Глава 1. Дидактические и психофизиологические основы математического развития дошкольников

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Белошистая А. В.

Б43 Формирование и развитие математических способностей дошкольников: Вопросы теории и практики: Курс лекций для студ. дошк. факультетов высш. учеб. заведений. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. — 400 с: ил.

Издание представляет собой курс лекций, в которых рассматриваются вопросы формирования и развития математических способностей дошкольников. Пособие отражает современное понимание преемственности математического образования дошкольников и младших школьников, возможности формирования компонентов учебной деятельности и развития познавательных процессов дошкольников. В нем освещены принципы отбора содержания курса дошкольной математической подготовки, вопросы методического анализа занятий и программ по математике, организации индивидуального подхода к ребенку при обучении математике.

В пособие включены вопросы частной методики формирования элементарных математических представлений дошкольников с позиций развивающего обучения, а также опыт организации соответствующих занятий.

УДК 373.2.016:51(075.8) ББК 74.102я73

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..............................................................................................................

Глава 1. Дидактические и психофизиологические основы математического развития дошкольников

Лекция 1. О цели предматематической подготовки дошкольников в русле идей развивающего обучения

Лекция 2. Преемственность между дошкольным и начальным звеньями системы образования

Лекция 3. Формирование преемственных компонентов учебной деятельности дошкольника и младшего школьника

Лекция 4. Обучение как целенаправленный процесс в дошкольном образовательном учреждении

Лекция 5. Психологические основы методической концепции математического развития
ребенка дошкольного возраста

Лекция 6. Взаимосвязь развития познавательных процессов и математических способностей
дошкольников

Глава 2. Основные понятия курса математики для дошкольников и особенности их формирования с точки зрения преемственных развивающих технологий

Лекция 7. Принципы отбора содержания курса «Математическое развитие дошкольников»

Лекция 8. Знакомство дошкольников с некоторыми понятиями нумерации целых неотрицательных чисел

Лекция 9. Методика знакомства дошкольников с двузначными числами

Лекция 10. Знакомство дошкольников с арифметическими действиями сложения и вычитания

Лекция 11. Подготовка дошкольников к обучению решению задач

.Лекции 12. Знакомство дошкольников с величинами

Лекция 13. Знакомство дошкольников с геометрическими понятиями

Глава 3. Развитие основных компонентов математического мышления дошкольников

Лекция 14. Формирование и развитие конструктивного мышления как средство развития пространственного мышления и математических способностей дошкольника

Лекция 15. Формирование и развитие логической сферы дошкольника

Глава 4. Профессиональная подготовка воспитателя к проведению занятия по математике

Лекция 16. Подготовка педагога к проведению занятия и планирование курса математического

развития в ДОУ

Лекция 17. Методический анализ занятия по математике

Глава 5. Реализация принципов личностно-ориентированного обучения в процессе математического развития ребенка дошкольного возраста

Лекция 18. Индивидуальная работа с ребенком как основа развития его личности

Лекция 19. Работа со способными к математике дошкольниками как методическая проблема

Лекция 20. Функции диагностики в дошкольном математическом образовании

Лекция 21. Математика как средство коррекции недостатков развития ребенка дошкольного возраста

Литература

ПРЕДИСЛОВИЕ

Необходимость систематической подготовки детей в дошкольных учреждениях к усвоению школьного курса математики явилась причиной введения обязательного курса «Формирование элементарных математических представлений дошкольников» в систему подготовки будущих педагогов-воспитателей дошкольных образовательных учреждений (ДОУ). Традиционная методика формирования элементарных математических представлений у детей, созданная А.М. Леушиной¹ и реализованная в пособии Л.С. Метлиной², а затем дополненная авторским коллективом под руководством А. А. Столяра³, была разработана в соответствии с типовой программой воспитания и обучения ребенка в детском саду.

¹ См.: Леушина А.М. Формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста. М., 1974. ² См.: Метлина Л.С. Занятия по математике в детском саду. М., 1985. ³ См.: Формирование элементарных математических представлений у дошкольников / Под ред. А.А. Столяра. М., 1988.

Учебное пособие А.М. Леушиной имело целью подготовить педагога к обучению детей первоначальным математическим знаниям и умениям, к пониманию математических взаимосвязей и взаимозависимостей, к формированию простейших математических понятий. Основной целью этого обучения являлась подготовка дошкольника к школьному обучению. «Работа по формированию у дошкольников элементарных математических представлений — важнейшая часть их общей подготовки к школе. В связи с переходом к обучению детей с шести лет внимание к этой работе должно быть усилено. Она начинается со второй младшей группы... Воспитатель заботится и о прочном усвоении детьми знаний, предусмотренных программой, и, что особенно важно, о развитии у них интереса к математическим знаниям, самостоятельности и гибкости мышления, смекалки и сообразительности, умения делать простейшие обобщения, доказывать правильность тех или иных суждений. Дети учатся кратко и точно отвечать на вопросы, делать выводы, пользоваться грамматически правильными оборотами речи»¹.

Учебное пособие под редакцией А. А. Столяра имело целью углубление теоретической математической подготовки воспитателя. «Педагог должен знать, не только как обучать дошкольников, но и то, чему он их обучает, т. е. ему должна быть ясна математическая сущность тех представлений, которые он формирует у детей»². Основной целью методики формирования элементарных математических представлений являлась «помощь в подготовке детей дошкольного возраста к восприятию и усвоению математики — одного из важнейших учебных предметов в школе»³.

Необходимость в разработке новых учебных пособий для студентов факультета дошкольной педагогики и педагогов — воспитателей по проблеме обучения дошкольников математике обусловлена принципиальными изменениями в подходах к воспитанию и обучению ребенка в ДОУ, происходящих как в теории, так и в практике работы воспитателя в современных условиях. В настоящее время в «Концепции содержания непрерывного образования (дошкольное и начальное звено)» отмечается, что характерной чертой системы дошкольного образования является широкое распространение вариативных программ, целью которых является реализация идей развивающего обучения.

