0	0,870	-1,514	0,104	0,032	-2,110	-0,482	-0,591	-0,354
1	0,916	-1,500	-0,001	-0,001	-2,128	-0,553	-0,603	-0,406	0,0459	0,0144
2	0,916	-1,501	0,000	0,000	-2,126	-0,551	-0,601	-0,405	0,0000	0,0016
3	0,916	-1,501	0,000	0,000	-2,126	-0,551	-0,601	-0,405	0,0000	0,0000

Таким образом, будем считать, что минимум суммы квадратов отклонения значений  степенной зависимости от табличных данных  достигается при значениях её параметров  и  (с погрешностью, не превышающей 0,001). При этом остаточная сумма квадратов составляет

,

что в относительных единицах равно 9,5 %.

Полученная величина  может служить критерием для сравнения с остаточной суммой квадратов, соответствующей какой-либо другой оценке параметров степенной зависимости, вычисленной тем или иным способом.

Рассматриваемая задача однофакторной нелинейной регрессии была сведена к решению нормальной системы нелинейных уравнений методом Ньютона. Другим известным подходом к решению задачи нелинейного оценивания является линейная параметризация математической модели [5].

Разложим функцию  в ряд Тейлора в окрестности точки :

Ограничиваясь линейной частью разложения, получаем аппроксимацию: , где , .

В этом случае сумма квадратов остатков будет описываться выражением вида:

. (1.21)

Очевидно, что функционал (1.21) представляет собой квадратичную форму относительно параметров  и  и, следовательно, система нормальных уравнений  и  будет линейной относительно этих параметров:

,

.

Отсюда имеем:

,

.

Вводя обозначения , , , , , , получаем систему уравнений (1.7)

из решения которой находим

, .

Вычисляя новые приближения по формулам  и , получаем итерационный процесс уточнения параметров заданной нелинейной зависимости,  – номер итерации. Условием завершения итерационной процедуры может служить выполнение неравенств: , , где  – заданная величина погрешности вычислений.

В качестве начального приближения  можно взять значения, полученные выше по формулам (1.20): , .

Данные для вычисления коэффициентов нормальной системы уравнений (1.7) на первой итерации  представлены в табл. 1.12.

Таблица 1.12

Данные для вычисления коэффициентов нормальной системы
уравнений (1.7) на первом шаге итерационной процедуры

1	-1,5	6,50	1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
2	-1,2	4,30	0,452	0,103	0,119	0,027	0,051	0,013
3	-0,9	3,53	0,241	0,099	0,113	0,046	0,046	0,021
4	-0,6	2,93	0,143	0,080	0,092	0,051	0,019	0,012
5	-0,3	2,42	0,092	0,063	0,072	0,050	0,005	0,004
6	0,0	2,01	0,062	0,050	0,057	0,046	-0,004	-0,004
7	0,3	0,68	0,044	0,040	0,046	0,041	0,001	0,002
8	0,6	1,67	0,033	0,032	0,037	0,036	-0,005	-0,005
9	0,9	0,03	0,025	0,026	0,030	0,032	-0,009	-0,011
10	1,2	0,57	0,019	0,022	0,025	0,028	0,000	0,000
			2,111	0,514	0,591	0,357	0,104	0,032

Система нормальных уравнений

имеет решение:  и . Отсюда новые уточненные оценки параметров:  и .

Данные для вычисления коэффициентов нормальной системы уравнений (1.7) на второй итерации представлены в табл. 1.13.

Таблица 1.13

Данные для вычисления коэффициентов нормальной системы
уравнений (1.7) на втором шаге итерационной процедуры

1	-1,5	6,50	1,000	0,000	0,000	0,000	-0,046	0,000
2	-1,2	4,30	0,455	0,109	0,119	0,029	0,028	0,007
3	-0,9	3,53	0,244	0,105	0,115	0,049	0,033	0,016
4	-0,6	2,93	0,146	0,086	0,094	0,055	0,012	0,007
5	-0,3	2,42	0,094	0,068	0,074	0,054	0,000	0,000
6	0,0	2,01	0,064	0,054	0,059	0,049	-0,008	-0,007
7	0,3	0,68	0,046	0,043	0,047	0,044	-0,001	-0,001
8	0,6	1,67	0,034	0,035	0,038	0,039	-0,007	-0,008
9	0,9	0,03	0,025	0,029	0,031	0,035	-0,011	-0,013
10	1,2	0,57	0,020	0,024	0,026	0,031	-0,001	-0,002
			2,128	0,552	0,603	0,386	0,000	-0,001

Система нормальных уравнений

имеет решение:  и . Отсюда новые, уточненные оценки параметров:  и .

Данные для вычисления коэффициентов нормальной системы уравнений (1.7) на третьей итерации представлены в табл. 1.14.

Таблица 1.14

Данные для вычисления коэффициентов нормальной системы
уравнений (1.7) на третьем шаге итерационной процедуры

1	-1,5	6,50	1,000	0,000	0,000	0,000	-0,046	0,000
2	-1,2	4,30	0,455	0,109	0,119	0,029	0,029	0,007
3	-0,9	3,53	0,244	0,105	0,115	0,049	0,033	0,016
4	-0,6	2,93	0,146	0,086	0,093	0,055	0,012	0,007
5	-0,3	2,42	0,094	0,068	0,074	0,053	0,000	0,000

Окончание табл. 1.14

6	0,0	2,01	0,064	0,054	0,058	0,049	-0,008	-0,007
7	0,3	0,68	0,045	0,043	0,047	0,044	-0,001	-0,001
8	0,6	1,67	0,033	0,035	0,038	0,039	-0,007	-0,008
9	0,9	0,03	0,025	0,028	0,031	0,035	-0,010	-0,013
10	1,2	0,57	0,020	0,024	0,026	0,031	-0,001	-0,002
			2,126	0,551	0,601	0,384	0,000	0,000

Система нормальных уравнений

имеет решение:  и . Отсюда новые, уточненные оценки параметров:  и .

Так как  и , эти оценки с погрешностью, не превышающей , обеспечивают минимум остаточной суммы квадратов. Очевидно, что полученный результат  и  совпадает с результатом вычислений методом Ньютона, причем в обоих случаях потребовалось по три итерации. Следовательно, и остаточные суммы квадратов будут одинаковыми: .

Рассмотрим решение задачи из примера 1.2 на основе линеаризующих преобразований нелинейной зависимости [2, 5]. Целью таких преобразований является сведение системы нормальных уравнений к линейному виду, что существенно упрощает её решение.

Представим табличные данные  в виде

,    .      (1.22)

Прологарифмируем обе части выражения (1.22):

Обозначая , , ,  и , получаем линейную по параметрам  и  модель, описывающую табличные данные :

,   .               (1.23)

Минимизируя квадрат “невязки”: , получаем линейную систему нормальных уравнений

             (1.24)

коэффициенты которой вычисляются по формулам:

;

.                  (1.25)

С учетом введенных обозначений оценки параметров степенной зависимости находятся по формулам  и .

Для вычисления коэффициентов в системе уравнений (1.24) используем данные из табл. 1.10 и формируем табл. 1.15.

Подставляя результаты суммирования из табл. 1.15, получаем систему двух линейных алгебраических уравнений:

Таблица 1.15