итерации методом Ньютона решают СЛАУ (2.5) относительно вектора поправок . Получив значение вектора поправок  ( ), получим очередное приближение к корням  ( ) (2.6) и т.д. до тех пор, пока все получаемые поправки  не будут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к истинному ( ).

Следует обратить внимание на то, что проверку поправок  на каждом шаге итерации на условие <  ( ) необходимо выполнять для значений поправок всех корней ( .

Пример: Найти методом Ньютона решение системы уравнений

Решение. Очевидно,

Для формирования матрицы Якоби получим частные производные:

Подставив в (2.5) в качестве: матрицы коэффициентов (А) – частные производные функций и вектора свободных членов (В) – функции с противоположным знаком, получим запись СЛАУ в виде:

 (2.7)

Задавшись некоторым начальным приближением  ( ) и, подставив его вместо ( ) в систему (2.7), решим полученную систему линейных уравнений (например, матричным способом ) и получим значение поправок . Если поправки не будут достаточно малы (т.е. условие <  не выполняется), то вычисляется очередное приближение к корням:  

С полученным  затем повторяют те же операции, что и с  для получения  и, если необходимо,  и т.д. до тех пор, пока все получаемые поправки  не будут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к истинному.