Формирование алгоритма « Решение неравенств второй степени с одним неизвестным»

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Цель:

· выработать умение решать неравенства второй степени с одним неизвестным и системы квадратных неравенств.

Решение квадратных неравенств – это традиционно обособленная часть исследования свойств квадратичной функции. Например, задача о решении неравенства х²-5х+6<0 может быть переформулирована в задачу о нахождении промежутков, на которых функция у =х²-5х+6 принимает отрицательные значения, а это легко решается с помощью эскиза графика. Этот способ фактически является строгим обоснованием графического способа.

Метод интервалов является логическим продолжением решения квадратных неравенств. Он позволяет решать более сложные неравенства, у которых левая часть – многочлен любой степень, представляемый в виде простых множителей, или дробь, у которой числитель и знаменатель также многочлены, разлагаемые на множители.

В результате изучения темы учащиеся должны уметь:

· решать квадратные неравенства с одной неизвестной графически и методом интервалов

Специфические действия:

1. Привидение неравенства к квадратному виду.

2. Решение квадратных уравнений.

3. Построение графиков функций (схематично).

4. Выполнение тождественных преобразований.

5. Определение знака выражения на соответствующих промежутках.

6. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной.

«Ядерным» материалом темы является:

1. Понятия «< » , « > » неравенство, решение неравенства решение системы неравенств, равносильных неравенств;

2. Свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;

3. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной и решения системы неравенств.

4. Свойства графика квадратичной функции.

Рассмотрим работу с алгоритмом решения неравенств второй степени (графически) поэтапно. На первом этапе полезно актуализировать знания: нахождение корней квадратного трёхчлена, дискриминанта, изображение графиков квадратичных функций (схематично). После этого формулируем сам алгоритм. На втором этапе отрабатываем отдельные операции, входящие в алгоритм: изображение графиков функций, нахождение при каких значениях х функция принимает положительные, а при каких отрицательные значения. На третьем этапе применяем алгоритм при решении более сложных задач.

I. Введение алгоритма.

Рассмотрим введение алгоритма “решение неравенств второй степени с одним неизвестным” (графическим методом) с использованием обучающих самостоятельных работ.

1.Актуализация знаний

Обучающую самостоятельную работу проводим по новому материалу,

но перед этим повторим ранее изученные понятия, которыми придётся воспользоваться.

1. у у у

а) Куда направлены ветви параболы?

b) Пересекает ли парабола ось ох, если да то сколько раз?

с) При каких х парабола принимает положительные значения?

d) При каких х парабола принимает отрицательные значения?

2. Изобразите схематично график функции.

· у=х²+5х-6

· у=-х²+4х-4

· у=3х²+4х+8

· у=0,1х²+3х-6

3. Изобразите схематично параболу, которая на

· промежутке (-∞;-3] убывает, а на промежутке [-3;+ ∞) возрастает;

· промежутке (-∞;6] возрастает, а на промежутке [6;+ ∞) убывает;

4. При каких значениях х , функция принимает положительные значения

· f(x)=-x²+4x-2;

· f(x)=3х²+2х-1;

5. При каких значениях х , функция принимает отрицательные значения

· f(x)=-х²+4х-1;

· f(x)=4x²+2x-1;

2. Открытие алгоритма учащимися под руководством учителя .

После этого начинается работа с объяснительным текстом. Каждый ученик самостоятельно изучает этот текст. Это предполагает активную работу мысли ученика. Текст составлен таким образом, чтобы учащиеся в меру возможностей самостоятельно выводили формулы, находили нужные приёмы решения задачи.

Если в левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен, а в правой – нуль, то такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства

2х²-3х+1≥0, -3х2+4х+5<0 являются квадратными.

Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – найти все его решения или установить, что их нет.

Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, на которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Например, решим с помощью свойств графика квадратичной функции неравенство 2х²-х-1≤0

График квадратичной функции у=2х²-х-1 – парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдём точки пересечения этой параболы с осью ох, для этого решим квадратное уравнение 2х²-х-1=0. Корни уравнения х₁=1, х₂=-0.5

Следовательно парабола пересекает ось ох в точках х₁=1, х₂=-0.5

Покажем схематично как расположена парабола в координатной плоскости.

-0.5

Из рисунка видно, что неравенству 2х²-х-1≤0 удовлетворяют те значения х, при которых значения функций равны нулю или отрицательны то есть те значения х при которых точки параболы лежат на оси ох или ниже этой оси. Из рисунка видно, что этими значениями являются все числа из отрезка

[-0.5;1].

