Формирование умений и навыков.

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Введение

Перед учителем математики всегда стоит вопрос: как учить детей, чтобы они не только получали знания, но и умели думать?

Школа должна подготовить учащихся к тому, чтобы в будущем они умели решать разнообразные, практические и теоретические задачи. Поэтому надо стараться формировать у учащихся достаточно общие методы мышления и деятельности, общие способы подхода к любой задаче. Алгоритм является одним из видов общих методов деятельности вообще, а не только деятельности умственной.

Понятие алгоритма пронизывает все области современной математики – от элементарной до высшей. И этот факт не может влиять на процесс обучения математики в школе. Привычка пользоваться алгоритмическими приёмами в практической работе становится требованием эпохи, мимо которого школа пройти не может. Поэтому применение алгоритмического метода становится актуальной темой сегодняшнего дня.

Цель выпускной работы: исследовать возможность применения алгоритмического метода при изучении неравенств в курсе алгебры 8-9 классов.

Задачи работы:

· изучить учебно-методическую литературу по теории алгоритмов и теории алгоритмизации обучения.

· выявить особенности применения алгоритмического метода в курсе алгебры 7-9 классов.

· применить алгоритмический метод при формировании умений и навыков в решении алгоритмических неравенствах 7-9 классов.

· разработать методику обучения алгоритмам: «Решение алгебраических неравенств первой степени с одной неизвестной» и «Решение алгебраических неравенств 2 степени с одной неизвестной».

Методы исследования:

ü изучение учебно-методической литературы.

ü наблюдение за процессом преподавания математики в средней школе.

ü опытное преподавание.

Часть 1.

Из истории алгоритмов

Для того чтобы понять, почему алгоритмизация играет столь важную роль в процессе обучения и является эффективным средством обучения математике, обратимся к родовому понятию «алгоритм».

Каждый раз как употребляется слово «алгоритм», мы произносим имя выдающегося средневекового учёного Мухамед ибн Муса ал - Хорезми (в переводе с арабского означает «Мухамед сын Мусы из Хорезма» сокращённо Ал - Хорезми, уроженец Хивы. Его творческая деятельность протекала в 9 веке главным образом в Багдаде, где в то время правил халиф Ал – Мамун, покровительствовавший в созданном им «Доме мудрости» своего рода академии наук.

В одном из своих трудов Ал – Хорезми описал десятичную систему счисления и впервые сформулировал правило выполнения арифметический действий над целыми числами и простыми дробями.

Ал – Хорезми стремился к тому, чтобы сформулированные им правила были понятными для всех грамотных людей. Достичь этого в 9 веке, когда ещё не была разработана математическая символика, было чрезвычайно трудно. Однако ал – Хорезми удалось выработать стиль чёткого, строго словесного предписания, который не давал читателю никакой возможности уклониться от предписанного или пропустить какие – нибудь действия.

В латинском переводе арифметического труда Ал – Хорезми правила начинались словами Dixit Algorizmi (Алгоризми сказал).

В других латинских переводах автор именовался Algorithmus (Алгоритмус). Постепенно люди забыли, что Алгоризм – автор правил, и стали эти правила называть алгоритмами. Так «Алгоризми сказал» преобразовалось в «алгоритм гласит».

Так научный термин это слово первоначально обозначало лишь правила десятичной системы счисления. Затем в течении столетий этот термин приобретает постепенно всё более широкий смысл, обозначая уже не только правила десятичной системы счисления, но любые точные правила действий.

Свойства алгоритма.

Алгоритм можно понимать и следующим образом, это точное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнять, чтобы решить любую задачу из данного класса однотипных задач.[16]

Объясним смысл этих слов

- что такое «точное предписание»?

Это означает, что предписание, задающее алгоритм, должно быть составлено так, чтобы его исполнение было однозначно осуществимо и не требовало никаких свободно принимаемых (исполнителем) решений, чтобы были однозначно определены последовательность действий, и результат. Кроме того, исполнителю должно быть ясно, какое из предписаний должно выполняться на следующем шаге. Это свойство называется определённостью или детерминированностью.

Например: В предписании, которым определяется ход некоторой игры, имеются такие указания:

1) Подойди к книжной полке, на которой стоят три книги.

