Тема : Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени .
Оглавление
Введение
Постановка проблем , формулировка задач
Глава 1 . Теоретический анализ существующих алгоритмов спектрального анализа .
1.1. Введение в спектральное оценивание
· 1.1.1. Задача спектрального оценивания
· 1.1.2. Проблемы в области спектрального оценивания.
· 1.1.3. Спектральные оценки по конечным последовательностям данных
· 1.1.4. Общая картина
1.2. Основные определения и теоремы классического спектрального анализа
· 1.2.2 Операции дискретизации и взвешивания для получения дискретно- временных рядов Фурье.
· 1.2.3. Анализ эргодичных дискретных процессов.
1.3. Классические методы спектрального анализа.
· 1.3.1. Введение.
· 1.3.2. Окна данных и корреляционные окна в спектральном анализе.
· 1.3.3. Периодограммные оценки спектральной плотности мощности.
· 1.3.4. Коррелограммные оценки спектра.
· 1.3.5. Область применения.
1.4. Авторегрессионное спектральное оценивание.
· 1.4.1. Введение.
· 1.4.2. Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера.
· 1.4.3. Методы оценивания коэффициентов отражения.
· 1.4.3.1. Геометрический алгоритм.
· 1.4.3.2. Гармонический алгоритм Берга.
· 1.4.4. Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов.
· 1.4.5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод
· 1.4.6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов
1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего .
1.6. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии.
1.7. Методы оценивания частоты, основанные на анализе собственных значений.
· 1.7.1. Введение.
· 1.7.2. Процедуры оценки частоты в пространстве сигнала.
· 1.7.3. Оценки частоты в пространстве шума.
Глава 2. Экспериментальный анализ алгоритмов спектрального анализа .
Особенности реализации .
Заключение .
Выводы .
Приложени e А . Смещение периодограммы Уэлча.
Приложени e В . Методы и интерфейсы межзадачного системного и межсистемного обмена в среде Windows ’95 (Delphi 3.0)
Приложени e С . Достоверность полученных оценок спектральной плотности мощности.
Приложени e D . Таблица экспериментальных результатов по разрешающей способности методов спектрального анализа.
Приложени e E . Таблица и графики «Слабые синусоидальные составляющие »
Приложени e F . Дисперсии оценок СПМ как функции частоты.
Приложени e G . Таблица наилучших в смысле структурной устойчивости параметров адаптивного градиентного метода.
Приложени e Н . Графики оценок СПМ при различных значениях порядка авторегрессионной модели.
Приложени e I . Список используемой литературы.
Введение
Спектральный анализ - это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Методы статистики играют важную роль в спектральном анализе, поскольку сигналы, как правило, имеют шумовой или случайный характер. Если бы основные статистические характеристики сигнала были известны точно или же их можно было бы без ошибки определить на конечном интервале этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой отрасль точной науки. Однако в действительности по одному-единственному отрезку сигнала можно получить только некоторую оценку его спектра.[1]
К обработке сигналов в реальном масштабе времени относятся задачи анализа аудио, речевых, мультимедийных сигналов, в которых помимо трудностей, связанных непосредственно с анализом спектрального содержания и дальнейшей классификацией последовательности отсчетов (как в задаче распознавания речи) или изменения формы спектра - фильтрации в частотной области (в основном относится к мультимедийным сигналам), возникает проблема управления потоком данных в современных вычислительных системах. Реальность накладывает отпечаток как на сами вычислительные алгоритмы, так и на результаты экспериментов, поднимая вопросы, с которыми не сталкиваются при обработке всей доступной информации.
При обработке сигналов обычно приходится решать задачи двух типов - задачу обнаружения и задачу оценивания. При обнаружении нужно дать ответ на вопрос, присутствует ли в данное время на входе некоторый сигнал с априорно известными параметрами. Оценивание - это задача измерения значений параметров, описывающих сигнал [1].
Сигнал часто зашумлен, на него могут накладываться мешающие сигналы. Поэтому для упрощения указанных задач сигнал обычно разлагают по базисным составляющим пространства сигналов. Для многих приложений наибольший интерес представляют периодические сигналы. Вполне естественно, что используются Sin и Cos. Такое разложение можно выполнить с помощью классического преобразования Фурье.
При обработке сигналов конечной длительности возникают интересные и взаимозависимые вопросы, которые необходимо учитывать в ходе гармонического анализа. Конечность интервала наблюдения влияет на обнаружимость тонов в присутствии сильных шумов, на разрешимость тонов меняющейся частоты и на точность оценок параметров всех вышеупомянутых сигналов.