¹ Метлина Л.С. Указ. изд. С. 3 . ² Формирование элементарных математических представлений... Указ. изд. С. 3. ³ Там же. С. 4.

При этом как выбор вариативной образовательной программы, так и задача ее реализации в русле идей развивающего обучения возлагаются непосредственно на воспитателя. В этой связи в «Концепции...» отмечается, что «происходящие в системе образования изменения показали неготовность значительной части педагогических кадров к осознанному выбору вариативной образовательной программы и ее адекватной реализации с учетом возможностей и потребностей детей».

Данная ситуация закономерна, поскольку в свое время будущие воспитатели прошли целенаправленную подготовку к работе по типовой программе обучения и воспитания ребенка в детском саду.

Появление вариативных образовательных программ, значительно отличающихся от типовой программы как содержательно, так и концептуально, потребовало от воспитателя умения работать с новым, непривычным содержанием (часто не входящим в объем математической подготовки воспитателя в вузе и педучилище), а также знания современных развивающих методик обучения математике в применении к дошкольному возрасту.

Главной целью подготовки педагога на современном этапе являются формирование и развитие у педагога творческого методического мышления, формирование самостоятельной аналитической деятельности, позволяющей провести теоретический анализ при выборе адекватной альтернативной программы в соответствии с учетом возможностей и потребностей своих детей, а также методологический анализ программы и ее дидактического обеспечения.

Не менее важной задачей является совершенствование знаний педагога об общих способах методической деятельности, которыми он может пользоваться при организации изучения различных математических понятий детьми дошкольного возраста, и знаний о специфике использования различных развивающих технологий при обучении математике дошкольников.

Данное пособие имеет целью познакомить студентов факультета дошкольной педагогики и психологии с возможными способами решения тех методологических задач, с которыми они неизбежно столкнутся в процессе практической работы по освоению различных уже имеющихся и тех, что будут появляться в дальнейшем, альтернативных программ дошкольного образования.

Так, в тексте «Концепции...» обозначено: «...серьезной проблемой является игнорирование создателями программ и учебных пособий закономерностей психического развития ребенка — сензитивности разных возрастных периодов к становлению тех или иных психических функций и новообразований, роли ведущей деятельности в их формировании». В связи с этим значительное место в пособии отведено обоснованию концепции математического развития ребенка дошкольного возраста.

За отправное положение данной концепции принята мысль о том, что целью дошкольной математической подготовки должно, главным образом, являться формирование и развитие математических способностей ребенка дошкольного возраста. Этот вопрос в традиционной методике формирования элементарных математических представлений является дискуссионным. Далеко не все педагоги сегодня считают необходимым реализовывать развивающее обучение уже на дошкольном этапе работы с ребенком. Целью же развивающего обучения является не столько формирование у ребенка определенного списка знаний, умений и навыков предметного характера, сколько развитие высших психических функций, его способностей и раскрытие внутреннего потенциала ребенка.

Нам представляется полезным познакомить студентов с некоторыми наиболее разработанными областями теории и практики математического развития ребенка младшего возраста, а также с опытом практической реализации рассмотренных теоретических идей.

Методика математического образования — развивающаяся наука, особенно бурным является ее прогресс в последние десятилетия, поэтому педагог должен уметь анализировать и осознавать свой опыт и необходимость его совершенствования в соответствии с обогащением науки и практики новыми теориями и методическими разработками.

Автор не ставил задачу дать исчерпывающую детальную характеристику той или иной методической проблеме с точки зрения классической методики обучения математике детей младшего возраста.

Существуют крайне разнородные взгляды не только на саму концепцию математического развития ребенка младшего возраста, но и на возможность построения этой концепции, на само понятие «математические способности», а также на проблему взаимоотношений теории и практики в образовательном процессе.

Один из возможных вариантов построения методической концепции математического развития ребенка — на основе имеющихся теоретических психологических концепций развивающего обучения — представлен в данном пособии.

Автор считает чрезвычайно важным очертить наиболее существенные аспекты поднятых проблем и вопросов с позиции развивающего обучения и личностно-деятельностного преемственного подхода к построению образовательного процесса в ДОУ.

Предлагаемое пособие будет содействовать улучшению качества методической подготовки студентов факультета дошкольной педагогики и психологии к осуществлению математического развития ребенка.

Пособие может быть использовано также преподавателями и слушателями ФПК и ИПК в их совместной работе по повышению качества профессиональной подготовки воспитателя ДОУ.

Лекция 1

О ЦЕЛИ ПРЕДМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ ДОШКОЛЬНИКОВ В РУСЛЕ ИДЕЙ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ

1. Математические знания в современном мире.

2. О цели предматематической подготовки ребенка с психологической точки зрения.

3. Традиционное математическое образование в ДОУ.

4. О приоритетных целях дошкольного образования в конце XX и начале XXI в.

Лекция 2

ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ МЕЖДУ ДОШКОЛЬНЫМ И НАЧАЛЬНЫМ ЗВЕНЬЯМИ СИСТЕМЫ ОБРАЗОВАНИЯ

1. Четырехлетнее обучение и кризис седьмого года жизни.

2. Преемственность как одно из условий непрерывного образования ребенка.

3. О построении системы взаимосвязанных образовательных звеньев.

4. О категории «готовность к школе» с педагогической и психологической точки зрения.

Лекция 4

ОБУЧЕНИЕ КАК ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫЙ ПРОЦЕСС В ДОШКОЛЬНОМ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОМ УЧРЕЖДЕНИИ

1. Образовательный процесс как процесс, ведущий развитие дошкольника.

2. Об образовательных программах.

3. Что результативнее при организации обучения: целевая направленность или свободная деятельность детей?

4. К вопросу о теоретическом обосновании построения процесса обучения на дошкольном этапе.

Рассмотрим современные взгляды на пути и способы организации образовательного процесса в ДОУ с целью реализации идей развивающего обучения.

Образовательный процесс как процесс, ведущий развитие дошкольника

Приведем еще три определения понятий, имеющих важное значение для понимания сути организации образовательного процесса¹.