2) Возьми книгу, стоящую в середине.

3) Открой её на странице, номер которой оканчивается цифрой 5.

4) Найди на этой странице первое слово.

5) Отметь в нём первую букву.

6) Если эта буква принадлежит к первой половине алфавите, то выполни с книгой действие А и на этом закончи свои действия.

7) Если эта буква принадлежит второй половине алфавита, то выполни с книгой действие В и закончи свои действия.

Если допустить, что все операции, указанные в этом предписании, являются достаточно элементарными и люди которым они адресованы, умеют эти операции производить, то это предписание всё–равно не будет алгоритмом, потому что в нём есть одно неопределённое условие - „открой книгу на странице, номер которой оканчивается цифрой 5 ”.

Процесс деятельности в целом, таким образом, также оказывается не полностью детерминированным, третье указание обладает неопределённостью, так как может быть выполнено по–разному.

- что означает «решить любую задачу из данного класса однотипных задач»?

Каждый алгоритм предназначен для решения не одной единственной задачи, а любой задачи из некоторого бесконечного класса однотипных задач. Алгоритм является единым методом, позволяющим по любому исходному объекту из определённого бесконечного множества объектов получить искомый результат. В этом состоит свойство массовости. Так, например, алгоритм деления чисел, применяем не только к числам 243 и 3 или 150 и 5, а к любым натуральным числом.

- «решить задачу» означает решить её за конечное число шагов. Это свойство называется результативность. Оно заключается в том, что алгоритм всегда направлен на получение некоторого искомого результата, который при надлежащих исходных данных всегда получается. Рассмотрим, например, алгоритм решения квадратного уравнения при помощи формулы корней.

a·x²+b·x+c=0 , где а≠0, b и c- любые действительные числа.

1. Вычислите дискриминанта по формуле Д= b²-4·a·c;

2. Если Д<0, то уравнение не имеет корней;

3. Если Д=0, то уравнение имеет два одинаковых корня х₁=х₂= ;

4. Если Д>0, то уравнение имеет два различных корня х₁=

и второй корень х₂= .

При соответствующих исходных данных любой ученик при верном выполнении шагов алгоритма получит искомый результат ( a = 1, b = 6, c = 5), то x₁= -5, x₂ = -1). Очевидно, что выполнение алгоритма может обрываться на втором шаге, если Д < 0, то мы делаем вывод, что уравнение с такими данными не имеет корней (например: а = 7, b = 5,c = 3,).

- в любом алгоритме для каждого шага (кроме последнего) можно указать единственный (при данном выборе исходных объектов), непосредственно следующий за ним шаг, то есть такой, что между ними нет других шагов. Поэтому говорят, что алгоритм обладает свойством дискретности.

Таким образом, из характеристики основных свойств алгоритма ясно, что алгоритм всегда представляет собой предписание о выполнении некоторой системы операций, но не всякое предписание о выполнении операций является алгоритмом. Алгоритм считается заданным, если однозначным образом указаны те действия, которые на каждом шаге должны быть произведены над объектом при всех его возможных состояниях, чтобы перевести его в требуемое состояние. При этом считается, что все возможные состояния объекта известны и предусматривают однозначные реакции решающего задачу на каждое из них [16].

В дальнейшем в нашей работе под алгоритмом будем понимать любое предписание, удовлетворяющее свойствам алгоритма.

Классификация алгоритмов.

Как и любое множество объектов, множество алгоритмов, можно классифицировать по различным основаниям. Для того чтобы выяснить, как обучить алгоритму, необходимо представлять цель применения данного алгоритма: преобразование объекта или его распознавание.

В курсе алгебры 7-9 классов большинство алгоритмов – вычислительные, а, следовательно, связаны с преобразованием тех или иных математических объектов.

Задача распознавания всегда является частной по отношению к задаче преобразования.

Таким образом, алгоритмы с точки зрения цели, достигаемой с их помощью, можно разделить на 2 типа: алгоритм преобразования и алгоритм распознавания. При этом алгоритмы преобразования включают в себя операции распознавания, а алгоритмы распознавания могут включать в себя операции преобразования.