Общая картина
Из формального определения спектра, следует, что спектр является некоторой функцией одних лишь статистик второго порядка, относительно которых в свою очередь предполагается, что они остаются неизменными, или стационарными во времени. Следовательно, такой спектр не передает полной статистической информации об анализируемом случайном процессе, а значит, дополнительная информация может содержаться в статистиках третьего и более высокого порядка. Кроме того, многие обычные сигналы, которые приходится анализировать на практике, не являются стационарными. Однако короткие сегменты данных, получаемые из более длинной записи данных, можно считать локально стационарными. Анализируя изменения спектральных оценок от одного такого сегмента к другому, можно затем составить представление и об изменяющихся во времени статистиках сигналов, то есть нестационарных.
1.2. Основные определения и теоремы классического спектрального анализа
1.2.1. Непрерывно-временное преобразование Фурье .
Определение : Непрерывно-временным преобразованием Фурье называется функция
В спектральном анализе переменная 
в комплексной синусоиде 
соответствует частоте, измеряемой в герцах, если переменная 
измеряется в единицах времени (в секундах). По сути дела, непрерывно-временное преобразование Фурье идентифицирует частоты и амплитуды тех комплексных синусоид, на которые разлагается некоторое произвольное колебание.
Определение : Обратное преобразование Фурье определяется выражением
Существование прямого и обратного преобразований Фурье с непрерывным временем для данной функции определяется целым рядом условий. Одно из достаточных условий состоит в том, что сигнал 
должен быть абсолютно интегрируемым в смысле
Введение
Оценки СПМ, основанные на прямом преобразовании данных и последующем усреднении, получили название периодограмм. Оценки СПМ, для получения которых по исходным данным сначала формируется корреляционные оценки, получили название коррелограммных методов спектрального оценивания.
При использовании любого метода оценивания СПМ пользователю приходится принимать множество компромиссных решений, с тем, чтобы по конечному количеству отсчетов данных получать статистически устойчивые спектральные оценки с максимально возможным разрешением. К этим компромиссным решениям относятся, в частности, выбор таких функций окна для взвешивания данных и корреляционных функций и таких параметров усреднения во временной и в частотной областях, которые позволяют сбалансировать требования к снижению уровня боковых лепестков, выполнению эффективного усреднения по ансамблю и к обеспечению приемлемого спектрального разрешения. Устойчивые результаты (малые спектральные флюктуации) и хорошая точность (малое смещение относительно истинных спектральных значений на всех частотах) достижимы только тогда, когда произведение TB, где Т - полный интервал записи данных, а B - эффективное разрешение по частоте, значительно превышает единицу. Все эти компромиссы можно количественно охарактеризовать в случае гауссовских процессов, для которых подробно теоретически изучены статистические характеристики классических спектральных оценок. Однако выбор конкретного метода спектрального оценивания в случае негауссовских процессов зачастую обосновывается только экспериментальными данными. Да и выбор функции окна очень часто основывается на данных экспериментальных, а не теоретических исследований.
Область применения .
Классические методы спектрального анализа применимы почти ко всем классам сигналов и шумов в предположении о стационарности. Вычислительная эффективность периодограммных и коррелограммных методов основана на использовании алгоритма Быстрого Преобразования Фурье. Недостатком всех методов спектрального анализа является искажения в спектральных составляющих по боковым лепесткам из-за взвешивания данных при помощи окна. Сравнение экспериментальных результатов с другими методами и характеристики взвешивающих окон приведены в соответствующем разделе.
Введение
Одна из причин применения параметрических моделей случайных и процессов и построения на их основе методов получения оценок спектральной плотности мощности обусловлена увеличением точности оценок по сравнению с классическими методами. Еще одна важная причина - более высокое спектральное разрешение. Далее рассматриваются следующие методы: метод Юла-Уалкера оценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок автокорреляционной функции, метод Берга оценивания авторегрессионных параметров по последовательности оценок коэффициентов отражения, метод раздельной минимизации квадратичных ошибок линейного предсказания вперед и назад - ковариационный метод, метод совместной минимизации квадратичных ошибок прямого и обратного линейного предсказания - модифицированный ковариационный.