¹ Усова АЛ. Указ. изд. С. 168

Научение — процесс и результат приобретения индивидуального опыта.

Обучение — процесс целенаправленной передачи общественно-исторического опыта; организация формирования знаний, умений и навыков.

Развивающее обучение — обучение, которое ведет к формированию все более и более внутренне расчлененных и иерархически упорядоченных когнитивных структур, к образованию все новых и новых элементов и увеличению связей между ними. (Под когнитивными структурами понимают структуры, определяющие творческое мышление индивида.)

Результатом научения является усвоение, в то же время усвоение есть форма психического развития маленького ребенка. «Психическое развитие детей, — пишет Д.Б. Эльконин, — происходит в форме усвоения. Все то, что появляется у детей в ходе их психического развития, в «идеальной» форме дано им в социальной действительности как источнике развития и может стать их достоянием только через усвоение»².

Таким образом, обучение можно рассматривать как процесс, ведущий развитие ребенка младшего возраста.

¹ Шаграева ОМ. Указ. изд. С. 277. ² Эльконин Д.Б. О структуре учебной деятельности // Избр. психологические труды. М., 1989. С. 212. ³ Обухова Л.Ф. Детская психология: теория, факты, проблемы. М., 1995. С. 250.

«Вне обучения, вне процесса передачи ребенку общественно выработанных способов действий вообще невозможно развитие, — отмечает Л.Ф. Обухова. — Обучение в ранних возрастах вплетено во все виды деятельности ребенка. К концу дошкольного возраста ребенок переходит от спонтанного типа обучения к реактивному типу обучения по программе, предложенной взрослым человеком, и очень важно сделать так, чтобы ребенок захотел сделать то, что хочет взрослый»³.

Таким образом, обучение должно носить организованный характер, причем функцию организации этого процесса выполняет взрослый.

В целях планомерного и систематического влияния воспитателя на детей в группе обучение в детском саду строится как организованный процесс и протекает в форме занятий с группой детей определенного возраста. Опыт работы детских садов более чем вековой истории показал необходимость создания программ обучения и достаточно убедительно раскрыл то, что целый ряд весьма существенных новообразований в психической и познавательной сфере ребенка-дошкольника (не говоря уже о знаниях и умениях) активно формируются у детей, посещающих детский сад, в результате целенаправленной работы педагога на занятиях.

2. Об образовательных программах

Сегодня по-прежнему актуальна проблема исследования оптимальных границ образовательного содержания программ для различных возрастов. Именно этим можно объяснить создание альтернативных программ, которые весьма значительно отличаются друг от друга в содержательном плане. Программа обучения в классическом понимании должна содержать точно очерченный круг знаний и умений, которыми должны овладеть все дети в группе в результате учебных занятий в детском саду. Именно в этом и кроется противоречие, разрешить которое пока не удается, поскольку расширение обязательного перечня в программе может привести к недоступности этой программы для большинства детей; резкое сужение этого перечня — к искусственному сдерживанию потенциала детей; а модная сейчас «уровневость» в перечне обязательных знаний и умений позволяет педагогу «кивать» на «недостаточный уровень природных способностей ребенка» и ориентироваться на то, что ребенок сам «возьмет», сколько может (принцип «мини-макса»). Такая позиция, на наш взгляд, в корне расходится с концепцией развивающей роли обучения в жизни ребенка, поскольку предполагает приспособление ребенка к программе, а не программы и методологии к ребенку (принцип природосообразности). Естественно, что второй подход поднимает еще одну глобальную проблему современной теории обучения — проблему разработки методологического обеспечения содержательной части программы. На наш взгляд, решение этой проблемы возможно только при учете иерархических взаимосвязей этого триединства: ребенок — методология — содержание. Попытки решить ее, исходя из анализа двух звеньев: ребенок (психологические особенности) и содержание (понятия и способы действий с ними), как раз и приводят к «уровневому» подходу в анализе результативности программы: кто смог -«взял», кто не смог — «не взял»; значит, у одного уровень обучаемости высокий, а у другого низкий; и если мы будем в своей деятельности ориентироваться на эти уровни как исходные, то возникает законный вопрос: где же при этом развивающая и формирующая роль педагога?

Перспективы дальнейшей работы над программой обучения в детском саду прекрасно определяются мыслью Л.С. Выготского, звучащей вполне современно: «Если задаться вопросом, каким требованиям должна удовлетворять программа детского сада для того, чтобы она была приведена в соответствие с особенностями ребенка дошкольного возраста, то ответ на него, мне кажется, будет звучать так. Эта программа должна обладать следующими двумя трудно соединимыми качествами. Во-первых, она должна быть построена по какой-то системе, которая ведет ребенка к определенной цели, каждый год делая определенные шаги по пути движения к этой цели. Эта программа должна быть сходной со школьной программой в том смысле, что она должна быть программой единого систематического цикла общеобразовательной работы. Вместе с тем эта программа должна быть и программой последовательности, которая отвечает эмоциональным интересам ребенка и особенностям его мышления...»¹.

¹ Выготский Л.С. Обучение и развитие в дошкольном возрасте // Умет венное развитие детей в процессе обучения. М., 1935. С. 20.

То, что эта цитата абсолютно адекватна требованиям к программе математического образования дошкольника, является неоспоримым положением. Однако то, что это положение систематически нарушается авторами различных программ математического образования, — явление столь же очевидное. Сегодня, как и в предыдущее столетие, содержание математического образования дошкольников определяется отнюдь не в соответствии с приведенным выше положением, а либо в соответствии с традицией формирования этого содержания, сложившейся еще во времена Фребеля и Лая¹ и определяющей цели математического образования ребенка как обучение счету и действиям с числами, либо в соответствии с диктатом программы следующего образовательного звена — начальной школы и необходимостью подготовить ребенка к изучению значительно расширенного и усложненного математического содержания.

Лекция 5

Лекция 6

Упражнение 1

Цель. Подготовить детей к последующей моделирующей деятельности посредством простых конструктивных действий, актуализировать счетные умения, организовать внимание.