Как отличить такие алгоритмы друг от друга? Это можно сделать лишь по характеру цели, которая ставится в процессе решения задачи с помощью алгоритма, по заключительному результату, получающемуся в итоге применения алгоритма.

Если таким результатом является суждение о принадлежности исходного объекта к некоторому классу, то данный алгоритм в целом является алгоритмом распознавания, в противном случае алгоритм представляет собой алгоритм преобразования.

Пример алгоритма распознавания посредством преобразования можно привести из области арифметики:

Например, для того чтобы определить (распознавать), делится ли некоторое число на 9, задача преобразуется: ищется сумма цифр числа. Чтобы определить число корней уравнения 5х²+6х+1=0 преобразуем задачу: найдём дискриминант уравнения. Д=36-20=16 Так как 16>0, то уравнение имеет 2 различных корня.

В любом процессе распознавания, который осуществляется путём преобразования, то есть с помощью некоторой конструктивной деятельности, важнейшей операцией является сопоставление преобразованного объекта с некоторыми признаками, заданными определением или каким-либо другим теоретическим утверждением.

Следует отметить, что в школьном курсе алгебры алгоритмам распознавания отводится гораздо меньше внимания, чем алгоритмам преобразования. Такой подход нецелесообразен. Подавляющее большинство действий человека применимо не просто к отдельным конкретным предметам, а к предметам как к элементам некоторых классов предметов, и поэтому гораздо целесообразнее вырабатывать формы поведения применительно к объектам как представителям целых классов. Только в этом случае появляется возможность переносить поведение с одного предмета на другой; не проходя каждый раз специальной стадии обучения. Но чтобы такой перенос поведения стал возможен, необходимо распознать, к какому классу принадлежит объект.

Одно ясно, что не осуществив процесса распознавания или распознав предмет ошибочно, учащиеся не могут осуществить его преобразование или оно будет неправильным.

Так, например, в методике математики выделяют три типа задач на проценты:

I. Нахождение процента от числа;

II. Нахождение числа по его проценту;

III. Нахождение процентного отношения;

Решение всех трёх типов задач можно свести работе с формулой аb=c, где

а – «всё», b – « процент, выраженный в десятичной дроби», c – «часть». В задачах I типа известны переменные a и b, и нужно найти с. В задачах II типа известны - b и с, нужно найти а. Следовательно, в задачах третьего типа известны - а и с, и нужно найти b. Для того, чтобы решить задачу на проценты, необходимо распознать к какому из трех перечисленных типов она относится.

Специальное обучение процессам распознавания, преобразования и выяснения возможностей их алгоритмизации выступает, поэтому как важная задача, решение которой имеет существенное значение для практики и теории обучения.

Формулировка алгоритма.

2⁰. Сформулируйте этапы решения квадратных неравенств (графическим методом).

Ответы:

1. а)1<х<1.5

b) х – любое число;

c) нет решения.

2. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной (графическим методом)

1.Перенесите все слагаемые в левую часть и решите уравнения, приравняв выражение в левой части к нулю (найдите дискриминант квадратного трёхчлена, и выясните, имеет ли трёхчлен корни).

2. Если трёхчлен имеет корни, то отметьте их на оси абсцисс и через отмеченные точки проведите схематично параболу ветви которой направлены вверх при а>0 или вниз при а<0, если трёхчлен не имеет корней, то схематично изобразите параболу, которая расположена в верхней полуплоскости при а>0 или в нижней полуплоскости при а<0.

3. Найдите на оси ОХ промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси ох (если ах²+вх+с>0) или ниже оси ох (если ах²+вх+с<0).

4.Запишите ответ, взяв эти промежутки в объединение.

II Усвоение.

Составной частью работы с алгоритмом является система упражнений, предназначенных для осознания учащимися изучаемого материала, более глубокого его усвоения, формирования необходимых понятий. По ходу выполнения упражнений в задачах даются дополнительные разъяснения, а к наиболее трудным – ответы.

1. Приведите неравенства к квадратному виду

1) у²+5у²-3у>5(у+1)

2) 0.2(z+4)-0.8≥1.2z+2

3) 6+m²+m<m(2m²-6)

2.(устно) Используя график функции у=ах²+вх+с (см рис). указать, при каких значениях х эта функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значения равные нулю.