Модель временного ряда (называемая модели авторегрессии-скользящего среднего в случае входной последовательности - белого шума), которая пригодна для аппроксимации многих встречающихся на практике детерминированных и стохастических процессов с дискретным временем, описывается следующим разностным уравнением:
Системная функция 
, связывающая вход и выход этого фильтра имеет рациональную форму:
Если в качестве входной последовательности использовать белый шум, то приходим к АРСС-модели. Спектральную плотность для АРСС-модели получаем, подставляя 
, что дает
, где
, 
, а 
- дисперсия
возбуждающего белого шума
В частных случаях для авторегрессионной модели и модели скользящего среднего получаем соответственно :
Геометрический алгоритм .
Ошибки линейного предсказания вперед и назад определяются соответственно следующими выражениями:
Рекурсивные выражения, связывающие ошибки линейного предсказания моделей порядков p и p-1, определяются простой подстановкой 
и 
в рекурсивное соотношение для авторегрессионных параметров:
Несложно показать, что коэффициент отражения обладает следующим свойством (является коэффициентом частной корреляции между ошибками линейного предсказания вперед и назад) :
Используя оценки взаимной корреляции и автокорреляции ошибок предсказания вперед и назад, получим :
Таким образом, геометрический алгоритм использует алгоритм Левинсона, в котором вместо обычного коэффициента отражения, вычисляемого по известной автокорреляционной функции, используется его оценка 
Окончательный вид выражений геометрического алгоритма :
, где n=1,2,..p-1
, 
, где 
Введение
Ключевой операцией в методах, основанных на анализе собственных значений, является разделение информации, содержащейся в автокорреляционной матрице или матрице данных, на два векторных подпространства - подпространство сигнала и подпространство шума. В этих подпространствах можно определять различные функции от векторов сигнала и шума для получения оценок частоты. Однако эти оценки не сохраняют мощность анализируемого процесса и, следовательно, не являются оценками истинной СПМ. Далее будет рассмотрен метод классификации множественных сигналов.
Основная формула практически всех методов оценивания частоты, основанных на анализе собственных значений имеет следующий вид:
, здесь
- собственные значения автокорреляционной матрицы, упорядоченные по степени их убывания; главные собственные вектора 
( 
), соответствующие собственным значениям 
.На собственные векторы 
натянуто подпространство шума матрицы 
и всем им соответствует одно и то же собственное значение 
. На главные собственные векторы 
натянуто подпространство сигнала матрицы 
.
Разложение автокорреляционной матрицы на собственные значения можно двумя способами использовать для получения спектральных оценок или, точнее говоря, улучшенных процедур оценок частоты. Сохранение одной лишь информации, соответствующей собственным векторам пространства сигнала, то есть формирование для матриц 
аппроксимации пониженного порядка, эффективно способствует увеличению отношения сигнал/шум, поскольку устраняет вклад мощности компонент подпространства шума. Этот факт лежит в основе процедур оценок частоты главных компонент (подпространства сигнала). Свойство инвариантных прямых подпространств (подпространств шума и сигнала) положено в основу процедур оценок частоты в подпространстве шума.
Особенности реализации
Для решения поставленных задач был разработан и реализован язык проектирования алгоритмов, включающий в себя средства межзадачного обмена данными, то есть построение распределенных по процессам вычислительных алгоритмов, определенные части которого исполняются параллельно несколькими процессам. Дальнейшим развитием этого подхода является построение сетевых распределенных схем алгоритмов. Существует большое количество приложений этого подхода.
Заключение
В данной работе :
1. Tеоретически проанализированы методы спектрального анализа, а также возможность применения этих методов в современных вычислительных системах для обработки данных в реальном масштабе времени.
2. Получены результаты поставленных экспериментов и на их основе выбран наиболее подходящий метод оценивания спектральной плотности мощности в аддитивной смеси комплексных синусоид и окрашенного стационарного шумового процесса для каждого из типов экспериментов, сформулированных в разделе экспериментальных результатов.
3. Дано описание и выполнена реализация схемы управления процессом обработки данных в реальном времени, использующая преимущества параллельной архитектуры вычислительных систем.
4. Cформулирован ряд требований по вычислительным ресурсам при реальной обработке, сделан анализ длины выборки данных при различном представлении входного сигнала.
5. Получены результаты по эксперименту вычисления характеристик окон и на их основе выбрано наилучшее решение в смысле разрешения (недостаточное качество разрешения по частоте в классических спектральных методах может быть улучшено исключительно выбором весового окна, а выбор параметров метода второстепенен по отношению к выбору окна) в каждом эксперименте по оцениванию спектральной плотности мощности тест-сигнала.
Приложени e А .
Приложени e I .
Список используемой литературы .
Тема : Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени .
Оглавление
Введение
Дата: 2019-07-24, просмотров: 231.