Материалы. Счетные палочки двух цветов, фланелеграф с картонными моделями палочек у педагога.

Задание.

— Возьмите из коробки столько палочек, сколько у меня. Положите перед собой так же (II). Сколько палочек? {Две.)

— У кого палочки одного цвета? У кого разного цвета? Какого цвета у тебя палочки? (Одна — красная, одна — зеленая.)

— Один да один. Сколько вместе? (Два.)

Упражнение 2

Цель. Организовать конструктивную деятельность по образцу, упражнять в счете, развитие воображения, речевой деятельности. Материалы. Счетные палочки, фланелеграф. Задание.

— Возьмите еще одну палочку и положите ее сверху (II). Сколько стало палочек? Сосчитаем. (Три.)

— На что похожа фигура? (На ворота, на букву П). Кто знает слова, начинающиеся на П?

Дети говорят слова.

Упражнение 3

Цель. Развивать наблюдательность, воображение и речевую деятельность; формировать умение оценивать количественную характеристику видоизменяющейся конструкции (без изменения количества элементов); подготовка к правильному восприятию смысла арифметических действий.

Материалы. Счетные палочки, фланелеграф.

Задание.

— Верхнюю палочку переложите так: "Н Изменилось ли количество палочек? Почему не изменилось? (Палочку переставили, но не убрали и не добавили.)

— На что теперь похожа фигура? (На букву Н.) Назовите слова, начинающиеся на Н.

Упражнение 4

Цель. Формировать конструкторские умения, воображение, память и внимание.

Задание.

— Сложить из этих трех палочек разные фигурки.

Дети складывают фигурки и буквы. Называют их, придумывают слова. Кто-нибудь из детей обязательно сложит треугольник.

Упражнение 5

Цель. Формировать образ треугольника, первичное обследование модели треугольника.

Материалы. Счетные палочки, фланелеграф.

Способ выполнения. Педагог предлагает всем сложить такую фигуру: А

— Сколько палочек вам понадобилось для этой фигуры? (Три.) Кто знает, что это? (Треугольник.) Кто знает, почему он так называется? (Три угла.)

Если дети не могут назвать фигуру, педагог подсказывает ее название и просит детей объяснить, как они его понимают.

Педагог просит обвести фигуру пальцем, сосчитать углы (вершины), касаясь их пальцем.

Упражнение 6

Цель. Закреплять образ треугольника на кинестезическом и визуальном уровне. Распознавать треугольник среди других фигур (объем и устойчивость восприятия). Обводить и штриховать треугольники (развивать мелкие мышцы руки).

Материалы. Рамка-трафарет с прорезями в форме геометрических фигур, бумага, карандаши.

Примечание. Задание является проблемным, поскольку на используемой рамке есть несколько треугольников и фигур, на них похожих острыми углами (ромб, трапеция).

Задание.

— Найдите на рамке треугольник. Обведите его. Заштрихуйте треугольник по рамке. (Штриховка производится внутри рамки, кисть движется свободно, карандаш «стучит» по рамке.)

Упражнение 7

Цель. Закреплять визуальный образ треугольника. Распознавать нужные треугольники среди других треугольников (точность восприятия). Развивать воображение и внимание, мелкую моторику.

Материалы. Трафарет, бумага, карандаши.

Задание.

— Посмотрите на этот рисунок: Кошка-мама, кот-папа и котенок, каких фигур они составлены? (Круги и треугольники.)

— Кто нарисовал такой треугольник, какой нужен для котенка? Для кошки-мамы? Для кота-папы? Дорисуйте своего кота.

Дети дорисовывают, используя тот треугольник, который у них есть, т. е. у каждого получается свой кот. Затем они дорисовывают остальных кошек, ориентируясь на образец, но самостоятельно.

Педагог обращает внимание на то, что кот-папа самый высокий.

— Правильно поставьте рамку, чтобы кот-папа получился самый высокий.

Данное упражнение не только способствует накоплению у ребенка запасов образов геометрических фигур, но и развивает его пространственное мышление, поскольку фигуры на рамке расположены в различных положениях и, чтобы найти нужную, необходимо узнать ее в другой позиции, а затем повернуть рамку для ее рисования в такой позиции, которую требует рисунок.

Приведенные фрагменты занятий показывают способ построения взаимосвязанной системы заданий для формирования и развития сенсорных познавательных способностей на математическом материале. Очевидно, что деятельность ребенка в данном фрагменте является также организующей его внимание и стимулирующей воображение.

Перейдем к другой группе познавательных способностей — к интеллектуальным способностям. Как уже было сказано, в их основе лежит развитое мышление. Процесс развития мышления методически состоит в формировании и развитии обобщенных приемов умственных действий (сравнение, обобщение, анализ, синтез, сериация, классификация, абстра-гирование, аналогия и др.), что является общим условием функционирования самого мышления как процесса в любой области познания, в том числе и в математике. Безусловным является то, что сформированность умственных действий является абсолютной необходимостью для развития математического мышления, не случайно эти умственные действия именуются также приемами логических умственных действий. Их формирование стимулирует развитие математических способностей ребенка. Одним из самых значительных исследований в этой области явилась работа швейцарского психолога Ж. Пиаже «Генезис числа у ребенка»¹, в которой автор достаточно убедительно доказывает, что формирование понятия числа (а также и арифметических операций) у ребенка коррелятивно развитию самой логики: формированию логических структур, в частности формированию иерархии логических классов, т. е. классификации, и формированию асимметричных отношений, т. е. качественных сериаций. Классификация и сериация являются приемами умственных действий, формирование которых невозможно без предварительного развития у ребенка операций сравнения, обобщения, анализа и синтеза, абстрагирования, аналогии и систематизации.

Легко показать на приведенном выше фрагменте занятия, что каждое из приведенных упражнений одновременно «работает» также на формирование всех этих мыслительных приемов. Например, упражнение 1 учит ребенка сравнивать; упражнение 2 — сравнивать и обобщать, а также анализировать; упражнение 3 учит анализу и сравнению; упражнение 4 — синтезу; упражнение 5 — анализу, синтезу и обобщению; упражнение б — фактическая классификация по признаку; упражнение 7 учит сравнению, синтезу и элементарной сериаций.