у у у

-3

3. Построить график функции f(x) (схематично). Определить по графику значения х при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения.

4.Решите графически неравенства

4. Найдите, при каких значениях х трёхчлен

· принимает положительные значения;

· принимает отрицательные значения;

5. Решите неравенства.

a) х²<16;

b) х²≥3;

c) 0,2х²>1,8;

d) -5х²≤х.

6.Найдите множество решений неравенств:

a) 3х²+40х+10<-х²+11х+3;

b) 9х²-х+9≥3х²+18х-6;

c)2х²+8х-111<(3х-5)(2х+6).

7. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

a) 4х²+12х+9≥0;

b) -5х²+8х-5<0.

III.Применение алгоритма

На этом этапе работы с алгоритмом задания предлагаются аналогичные рассмотренным, но с постепенным усложнением. В ходе решения учитель проверяет правильность понимания учащимися изученного вопроса, уточняет формулировки, разъясняет допущенные ошибки.

1.Решите неравенство.

3) 2x (3x-1)>4x²+5x+9

4) (5x+7)(x-2)<21x² -11x-13

2. Найдите общее решение неравенств х²+6х-7 ≤ 0 и х²-2х-15 ≤ 0

3.Докажите, что:

· х²+7х+1>-x²+10x-1 при любом х;

· -2х²+10х<18-2x при х≠3.

4. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть сторона, если площадь прямоугольника меньше 60 см².

5. Найдите область определения функции.

· у = 12х-3х²

· у = 1/ 2х²-12х+18

После того как учащиеся познакомились с графическим методом, предлагается метод интервалов – как ещё один из способов решения квадратных неравенств.

Формирование алгоритма решения квадратных неравенств с одним неизвестным (методом интервалов) можно осуществить аналогичным образом.

Алгоритм решения неравенства второй степени c одним неизвестным (методом интервалов).

1. Раскройте скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).

2. Перенесите все слагаемые в левую часть, приведите подобные члены (если нужно).

3. Решите уравнения, приравняв выражение в левой части к 0 (найдите дискриминант и выясните, имеет ли трёхчлен корни).

4.Найденные корни уравнения нанесите на числовую ось. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом, из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак.

5. Выберите на каждом из промежутков какое – нибудь значение (пробную точку) и определите знак выражения в этой точке.

6. Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и запишите ответ, взяв их в объединение.

1. Актуализация знаний

1. ах²+вх+с=0

1) Решите квадратное уравнение.

2) Разложите левую часть уравнения по формуле ах²+вх+с=а(х-х₁)(х-х₂), где х₁,х₂ – корни данного уравнения.

2.Найдите корни уравнения, разложите уравнение по корням, отметьте корни на числовой оси.

3.Разложите многочлен на множители

II Усвоение

1. Сведите следующие неравенства к квадратному.

2. Найдите при каких значениях х трёхчлен

· принимает положительные значения;

· принимает отрицательное значения;

3. Решите неравенства

4. Длина прямоугольника на 5 см. больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36см².

5. При каких значениях х функция у= - х² + 8х + 2 принимает значения больше 9.

6. Разложите многочлен на множители.

7. Решите неравенство методом интервалов.

8. Найдите область определения выражения.

9. Решите неравенство

III.Применение алгоритма

1. Решите неравенство.

2. Найдите общее решение х²+6х-7 ≤ 0 и х²-2х-15 ≤ 0

3.Решите систему неравенств.

4.Катер должен не более чем за 4 часа пройти по течению реки 22,5км и вернуться обратно. С какой скоростью относительно воды должен идти катер, если скорость течения равна 3км/ч.

5.Решите неравенство методом интервалов.

6.Решите неравенство.

Опытное преподавание.

Факультативное занятие в девятом классе (решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной).

Цель:

применить алгоритмический метод при формировании умений и навыков в решении линейных неравенствах с параметрами.

Задачи:

· расширить кругозор учащихся;

· воспитание внимания, аккуратности, самостоятельности;

· осуществление взаимосвязи теории и практики;

· развитие памяти, логического мышления.

Решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся. Причём часто учащиеся испытывают психологические трудности, «боятся» таких задач, так как не видят связи в их решении с решениями линейных неравенств с одной переменной.

