Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Неравенства используются в различных разделах математики, при решении важных прикладных задач.

Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символьном языке записываются важные задачи познания реальной действительности. Как в самой математике, так и в её приложениях с неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями. Тема “Неравенства” связана со всеми темами курса алгебры. Например, неравенства используются при изучении свойств функции (нахождение промежутков знакопостоянства функции, определение монотонности и др.)

До прихода в школу дети приобретают опыт в обращении с понятиями «больше», «меньше», «не равны». Поэтому пропедевтическое изучение неравенств должно осуществляться совместно с изучением уравнений.

С соотношениями «больше», «меньше» между числами и знаками этих отношений дети знакомятся уже в 1 классе при изучении чисел первого десятка. В начальной школе дети должны научиться сравнивать уже простейшие числовые выражения, например, такие как: а+3 и а+1.

В начальной школе начинается и решение простейших неравенств, хотя термины «решение неравенства» и «решить неравенство» ещё не вводится. Приведём пример задания, предлагаемого в начальной школе.

Записать несколько значений букв, при которых верно неравенство х<9.

В 5 классе изучается сравнение натуральных, десятичных дробей.

Например, сравните многозначные натуральные числа 3421 и1803

Результат сравнения записывается в виде неравенства с помощью

Знаков « > » и « < » .

В 6 классе для установления отношений «больше», «меньше» на множестве рациональных чисел вводится понятие модуля числа. В связи с этим рассматриваются неравенства вида |х|≤а, |х-b|<b, |х-a|≤b. Их решения осуществляются с помощью числовой оси. 

Тема “Неравенства” систематически изучается в 7-8 классах. В неё включены следующие разделы: «Числовые неравенства и их свойства», «Почленное сложение и умножение числовых неравенств», «Линейное неравенство с одной переменной», «Система линейных неравенств с одной переменной».

В 8 классе начинается изучение различных способов доказательства неравенств. С целью повышения доступности материала рассматриваются главным образом такие доказательства, которые ограничиваются методом сравнения с нулём разности левой и правой частей неравенств. В связи с решением линейных неравенств с одной переменной даётся понятие о числовых промежутках, появляются и вводятся соответствующие обозначения. При решении неравенств используются свойства равносильных неравенств, которые разъясняются на конкретных примерах. Особое внимание надо уделять отработке умения решать простейшие неравенства вида ах<b.

Формирование умений решать неравенства вида ах²+вх+с>0, где а≠0, осуществляется в 9 классе с опорой на сведения о графике квадратичной функции. Здесь учащиеся знакомятся с методом интервалов. Решают этим методом дробно – рациональные неравенства.

Следует особо остановиться на вопросе о равносильности неравенств, так как некоторые свойства числовых неравенств нельзя бездумно переносить на неравенства, содержащие переменную. Известно, что при добавлении к обеим частям числового неравенства любого числа, получаем новое неравенство, равносильное исходному. Но при добавлении к обеим частям неравенства какого – нибудь выражения может получиться неравенство неравносильное данному.   

При переходе к функциональным неравенствам учащиеся сталкиваются с двумя важными аспектами математического образования.  

Первый аспект состоит в геометрическом истолковании неравенств, которое делает все рассуждения предельно ясными. Однако нельзя забывать, что заключение делается не на основе чертежа, а путём анализа алгебраического выражения.

Второй аспект сводится к различным приёмам доказательства. Самый главный из них – рассмотрение разности между двумя частями неравенства. Но существуют и такие методы, как сведение доказываемого неравенства к равносильному, которое осуществляется заменой данных выражений обратным им, использование метода от противного и метода математической индукции.

Таким образом, неравенства являются наиболее компактным, легко обозреваемым и доступным для учащихся материалом, на котором отрабатываются сложнейшие математические методы.                                                                         Отметим ряд особенностей изучения темы:

1) Как правило, навыки решения неравенств формируются на более низком уровне, чем навыки решения уравнений соответствующих классов, так как теория неравенств сложнее теорий уравнений (при выполнении одного и того же числа упражнений техника решения неравенств какого – либо класса будет ниже, чем уравнений соответствующего класса; следовательно, если имеется необходимость формирования прочных навыков решения неравенств, то для этого требуется большее число заданий).

2) Большинство приёмов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства к уравнению и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства (темы, относящиеся к неравенствам, расположены после тем, относящихся к соответствующим классам уравнений).

3) В изучении неравенств большую роль играют наглядно – графические средства (изучение неравенств зависит от качества изучения функциональной линии школьного курса – построение графиков и графическое исследование функций).

 Рассмотрим введение алгоритма решения неравенств первой и второй степени с одним неизвестным.