Таким образом, математическое содержание оптимально для развития всех познавательных способностей (как сенсорных, так и интеллектуальных), приводит к активному развитию математических способностей ребенка.

Итак, взаимосвязь математических и познавательных способностей выглядит следующим образом (схема 2).

¹ Пиаже Ж. Генезис числа у ребенка. Женева, 1941.

Математические познавательные способности

Сенсорные

(восприятие: форма, размер, количество, пространственное расположение)

Интеллектуальные

(мышление: сравнение, обобщение, анализ, синтез, классификация, абстрагирование и др.)

Внимание, память, воображение (условия успешности)

Итак, суть вопроса организации внешних условий развити математических способностей ребенка возвращает нас к про блеме отбора адекватного математического содержания для занятий с детьми дошкольного возраста. Чем младше ребенок, тем больше необходимость того, чтобы он мог получать информацию об изучаемых объектах и их отношениях непосредственно через сенсорные каналы, причем наиболее важны в возрасте до 6-7 лет руки и глаза. Не случайно все, что воспитатель приносит на занятие, ребенок стремится хотя бы потрогать, а лучше — получить в собственные руки для манипулирования. Оптимальным для такого манипулирования является геометрический материал.

Количественная характеристика является опосредованной, для ее восприятия надо быть подготовленным к пониманию того, что эта характеристика есть и что она, как правило, не зависит от других свойств и качеств предмета (у мухи ног больше, чем у слона; а в Попугаях Удав не длиннее, чем в Мартышках, хотя Попугаев — 38, а Мартышек — 3). Иными словами, количественные характеристики объектов и явлений (и тем более отношения между ними) не являются воспринимаемыми ребенком непосредственно, а требуют специального предварительного обучения для адекватного восприятия и осмысления.

В предыдущей лекции мы уже останавливались на вопросах специфики математических характеристик предметов и явлений, на вопросах специфики математической символики. Сложность этих понятий часто не осознается даже воспитателями-практиками. Например, на вопрос, можно ли дать ребенку в руки число или показать детям число на занятии, часто можно услышать: «Да, можно». На вопрос: «Что именно вы покажете, знакомя ребенка с числом два? » — воспитатели часто отвечают: «Цифру 2» или «Два кубика» и т. п. Эти ответы показывают, что даже взрослый человек не всегда дифференцирует такие элементарные математические понятия, как число, цифра и множество. Правильное восприятие и адекватное понимание этих понятий требует предварительного специального обучения ребенка, однако это не означает, что нельзя заниматься математическим развитием малыша. Геометрический материал является полноценным математическим материалом, просто он менее привычен для традиционного восприятия взрослого в содержании обучения дошкольника, чем арифметический. С психологической и методической точки зрения геометрический материал намного удобнее при обучении дошкольника, поскольку воспринимаем сенсорикой и легко поддается наглядному (вещественному и графическому) моделированию. При этом любой геометрический объект имеет количественные характеристики, как воспринимаемые при минимальной подготовке ребенка (количество сторон, углов), так и позволяющие многократно возвращаться к анализу этих объектов с целью выявления новых численных характеристик (в дальнейшем в школе ребенок познакомится со способами измерения длин сторон и градусной мерой углов, способами вычислений периметров и площадей и т. д.). Например, в рассмотренном выше фрагменте занятия любая конструкция (конструктивная ситуация) имела количественную характеристику, но не требовала символизации (цифрового обозначения), хотя и могла ею сопровождаться. Этот же фрагмент занятия в символьном сопровождении мог бы быть предложен для проведения в старшей и даже подготовительной группе (естественно, при некоторой модернизации и усложнении содержания упражнений). Как видим, речь не идет о полном отказе от работы с количественными характеристиками объектов и отношений между ними, речь идет об изменении иерархии этой работы в соответствии с принципом природосообразности (т. е. в соответствии с психологическими особенностями усвоени детьми математических понятий), а также в соответствии с дидактическими принципами организации развивающего обучения.

Таким образом, перестроение методологической базы математического развития дошкольников на основе использования моделирования как ведущего способа и средства изучения математических понятий и отношений между ними требует определенного смещения акцентов в отборе и выстраивании содержательной основы этого процесса.

Глава 2

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КУРСА МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ДОШКОЛЬНИКОВ И ОСОБЕННОСТИ ИХ ФОРМИРОВАНИЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПРЕЕМСТВЕННЫХ РАЗВИВАЮЩИХ ТЕХНОЛОГИЙ

Лекция 7

Постановка проблемы

Вопрос о принципах отбора содержания курса математического развития дошкольников является традиционным для этой дисциплины. Любая методическая дисциплина отвечает на три основных вопроса:

1. Зачем обучать? — вопрос о целях и задачах обучения.

2. Чему обучать? — вопрос о содержании обучения в соответствии с поставленными задачами.

3. Как обучать? — вопрос о методологии и частных методиках обучения конкретным понятиям и способам действий с ними.

Первый вопрос рассматривался в лекции 1. Ответ на третий вопрос мы обсуждали в общем виде в лекции 4.

В этой же лекции постараемся сформулировать ответ на второй вопрос, который предполагает разработку принципов отбора содержания в соответствии с предложенной в данно курсе концепцией математического развития ребенка.

Математика как наука не изучает конкретные предметы ил явления в их непосредственном проявлении. Предметом ее изучения являются только количественные и пространственные характеристики изучаемых объектов, явлений, процессо с помощью специфических математических моделей, имеющих высокую степень абстрактности и общности. Если челове в состоянии построить какую-либо модель изучаемого предм та, процесса, ситуации, отношений и описать ее на математическом языке, значит, он обладает тем, что можно назватматематическим мышлением.

Очевидно, что задача развития такого вида мышлени должна решаться в процессе обучения математике. Отсюда еле дует, что с первых шагов обучения математике намного важнее так организовать учебный процесс, чтобы ребенок понимал, что математика — это лишь одна из условных моделей мира. Намного важнее учить ребенка определенным моделирующим действиям (умениям), чем конкретным предметным навыкам, так как только в этом случае он сможет впоследствии сознательно оперировать абстрактными математическими понятиями.