Изучение линейных неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной не возможно без умения решать линейные неравенства с одной переменной. Так как факультатив проводился в 9 классе, а линейные неравенства изучались в восьмом классе, то возникла необходимость актуализировать знания по решению линейных неравенств, вспомнить этапы их решения. Ученикам можно предложить следующее задание.

Решите неравенство 2(х+5)-3≥4+3х

Все решают у себя в тетрадях, а один ученик решает у доски. Запись ведёт в два столбика. Решение в одном столбика, а в другом записывают пояснения к своим действиям.

2х+7≥4+3х Раскрыли скобки в обеих частях неравенства

2х-3х≥4-2 Перенесли слагаемые, содержащие переменную в одну

часть, а не содержащую в другую.

-х≥2 Привели подобные члены в каждой части.

х≤-2 Разделили обе части неравенства на коэффициент при

переменной (учитывая его знак !).

Отметили соответствующие промежутки на

координатной прямой.

х (-∞;-2] Записали числовой промежуток

После того как повторили этапы решения линейных неравенств с одной переменной, учитель предлагает на доске подробный разбор решения неравенства с параметром. Затем ученики вместе с учителем формулируют алгоритм решения линейных неравенств с параметром.

Пример 1. Рассмотрим решение неравенства (а-4)∙х<12

Чтобы найти х, обе части неравенства хочется разделить на (а-4). Однако теперь важно положительно, отрицательно или равно нулю выражение (а-4).

Определим знак выражения

(а-4)

Рассмотрим три случая:

a) а-4=0

b) а-4>0

c) а-4<0

1)если а-4=0 а=4, то неравенство примет вид 0х<12, которое справедливо для всех х R

2) a-4>0 a>4, то разделим обе части неравенства на положительное выражение (а-4), не меняя знак неравенства, получим х > (используем свойство числового неравенства).

3) a-4<0 a<4, то разделив обе части неравенства на отрицательное выражение и поменяв знак неравенства, получим х< .

Ответ:

если а=4, то х R;

если а>4, то х > ;

если а<4, то х< .

Таким образом, после разобранного примера учитель формулирует алгоритм, опираясь на знания и умения, учащихся о решении линейных неравенств с одной переменной.

1. Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).

2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую.

3. Привести подобные члены в каждой части и получить один из 4 видов неравенств А(а)х<B(a) (**) , А(а)х≤B(a), А(а)х>B(a), А(а)х≥B(a), где х- переменная, А(а) и В(а) – функции параметра а.

4. Рассмотреть три случая:

1) Найти а, при которых А(а)=0, подставить в неравенство(**) вместо параметра а найденные решения и решить соответствующие неравенства.

2) Найти а, при которых А(а)>0, разделить неравенство(**) на А(а), не меняя его знак.

3) Найти а, при которых А(а)<0, разделить неравенство(**) на А(а), поменяв его знак.

5. Записать ответ.

Пример 2. решить неравенство

-1

3-а∙х ≥ х

х+а∙х≤3

х∙(1+а)≤3

1) 1+а=0 а=-1

Подставляем в неравенство 0∙х≤3, х R.

2) 1+а>0 а>-1

х≤

3) 1+а<0 а<-1

x≥

Ответ: При а=-1, то х R;

а>-1, то х ≤ ;

а<-1, то x ≥ .

Пример 3.

х∙а² ≤ а+х х∙ (а²-1) ≤ а

1) а²-1=0 (а-1)(а+1)=0 а=1 или а=-1

-1

а = 1; а = -1; х∙0 ≤ 1 неверно

2) а²-1>0 а>1 или a<1, то x ≤

3) а²-1>0 a , то x

Ответ: а=1, то х R;

а= -1, то нет решения;

, то x ≤ ;

, то x .

Пример 4.

2а∙(а-2) ∙х а-2

1) 2а∙(а-2)=0 а=0 или а=2

а=0 х∙0 -2 верно

а=2 х∙0 0 неверно

2) 2а∙(а-2)>0 а ,

то х

3) 2а∙(а-2)<0 , то х

Ответ:

а=0, то х R;

а=2, то нет решения;

а , то х ;

, то х .

Пример 5.