Ответ: -0.5≤х≤1

График этой функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знакомом неравенства, из рисунка видно, что:

1) решениями неравенства 2х²-х-1 < 0 являются числа интервала -0.5<х<1

2) решениями неравенства 2х²-х-1 > 0 являются все числа промежутков

х<-0.5 и х>1.

3) решениями неравенства 2х²-х-1 ≥ 0 являются все числа промежутков

х ≤-0.5 и х ≥ 1.

После работы с объяснительным текстом учащиеся получают «нулевые» задания. Они предназначены для самоконтроля и к ним предлагаются правильные ответы. Если ответы учеников не совпали с данными ответами, то придётся повторно прочитать объяснительный текст и снова выполнить «нулевые» задания, устранив ошибки.

1⁰Решите неравенства:

а) 4х²-5х+6х<0,2(10х²+15)

1. Приведите неравенство к квадратному виду .

2 Выясните имеет ли выражение, стоящее в левой части корни.

(Решите уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю.)

Заполните таблицу

Д>0

Д<0

Д=0

Количество корней

Найдите и отметьте корни на числовой оси (корни разбивают числовую ось на промежутки)

Изобразите схематично параболу

Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и запишите ответ.

Аналогично решите неравенства

b) х²+2х+1≥0 (Заполните таблицу)

c) -х²+х-1≥0 (Заполните таблицу)

Формулировка алгоритма.

2⁰. Сформулируйте этапы решения квадратных неравенств (графическим методом).

Ответы:

1. а)1<х<1.5

b) х – любое число;

c) нет решения.

2. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной (графическим методом)

1.Перенесите все слагаемые в левую часть и решите уравнения, приравняв выражение в левой части к нулю (найдите дискриминант квадратного трёхчлена, и выясните, имеет ли трёхчлен корни).

2. Если трёхчлен имеет корни, то отметьте их на оси абсцисс и через отмеченные точки проведите схематично параболу ветви которой направлены вверх при а>0 или вниз при а<0, если трёхчлен не имеет корней, то схематично изобразите параболу, которая расположена в верхней полуплоскости при а>0 или в нижней полуплоскости при а<0.

3. Найдите на оси ОХ промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси ох (если ах²+вх+с>0) или ниже оси ох (если ах²+вх+с<0).

4.Запишите ответ, взяв эти промежутки в объединение.

II Усвоение.

Составной частью работы с алгоритмом является система упражнений, предназначенных для осознания учащимися изучаемого материала, более глубокого его усвоения, формирования необходимых понятий. По ходу выполнения упражнений в задачах даются дополнительные разъяснения, а к наиболее трудным – ответы.

1. Приведите неравенства к квадратному виду

1) у²+5у²-3у>5(у+1)

2) 0.2(z+4)-0.8≥1.2z+2

3) 6+m²+m<m(2m²-6)

2.(устно) Используя график функции у=ах²+вх+с (см рис). указать, при каких значениях х эта функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значения равные нулю.

у у у

-3

3. Построить график функции f(x) (схематично). Определить по графику значения х при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения.

4.Решите графически неравенства

4. Найдите, при каких значениях х трёхчлен

· принимает положительные значения;

· принимает отрицательные значения;

5. Решите неравенства.

a) х²<16;

b) х²≥3;

c) 0,2х²>1,8;

d) -5х²≤х.

6.Найдите множество решений неравенств:

a) 3х²+40х+10<-х²+11х+3;

b) 9х²-х+9≥3х²+18х-6;

c)2х²+8х-111<(3х-5)(2х+6).

7. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

a) 4х²+12х+9≥0;

b) -5х²+8х-5<0.

III.Применение алгоритма

На этом этапе работы с алгоритмом задания предлагаются аналогичные рассмотренным, но с постепенным усложнением. В ходе решения учитель проверяет правильность понимания учащимися изученного вопроса, уточняет формулировки, разъясняет допущенные ошибки.

1.Решите неравенство.

3) 2x (3x-1)>4x²+5x+9

4) (5x+7)(x-2)<21x² -11x-13

2. Найдите общее решение неравенств х²+6х-7 ≤ 0 и х²-2х-15 ≤ 0

3.Докажите, что:

· х²+7х+1>-x²+10x-1 при любом х;

· -2х²+10х<18-2x при х≠3.

4. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть сторона, если площадь прямоугольника меньше 60 см².

5. Найдите область определения функции.

· у = 12х-3х²

· у = 1/ 2х²-12х+18

После того как учащиеся познакомились с графическим методом, предлагается метод интервалов – как ещё один из способов решения квадратных неравенств.

Формирование алгоритма решения квадратных неравенств с одним неизвестным (методом интервалов) можно осуществить аналогичным образом.

Алгоритм решения неравенства второй степени c одним неизвестным (методом интервалов).

1. Раскройте скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).

2. Перенесите все слагаемые в левую часть, приведите подобные члены (если нужно).

3. Решите уравнения, приравняв выражение в левой части к 0 (найдите дискриминант и выясните, имеет ли трёхчлен корни).

4.Найденные корни уравнения нанесите на числовую ось. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом, из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак.

5. Выберите на каждом из промежутков какое – нибудь значение (пробную точку) и определите знак выражения в этой точке.

6. Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и запишите ответ, взяв их в объединение.

1. Актуализация знаний

1. ах²+вх+с=0

1) Решите квадратное уравнение.

2) Разложите левую часть уравнения по формуле ах²+вх+с=а(х-х₁)(х-х₂), где х₁,х₂ – корни данного уравнения.

2.Найдите корни уравнения, разложите уравнение по корням, отметьте корни на числовой оси.

3.Разложите многочлен на множители

II Усвоение

1. Сведите следующие неравенства к квадратному.

2. Найдите при каких значениях х трёхчлен

· принимает положительные значения;

· принимает отрицательное значения;

3. Решите неравенства

4. Длина прямоугольника на 5 см. больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36см².

5. При каких значениях х функция у= - х² + 8х + 2 принимает значения больше 9.

6. Разложите многочлен на множители.

7. Решите неравенство методом интервалов.

8. Найдите область определения выражения.

9. Решите неравенство

III.Применение алгоритма

1. Решите неравенство.

2. Найдите общее решение х²+6х-7 ≤ 0 и х²-2х-15 ≤ 0

3.Решите систему неравенств.

4.Катер должен не более чем за 4 часа пройти по течению реки 22,5км и вернуться обратно. С какой скоростью относительно воды должен идти катер, если скорость течения равна 3км/ч.

5.Решите неравенство методом интервалов.

6.Решите неравенство.

Опытное преподавание.

Факультативное занятие в девятом классе (решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной).

Цель:

применить алгоритмический метод при формировании умений и навыков в решении линейных неравенствах с параметрами.

Задачи:

· расширить кругозор учащихся;

· воспитание внимания, аккуратности, самостоятельности;

· осуществление взаимосвязи теории и практики;

· развитие памяти, логического мышления.

Решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся. Причём часто учащиеся испытывают психологические трудности, «боятся» таких задач, так как не видят связи в их решении с решениями линейных неравенств с одной переменной.

Изучение линейных неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной не возможно без умения решать линейные неравенства с одной переменной. Так как факультатив проводился в 9 классе, а линейные неравенства изучались в восьмом классе, то возникла необходимость актуализировать знания по решению линейных неравенств, вспомнить этапы их решения. Ученикам можно предложить следующее задание.

Решите неравенство 2(х+5)-3≥4+3х

Все решают у себя в тетрадях, а один ученик решает у доски. Запись ведёт в два столбика. Решение в одном столбика, а в другом записывают пояснения к своим действиям.

2х+7≥4+3х Раскрыли скобки в обеих частях неравенства

2х-3х≥4-2 Перенесли слагаемые, содержащие переменную в одну

часть, а не содержащую в другую.

-х≥2 Привели подобные члены в каждой части.

х≤-2 Разделили обе части неравенства на коэффициент при

переменной (учитывая его знак !).

Отметили соответствующие промежутки на

координатной прямой.

х (-∞;-2] Записали числовой промежуток

После того как повторили этапы решения линейных неравенств с одной переменной, учитель предлагает на доске подробный разбор решения неравенства с параметром. Затем ученики вместе с учителем формулируют алгоритм решения линейных неравенств с параметром.

Пример 1. Рассмотрим решение неравенства (а-4)∙х<12

Чтобы найти х, обе части неравенства хочется разделить на (а-4). Однако теперь важно положительно, отрицательно или равно нулю выражение (а-4).