Модель помогает раскрыть смысл вводимых математических понятий посредством их образной подачи, а подключение резервов образного мышления к усвоению абстрактных математических зависимостей существенно облегчает усвоение и запоминание учебного материала, разгружает память детей, поскольку образ является более компактной единицей, чем цепочка знаковых преобразований или вербальных рассуждений. Психологические исследования показывают, что использование моделирования как способа и модели как средства обучения математике способствует не только формированию математических понятий у ребенка, но и развитию важных психических функций: внимания, памяти, восприятия, мышления.

Примерная программа курса «Математическое развитие дошкольников»

Содержание курса (программа) представляет собой перечень математических понятий и видов моделирующих (конструктивных) действий, в процессе выполнения которых дети усваивают эти понятия.

Младшая группа (от 3 до 4 лет) Примерный перечень представлений и моделирующих действий, которыми овладевают дети в процессе обучения математике

Геометрические понятия и отношения

Первичные представления о форме геометрических фигур (круглые треугольные, четырехугольные). Фигуры и тела (плоские и объемные) Простые задания на распознавание (выбор нужной фигуры из нескольких различных) и сравнение (выбор фигуры из похожих фигур). Выделение признаков цвета и формы фигур. Поиск одинаковых и похожих. Сериаций с геометрическими телами и фигурами. Конструирование геометрических фигур из различных материалов. Часть и целое: конструирование геометрических фигур из отдельных частей. Ориентировка в пространстве и на плоскости: ориентировка относительно себя, своего тела и другого объекта. Взаимное расположение фигур и предметов (над, под, за, перед, выше, ниже, внутри и снаружи).

Подготовка к формированию понятия числа

Сравнение предметов по различным признакам с постепенным выделением количественных характеристик. Сравнение множеств предметов способом установления взаимно однозначного соответствия. Знакомство с отношениями: больше, меньше, равно. Выделение одного, двух, трех предметов из группы по принципу числовой фигуры. Соотнесение слов числительных с соответствующими группами предметов (один, два, три...). Знакомство с количественным и порядковым счетом (до 5).

Символ числа — цифра.

Подготовка к формированию понятия числа

Сравнение предметов по различным признакам со словесным описанием сравнения. Сравнение групп предметов. Выделение одного, двух, трех предметов из группы по заданному признаку. Понятия: много—мало, столько же, несколько, одинаково, поровну.

Сравнение множеств предметов способом установления взаимно однозначного соответствия: больше, меньше, равно; больше на, меньше на. Способ сравнения путем пересчета элементов множества. Различные способы уравнивания множеств.

Предметная модель натурального числа. Количественная характера стика множеств. Счет предметов в различном направлении и пространст венном расположении. Понимание того, что последнее числительно относится ко всей группе предметов, а не только к последнему из них. Понимание того, что общее количество предметов в группе не зависит от размера, цвета, формы, расстояния между предметами.

Счет на слух, по осязанию, счет движений. Присчитывание и отсчиты-вание предметов по одному с называнием итога: «Сколько всего?», «Сколько осталось?»

Соотнесение числа с количеством предметов. Знакомство с цифрами. Соотнесение цифры, числа и количества.

Количественный и порядковый счет (до 10). Умение правильно отве тить на вопрос: «Который по счету?» Представление об упорядочении множества путем нумерации его элементов (правила счета).

Формирование динамичной модели состава чисел (в виде соотношения: целое — часть) для чисел 2, 3, 4, 5.

Подготовка к формированию представления об арифметическом действии

Связь между изменением количественной характеристики множества и предметным действием (изменением): объединение и добавление ведет к увеличению количества, выделение и изъятие части — к уменьшению количества. Способы уравнивания групп предметов путем увеличения количества предметов в меньшей группе или уменьшения их количества в большей группе. Сопровождение практических действий словами: добавил, стало больше, стало поровну, убавил, стало меньше.

Формирование представлений о величинах и их измерении Размер предметов. Понятия: большой — маленький, больше — меньше, одинаковые по размеру; высокий — низкий, выше — ниже, равные по высоте; длинный — короткий, длиннее — короче, равные по длине — на основе сравнения двух (нескольких) предметов, отличающихся одним или несколькими параметрами.

Способы сравнения (приложение, наложение, прикидка на руке). Понимание сходства и различия предметов по их размерам. Умение правильно использовать термины для обозначения размера предметов при их сравнении. Составление групп предметов с заданными свойствами.

Сравнение предметов по длине и массе на основе сенсорных и кине-стезических ощущений (прикладыванием, визуально, наложением, прикидкой на руке).

При сравнении свойств, поддающихся измерению (длина, масса, емкость), использование моделей-заместителей (меток) и различных мерок.

Сравнение длин прикладыванием и с помощью естественной мерки (шаг, локоть, ладонь) и условной мерки.

Формирование пространственных представлений

Ориентировка в окружающем пространстве: впереди, позади, перед, над, под, за и т. д. Установление отношений: выше — ниже, ближе —дальше, сбоку, на, следом и умение смоделировать эти отношения между объектами, используя заместители.

Ориентировка на плоскости листа.

Работа с объемными формами. Плоский рисунок объемного тела (фронтальный вид) и композиции объемных тел. Формирование временных представлений

Времена года. Названия сезонов и порядок их следования. Сутки. Время суток (утро, день, вечер, ночь). Наглядная модель времен года. Формирование умения решать конструкторские задачи

Конструирование по образцу, по заданию, по контуру, по модели и по рисунку из различных материалов. Конструирование предметных и сюжетных рисунков, аппликаций, орнаментов. Конструирование рисунков и аппликаций с опорой на контурную рамку.