(а²-9) ∙х а+3

1) а²-9=0

а=3 и а=-3

а=3 0х 6 верно;

а=-3 0х 0 верно;

2) ;

3) ;

Ответ:

а=3 , а=-3 то х R;

, то ;

Пример 6.

а²х-а ∙х > a-1 x∙ (a²-a) > a-1 x∙(a∙ [a-1]) > a-1

1) a∙ [a-1]=0 a=0 и а=1

а=0 0∙х>-1 верно

а=1 0∙х>0 неверно

2) ; х>

3)а ; х<

Ответ:

а=0, то х R;

а=1, то нет решения;

a , то х> ;

, то х< .

Пример 7.

а²∙х+4а∙х-а-4≤0

Ответ:

а=0 , а=-4 то х R;

, то ;

, то .

Пример 8.

Ответ:

a<-2 а=2, то нет решения;

а , то х < ;

, то х> .

Примеры для самостоятельного решения:

1)2∙а∙х+5>а+10∙x;

2)a∙x+x+1 <0;

3)x+1≤a∙x+a²;

4)a∙x+16≤a²-4∙x;

5)m∙x>1+3∙x;

6) ;

7) ;

8) (x-1) ∙ (a2-1)>5-4∙a;

9)b-3∙b+4∙b∙x<4∙b+12∙x;

Выводы:

Факультатив “Решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной” был проведён в 9 классе в школе №52 г. Кирова. Цель данного факультатива была достигнута. Применение алгоритмического метода позволило сделать изложение данной темы более доступным, учащиеся научились решать линейные неравенства с параметром осознанно.

Заключение

В ходе исследования были решены следующие задачи:

1) Изучена учебно-методическая литература по применению алгоритмического метода в школе;

2) Рассмотрены следующие вопросы, связанные с алгоритмическим методом: история возникновения алгоритма; определение алгоритма, его свойства, основные этапы алгоритмического процесса и классификация алгоритмов.

3) Разработана методика формирования алгоритмов “Решение алгебраических неравенств 1 и 2 степени с одним неизвестным”.

4) Показано как алгоритмический метод может применяться при решении линейных неравенств с параметром на факультативном занятии.

Литература

1. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. / Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др – М: Просвещение, 1999.

2. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского – М: Просвещение, 2002.

3. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др – М: Просвещение, 1991.

4. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского – М: Просвещение, 1996.

5. Алгебра: Учеб. Для 9 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др – М: Просвещение, 1992.

6. 4. Алгебра.8 класс./Под ред. Виленкина Н.Я.- М: Просвещение, 1997.

7. 5.Алгебра.9 класс./Под ред. Теляковского С.А.- М: Просвещение, 1994.

8. 6.Алгебра в 8 кл: Методическое пособие для учителей – М: Просвещение, 1977.

9. 7.Алгебра в 9 кл: Методическое пособие для учителей – М: Просвещение, 1978.

10. Бочарова О. Урок применения свойств линейных неравенств с одной переменной. // Математика в школе – 2002 - №7 – с. 40 – 42.

11. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.И. Математика: Учебник для 5 класса.- М: Мнемозина, 1999.

12. Галицкий М.Л., Гольдман А.Н., Завич Л.И. Курс алгебры 8-го класса в задачах- Львов: Журнал «Квантор», 1991.

13. Горбачёв В.И. Общие методы решения уравнения и неравенства с параметрами не выше 2 степени. // Математика в школе – 2000 - №2 – с. 61-68.

14. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства – М: Наука, 1971.

15. Богушевский К.С., Сикорский К.Л. Сборник задач по математике для повторения.: Пособие для учителей 5-8 классов средней школы –М: Учпедгиз, 1955.

16. Варпаховский К.М. Элементы теории алгоритмов.- М., 1997.

17. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – Киев

18. Ефремов Д.Н. Алгоритмы.- С.-Петербург, 1993.

19. Задачи по математике: Уравнения и неравенства: Справочное пособие. /Вавилов В.В. –М: Наука, 1988.

20. Здоровенко М.Ю.

21. Косовский М.А. Основы теории элементарных алгоритмов. - М.: 1987.

22. Королева Т. Математический тренажёр по алгебре для 7- 9 классов. // Математика в школе – 2001 - №8 – с.12-30.