Определим знак выражения

(а-4)

Рассмотрим три случая:

a) а-4=0

b) а-4>0

c) а-4<0

1)если а-4=0 а=4, то неравенство примет вид 0х<12, которое справедливо для всех х R

2) a-4>0 a>4, то разделим обе части неравенства на положительное выражение (а-4), не меняя знак неравенства, получим х > (используем свойство числового неравенства).

3) a-4<0 a<4, то разделив обе части неравенства на отрицательное выражение и поменяв знак неравенства, получим х< .

Ответ:

если а=4, то х R;

если а>4, то х > ;

если а<4, то х< .

Таким образом, после разобранного примера учитель формулирует алгоритм, опираясь на знания и умения, учащихся о решении линейных неравенств с одной переменной.

1. Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).

2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую.

3. Привести подобные члены в каждой части и получить один из 4 видов неравенств А(а)х<B(a) (**) , А(а)х≤B(a), А(а)х>B(a), А(а)х≥B(a), где х- переменная, А(а) и В(а) – функции параметра а.

4. Рассмотреть три случая:

1) Найти а, при которых А(а)=0, подставить в неравенство(**) вместо параметра а найденные решения и решить соответствующие неравенства.

2) Найти а, при которых А(а)>0, разделить неравенство(**) на А(а), не меняя его знак.

3) Найти а, при которых А(а)<0, разделить неравенство(**) на А(а), поменяв его знак.

5. Записать ответ.

Пример 2. решить неравенство

-1

3-а∙х ≥ х

х+а∙х≤3

х∙(1+а)≤3

1) 1+а=0 а=-1

Подставляем в неравенство 0∙х≤3, х R.

2) 1+а>0 а>-1

х≤

3) 1+а<0 а<-1

x≥

Ответ: При а=-1, то х R;

а>-1, то х ≤ ;

а<-1, то x ≥ .

Пример 3.

х∙а² ≤ а+х х∙ (а²-1) ≤ а

1) а²-1=0 (а-1)(а+1)=0 а=1 или а=-1

-1

а = 1; а = -1; х∙0 ≤ 1 неверно

2) а²-1>0 а>1 или a<1, то x ≤

3) а²-1>0 a , то x

Ответ: а=1, то х R;

а= -1, то нет решения;

, то x ≤ ;

, то x .

Пример 4.

2а∙(а-2) ∙х а-2

1) 2а∙(а-2)=0 а=0 или а=2

а=0 х∙0 -2 верно

а=2 х∙0 0 неверно

2) 2а∙(а-2)>0 а ,

то х

3) 2а∙(а-2)<0 , то х

Ответ:

а=0, то х R;

а=2, то нет решения;

а , то х ;

, то х .

Пример 5.

(а²-9) ∙х а+3

1) а²-9=0

а=3 и а=-3

а=3 0х 6 верно;

а=-3 0х 0 верно;

2) ;

3) ;

Ответ:

а=3 , а=-3 то х R;

, то ;

Пример 6.

а²х-а ∙х > a-1 x∙ (a²-a) > a-1 x∙(a∙ [a-1]) > a-1

1) a∙ [a-1]=0 a=0 и а=1

а=0 0∙х>-1 верно

а=1 0∙х>0 неверно

2) ; х>

3)а ; х<

Ответ:

а=0, то х R;

а=1, то нет решения;

a , то х> ;

, то х< .

Пример 7.

а²∙х+4а∙х-а-4≤0

Ответ:

а=0 , а=-4 то х R;

, то ;

, то .

Пример 8.

Ответ:

a<-2 а=2, то нет решения;

а , то х < ;

, то х> .

Примеры для самостоятельного решения:

1)2∙а∙х+5>а+10∙x;

2)a∙x+x+1 <0;

3)x+1≤a∙x+a²;

4)a∙x+16≤a²-4∙x;

5)m∙x>1+3∙x;

6) ;

7) ;

8) (x-1) ∙ (a2-1)>5-4∙a;

9)b-3∙b+4∙b∙x<4∙b+12∙x;

Выводы:

Факультатив “Решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной” был проведён в 9 классе в школе №52 г. Кирова. Цель данного факультатива была достигнута. Применение алгоритмического метода позволило сделать изложение данной темы более доступным, учащиеся научились решать линейные неравенства с параметром осознанно.