Старшая группа (от 5 до 6 лет)

Примерный перечень понятий и моделирующих действий, которыми овладевает ребенок в процессе обучения

Подготовка к формированию понятия числа

Свойства предметов: цвет, форма, размер. Соотношение «одинаковые» — «разные» на основе практических упражнений, в сравнении предметов (одинаковые по одному признаку, разные по другому признаку). Составление групп предметов, одинаковых по какому-либо одному признаку и различных по другим признакам. Понимание смысла слов: каждый, все, остальные, кроме.

Сравнение множеств предметов способом установления взаимно однозначного соответствия: больше, меньше, равно; больше на, меньше на. Различные способы уравнивания множеств.

Счет по порядку. Соотнесение числа с соответствующим количеством реальных предметов, обозначение количества соответствующим числом. Порядковый и количественный счет в пределах 10 и более (по возможности).

Предметная модель натурального числа и отрезка натурального ряда. Число 0. Принцип построения натурального ряда чисел. Место числа в числовом ряду. Получение чисел путем присчитывания и отсчитывания по 1. Последующее и предыдущее числа. Сравнение чисел различными способами. Знакомство со знаком сравнения. Представление о бесконечности множества натуральных чисел.

Число и цифра. Соотнесение числа и цифры, цифры и количества обозначаемых ею предметов.

Состав чисел 2, 3, 4, 5 и более с опорой на динамичную модель числа [вида часть — целое).

Подготовка к формированию представлений об арифметических действиях

Связь между изменением количественной характеристики множества л предметным действием: объединение и добавление ведет к увеличению соличества, выделение и изъятие части — к уменьшению количества. Практические действия с предметами, раскрывающие сущность сложения 1 вычитания как подготовка к арифметическим действиям.

Обозначения этих действий знаками «+», «-». Смысл действий сложения и вычитания. Выполнение этих действий с опорой на предметную модель (способ получения результатов — пересчет).

Лекция 8

Этапы изучения темы «Числа в пределах 10». Примеры заданий

Прежде всего отметим, что с методической точки зрения изучение темы «Числа в пределах 10» целесообразно разделить на два этапа:

1-й этап (подготовительный): основное внимание уделяется формированию умения устанавливать взаимно однозначное соответствие между сравниваемыми множествами. Следует предлагать детям сравненивать равночисленные (эквивалентные) и неравночисленные множества путем установления взаимно однозначного соответствия, что постепенно подводит ребенка к пониманию смысла количественной характеристики множества, которую мы называем числом.

Приведем примеры заданий, которые воспитатель может использовать для всех возрастов, варьируя количество предметов от 5-6 для младшей и средней группы до 10 в старшей группе.

Упражнение 1

Материалы. Фланелеграф и картонные модели фигур. Способ выполнения. Педагог выкладывает на фланелегра-фе несколько фигур двух видов: кружки и квадраты. Задание.

Определить, чего больше, кружков или квадратов?

Фигурки надо выставлять на фланелеграф вразброс, чтобы ребенок сам понял необходимость установления взаимно однозначного соответствия и самостоятельно выполнил его любым способом, и их должно быть достаточное количество для того, чтобы ответ нельзя было дать сразу, опираясь на визуальное восприятие, без установления взаимно однозначного соответствия. Например, так:

Подобная ситуация необходимо выводит ребенка на п способа сравнения количественного состава множеств без ресчета элементов. Если в группе есть хорошо считающие до ти, то следует взять еще больше предметов и сделать их визу ально похожими, чтобы затруднить счет (например, сдела их разноцветными и т. п.). Работа на фланелеграфе удобна те что дети могут составлять пары любым образом — выстраив парные предметы напротив друг друга или расставляя пре меты произвольными парами:

При этом хорошо видно, что считать пары нет надобности оставшиеся без пары фигуры («лишние») покажут, каких бы ло больше (и на сколько больше).

Данные задания являются также базовыми для подготовка к пониманию ребенком смысла отношений «больше на «меньше на», «столько же».

К выводу «столько же» ребенок подведен самим процессо выполнения действий по образованию пар: если все фигур имеют пару, то их — равное количество: «одинаково», «круж ков столько же, сколько квадратиков»; если остались фиг ки без пары, то этих фигур больше, и больше именно на сталг ко, сколько осталось без пары.

Не следует форсировать или сокращать этот этап и старать быстрее перейти на способ сравнения множеств на основе п ресчета. Должно пройти достаточно времени, чтобы у ребен сформировался устойчивый стереотип правильных действи в подобных ситуациях и чтобы этот стереотип успел интериори зироваться, т. е. перейти во внутренний план действий, чтоб ребенок легко мог выполнять эти действия «в уме» и четко пред ставлял себе смысл и образ ситуации (т. е. легко образовыв пары в уме в любых заданных ситуациях).

Полезно предлагать детям уравнять сравниваемые множества.

Упражнение 2

Материалы. Фланелеграф и модели фигур Способ выполнения. Педагог предлагает предметную ситуацию.

□ □□□□□□□

О О о о о о

Задание. Как сделать, чтобы кружков стало столько же, сколько квадратов (квадратов столько же, сколько кружков)?

Уравнять эти множества можно двумя способами: убрать два квадратика или добавить два кружка. Понимание и «видение» вариантов выполнения такого задания поможет ребенку в дальнейшем без проблем справляться с простыми задачами вида «больше на», «меньше на», «на сколько больше?», «на сколько меньше? ».

Приведем примеры упражнений для младшей группы (3-4 года).

Упражнение 1

Цель. Подготовить ребенка к восприятию сравнения по типу «один к одному» (взаимно однозначное соответствие). Развивать координацию, соласованность движений рук, формировать соревновательную мотивацию и учить ребенка активному общению со взрослым, понимать словесную инструкцию и действовать по правилам.

Воспитатель играет с одним или двумя-тремя детьми. Он учит ребят прятать руки за спиной и одновременно с командой: «Один... Много...» выбрасывать их перед собой с соответствующим количеством пальцев. Играйте с детьми, пока им весело (1-2 мин). Постепенно воспитатель добавляет сравнение количества пальцев прикладыванием. Например, по команде «Много!» у воспитателя — три пальца, у ребенка — пять пальцев. Выиграл тот, кто «выкинул» больше. Проверяя, воспитатель поясняет ребенку, как узнать, у кого больше (прикладывает один палец к одному: у меня — больше нет, а у тебя еще два пальца осталось, значит, у тебя больше...).