23. Коровкин П.П. Неравенства М: Гос. изд-во технтко-теоретич. лит., 1951.

24. Кузнецова Л. Методические указания к теме “Неравенства ” // Математика в школе – 2002 - №6 – с.22-32.

25. Кривоногов В. Квадратные неравенства и уравнения. //Математика – 2002 - №3 (16-22 января) – с.15-19.

26. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. /Под ред. Лященко Е.И. - М: Просвещение,1988.

27. Ланда Л.Н. Алгоритмизация в обучении.- М.: Просвещение, 1966.

28. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 8 кл: учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева – М: Дрофа, 1998.

29. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 9 кл: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева – М: Дрофа, 1998.

30. Математика: Учебник для 5 класса/ Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф. - М.: Просвещение, 1994.

31. Методика преподавания математики в средней школе. /Под ред. Мишина В.И. – М.: Просвещение 1987. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. – М.: Просвещение, 1970.

32. Мордкович А.Г. Алгебра 8 кл. : Задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина , 2001.

33. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 8 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2002.

34. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Задачник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2000.

35. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений – М: Мнемозина, 2000.

36.Мордкович А.Г. Алгебра: Методическое пособие для учителей.- М: Мнемозина, 1997.

37. Невяжский Г.Л. Неравенства. : Методическое пособие для учителей. – М., 1997.

38. Психология. / Под ред. Ковалёва Л.И., Степанова М.П., Шабалина Г.Т.,

Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. – М.: Просвещение, 1970

39. Симонов А. Дидактические материалы для 8-9 классов с углублённым изучением математики. // Математика в школе – 2002 - №7 – с.5-10.

40. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней щколы /сост. Никольская И.Л. – М.: Просвещение, 1991.

Введение

Задачи работы:

· изучить учебно-методическую литературу по теории алгоритмов и теории алгоритмизации обучения.

· выявить особенности применения алгоритмического метода в курсе алгебры 7-9 классов.

Методы исследования:

ü изучение учебно-методической литературы.

ü наблюдение за процессом преподавания математики в средней школе.

ü опытное преподавание.

Часть 1.

Из истории алгоритмов

Формирование умений и навыков.

Одной из основных образовательных целей обучения математике является овладение системой математических знаний, умений и навыков. Так как обучение применению алгоритмического метода невозможно без овладения определёнными умениями и навыками остановимся коротко на психологическом аспекте данного вопроса.

Человек выступает в жизни прежде всего как деятель, независимо от того, каким видом труда он занимается. Он творец и созидатель. В деятельности раскрывается богатство духовной жизни человека: глубина ума и переживаний, сила воображения и воли, формирующиеся или сформировавшиеся способности и черты характера.

Любой вид деятельности связан с движениями, независимо от того, будут ли это мускульно – мышечные движения руки при письме, при выполнении трудовой операции станочника или движения речевого аппарата при произнесении слов.

В деятельность человека всегда включены навыки и умения. В вопросе о том, какое место занимают умения и навыки деятельности: навыки ли предшествуют умениям или умения возникают раньше, существуют различные мнения. Причиной этих расхождений является многозначность понятия «умение» и многообразие видов деятельности.

Умением называют и самый элементарный уровень выполнения действий, и мастерство человека в данном виде деятельности. О первокласснике, закончившем изучение букваря, говорят, что он умеет читать. Взрослый тоже умеет читать. Если не учитывать разницы в знаниях, то между этими двумя «умениями» лежит многолетний путь упражнений, выработки навыков чтения. Это, безусловно, различные умения по их психологической структуре. Следует различать элементарные умения, идущие вслед за знаниями, и умения, выражающие ту или иную степень мастерства в выполнении деятельности, которые следуют за этапом выработки навыков.

Элементарные умения – действия, возникающие на основе знаний или в результате подражания. Умение – (мастерство) возникает в ходе выполнения деятельности, на основе уже отработанных навыков и знаний.

Когда дети начинают ходить в школу, они умеют держать карандаш, некоторые умеют писать элементы букв и целиком буквы, но у них нет навыка письма.