Заключение

В ходе исследования были решены следующие задачи:

1) Изучена учебно-методическая литература по применению алгоритмического метода в школе;

2) Рассмотрены следующие вопросы, связанные с алгоритмическим методом: история возникновения алгоритма; определение алгоритма, его свойства, основные этапы алгоритмического процесса и классификация алгоритмов.

3) Разработана методика формирования алгоритмов “Решение алгебраических неравенств 1 и 2 степени с одним неизвестным”.

4) Показано как алгоритмический метод может применяться при решении линейных неравенств с параметром на факультативном занятии.

Литература

1. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. / Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др – М: Просвещение, 1999.

2. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского – М: Просвещение, 2002.

3. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др – М: Просвещение, 1991.

4. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского – М: Просвещение, 1996.

5. Алгебра: Учеб. Для 9 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др – М: Просвещение, 1992.

6. 4. Алгебра.8 класс./Под ред. Виленкина Н.Я.- М: Просвещение, 1997.

7. 5.Алгебра.9 класс./Под ред. Теляковского С.А.- М: Просвещение, 1994.

8. 6.Алгебра в 8 кл: Методическое пособие для учителей – М: Просвещение, 1977.

9. 7.Алгебра в 9 кл: Методическое пособие для учителей – М: Просвещение, 1978.

10. Бочарова О. Урок применения свойств линейных неравенств с одной переменной. // Математика в школе – 2002 - №7 – с. 40 – 42.

11. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.И. Математика: Учебник для 5 класса.- М: Мнемозина, 1999.

12. Галицкий М.Л., Гольдман А.Н., Завич Л.И. Курс алгебры 8-го класса в задачах- Львов: Журнал «Квантор», 1991.

13. Горбачёв В.И. Общие методы решения уравнения и неравенства с параметрами не выше 2 степени. // Математика в школе – 2000 - №2 – с. 61-68.

14. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства – М: Наука, 1971.

15. Богушевский К.С., Сикорский К.Л. Сборник задач по математике для повторения.: Пособие для учителей 5-8 классов средней школы –М: Учпедгиз, 1955.

16. Варпаховский К.М. Элементы теории алгоритмов.- М., 1997.

17. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – Киев

18. Ефремов Д.Н. Алгоритмы.- С.-Петербург, 1993.

19. Задачи по математике: Уравнения и неравенства: Справочное пособие. /Вавилов В.В. –М: Наука, 1988.

20. Здоровенко М.Ю.

21. Косовский М.А. Основы теории элементарных алгоритмов. - М.: 1987.

22. Королева Т. Математический тренажёр по алгебре для 7- 9 классов. // Математика в школе – 2001 - №8 – с.12-30.

23. Коровкин П.П. Неравенства М: Гос. изд-во технтко-теоретич. лит., 1951.

24. Кузнецова Л. Методические указания к теме “Неравенства ” // Математика в школе – 2002 - №6 – с.22-32.

25. Кривоногов В. Квадратные неравенства и уравнения. //Математика – 2002 - №3 (16-22 января) – с.15-19.

26. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. /Под ред. Лященко Е.И. - М: Просвещение,1988.

27. Ланда Л.Н. Алгоритмизация в обучении.- М.: Просвещение, 1966.

28. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 8 кл: учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева – М: Дрофа, 1998.

29. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 9 кл: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева – М: Дрофа, 1998.

30. Математика: Учебник для 5 класса/ Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф. - М.: Просвещение, 1994.

31. Методика преподавания математики в средней школе. /Под ред. Мишина В.И. – М.: Просвещение 1987. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. – М.: Просвещение, 1970.

32. Мордкович А.Г. Алгебра 8 кл. : Задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина , 2001.

33. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 8 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2002.

34. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Задачник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2000.

35. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2000.

36.Мордкович А.Г. Алгебра: Методическое пособие для учителей.- М: Мнемозина, 1997.

37. Невяжский Г.Л. Неравенства. : Методическое пособие для учителей. – М., 1997.

38. Психология. / Под ред. Ковалёва Л.И., Степанова М.П., Шабалина Г.Т.,

Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. – М.: Просвещение, 1970

39. Симонов А. Дидактические материалы для 8-9 классов с углублённым изучением математики. // Математика в школе – 2002 - №7 – с.5-10.

40. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней щколы /сост. Никольская И.Л. – М.: Просвещение, 1991.

Дата: 2019-07-24, просмотров: 343.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45