Квалифицированное выполнение деятельности предполагает овладение навыками выполнения отдельных действий. Навык – упрочившийся способ действия. В основе большинства навыков лежит развёрнутое, осознанное действие. Сложившиеся нервные механизмы вызывают ряд изменений в процессе выполнения действия.

Во - первых, в результате выработки навыка резко сокращается время выполнения действия.

Во – вторых, исчезают лишние движения: сила движения приходит в соответствие с задачей деятельности.

В – третьих, отдельные самостоятельные движения объединяются в единое действие.

В результате хорошо отработанных двигательных навыков повышается производительность труда, улучшается качество работы и уменьшается утомление человека.

Навык формируется в упражнении. Упражнение – это целенаправленное, многократное выполнения действие, осуществляемое с целью его усовершенствования.

В процессе упражнений определённым образом организуется деятельность. Навык нельзя выработать в один приём. Необходима более или менее длительная тренировка, распределённая во времени, чтобы навык достиг желаемого уровня совершенства и на нём удерживался. Упражнение не есть простое повторение действия. В упражнении совершенствуется вырабатываемый навык.

§3 Понятие алгоритма. Элементарная операция. Этапы алгоритмического процесса.

Под алгоритмом обычно понимают точное общепринятое предписание о выполнении в определённой (в каждом конкретном случае) последовательности элементарных операций (из некоторой системы таких операций) для решения любой из задач, принадлежащих к некоторому классу (или типу).[27] Элементарными считают те операции, которые может выполнить система в ответ на восприятие соответствующего указания.

К числу алгоритмов не относятся правила, что-либо запрещающие вроде: “Вход посторонним воспрещён”, “Не курить”, “Въезд запрещён”. Не относятся к ним и правила, что-либо разрешающие, такие как “Разрешена стоянка автотранспорта”, “Вход” и так далее. А вот - “Уходя, гасите свет”, “Идти слева, стоять справа” (на эскалаторе) это уже алгоритмы, хотя и очень примитивные.

Примером алгоритма может служить алгоритм сложения двух положительных и отрицательных чисел: чтобы сложить два числа.

1. Определите знак суммы по следующему правилу: если числа положительные или модуль положительного больше: поставь знак плюс, если числа отрицательные или модуль отрицательного больше, то поставь знак минус;

2. Найдите модуль суммы по следующему правилу: если числа одного знака: то сложи их модули, если нет, то вычти из большего модуля меньший.

Элементарные операции в этом алгоритме: определение знака числа, нахождение модуля числа, сравнение двух чисел, сложение и вычитание двух чисел.

Или, например, алгоритм нахождения разности квадратов двух выражений по формуле а²-b²=(a-b)·(a+b)

1. Найдите арифметический квадратный корень первого выражения.

2. Найдите арифметический квадратный корень второго выражения.

3. Запишите разность полученных выражений.

4. Запишите сумму этих выражений.

5. Запишите произведение разности и суммы полученных выражений. Элементарными здесь являются операции: извлечение арифметического квадратного корня, нахождение суммы, разности и произведения двух выражений.

Следует отметить, что на каждой ступени развития учащихся элементарные операции могут меняться. Например, извлечение квадратного корня сначала не являлось элементарной операцией. Для того чтобы операция стала элементарной, надо научить её выполнять так, чтобы при встрече учащихся со словами „извлеките квадратный корень из числа” они смогли её выполнить не задумываясь.

Открытие и формулирование алгоритмов стало одной из важнейших задач математики как науки. В процессе своего развития она стремилась искать общие алгоритмы решения задач, которые позволяли бы единым способом, (то есть посредством одной и той же системы операций) решать всё более и более широкие классы задач.

Самым же первым алгоритмом, с которым знакомится ребёнок, является, вероятнее всего, счёт на пальцах.

В начальной школе дети узнают алгоритмы арифметических действий: сложение столбиком, деление углом и другое.

С реализацией алгоритма, непосредственно связано умение, приложить его к конкретным исходным данным решаемой задачи. Такое применение называется алгоритмическим процессом. Он расчленяется на ряд самостоятельных этапов, каждый из которых предназначен для перевода данных из одного состояния в другое. Выделим эти этапы.

Дата: 2019-07-24, просмотров: 228.

12 3 4 5 Следующая ⇒