Упражнение 2

Цель. Учить различать размер предметов, готовить к пониманию смысла взаимно однозначного соответствия при сравнении множеств. Развивать деятельность общения и учить действовать по инструкции. Учить самостоятельно проводить сравнение разнородных множеств по количеству.

Воспитатель, используя подходящие игрушки, разыгрывает с детьми сюжет: мама-гусыня привела гусят домой и кормит их обедом. На столе большие и маленькие миски (кукольный набор). Какую миску дадим маме-гусыне? {Большую.) Почему? (Она — большая.) Какую гусенку? (Маленькую.) Почему? (Он — маленький.)

— Маша, собери все остальные большие миски и поставь их в ш они не нужны маленьким гусятам.

— Ваня, помоги Маше. Где еще лишняя большая миска?

— Петя, возьми все маленькие миски для гусят. Дай каждому гус миску.

— Дети, всем гусятам хватило мисок? {Нет. Одному еще нужно.)

— Сколько нужно мисок? (Одна.) Вариант:

— Пришел папа-гусь (соседка-гусыня). Какую ему миску поста большую или маленькую? (Большую.)

— Сколько надо добавить больших мисок? (Одну.)

Упражнение 3

Цель. Готовить к пониманию смысла сравнения множеств с помощью взаимно однозначного соответствия. Устанавливать причинно-следствен ■ ную связь. Развивать мелкую мускулатуру руки, тактильную чувствитель ность и координацию.

Для организации упражнения необходимы таз с влажным песком и ку сок клеенки, дети на полу (на клеенке) делают «куличи» для гусыни и гусят, Пользуются большой и маленькой формами. При их изготовлении воспитатель помогает детям провести предварительное соотнесение размера и формы будущего «кулича»: из большой формы получится большой кулич для гусыни. Из маленькой формы получится маленький «кулич»—для гусенка,

— Какой кулич получится из этой мисочки? Из этой? Сделай, сравни их. Сколько надо больших куличей? (Один.) Маленьких? (Много.) Сделай каждому гусенку один кулич. Какому гусенку этот «кулич»? Этот? Этот?

Упражнение 4

Цель. Учить сравнивать предметы по цвету, сравнивать множества с помощью взаимно однозначного соответствия. Включать ребенка в сюжетное игровое взаимодействие с персонажами на основе принятия учебно-игровой задачи.

Воспитатель, используя подходящие игрушки, разыгрывает с детьми сюжет:

— Сегодня Мы снова играем с Мишей и Мишуткой. У Миши красный фартук (кепка, рубашка), у Мишутки — желтый. Миша любит все красное, Мишутка — все желтое. Разделите им игрушки.

Игрушки должны быть подобраны по цветам и оттенкам красного и желтого. Дети по очереди подходят и, выбирая подходящую игрушку, ставят ее возле медведя, объясняя свой выбор. (Мяч — красный. Это для Миши. Кегля — желтая. Это — для Мишутки.)

Затем подводится итог: почему у Миши этот мяч? (Потому что он красный. У Миши все игрушки красные. У Мишутки — желтые.)

А теперь медведи дадут игрушки детям: каждый — по одной. Воспитатель предлагает каждому ребенку взять одну игрушку у Миши, одну — у Мишутки.

Когда игрушки разобраны, ситуация анализируется. Подбор игрушек должен быть таким, чтобы у всех детей оказалось по две игрушки: красная и желтая — в этом случае делается вывод, что игрушек поровну.

Вариант. У последнего ребенка оказались две красных игрушки, и больше игрушек нет, значит, красных — больше (и наоборот).

Упражнение 5

Используя подходящие игрушки, воспитатель разыгрывает сюрпризную ситуацию: персонажи нашли коробку. В ней игрушки двух цветов: синие и зеленые. С этими игрушками выполняем действия, аналогичные предыдущему упражнению. Можно использовать любую другую пару кукол, обозначив цвета (синий и зеленый).

Вариант. У кого игрушек больше? Воспитатель показывает детям другой прием сравнения множеств по количеству: путем выкладывания парами. Не следует выкладывать игрушки в два ряда: один напротив другого — это может привести к тому, что ребенок будет оценивать не количество, а их пространственное расположение:

О О О О О

Выкладывайте хорошо опознаваемые пары:

После того как все пары определены, подводится итог: зеленые игру! > • ки закончились, а синие еще остались. Каких было больше?

Упражнение 6

Цель. Подготовить к восприятию смысла взаимно однозначного со<н ветствия при сравнении разнородных множеств.

Упражнение подобного типа можно провести с водой. Органинун игровую ситуацию, педагог просит ребенка налить воду в одинакошиЩ!! ведерки: для одно персонажа сделать ведерко легче, для другого — тял | лее. Воду наливать в два ведерка одной кружечкой, чтобы ребенок сам отмеривал количество воды для получения более тяжелого и более л§К| кого ведерка.

Вариант. Можно предложить ребенку подумать, как сделать ведерки одинаковыми по тяжести. Для этого не нужно уметь считать. Если реб§< нок догадается, что нужно наливать воду по очереди в каждое ведерко, м> он сможет самостоятельно сделать вывод: надо налить в них одинаково» количество кружек воды, тогда ведерки будут одинаковыми по тяжести.

Упражнение 7

Цель. Обучать установлению взаимно однозначного соответствия м« жду множествами.

Разыгрывается игровая ситуация «Гости». Ставим стол и стулья. (Если нет игрушечной мебели, можно использовать подходящие коробки.) Приходят гости (куклы). Дети рассаживают их на стулья, приговаривая: «Не один стул — одна кукла».

Воспитатель предлагает детям расставить на столе тарелки, чашки, разложить яблоки, произнося при этом:

— Каждому по одной тарелке. Тарелок столько же, сколько гостей.

— Каждому по одной чашке. Чашек столько же, сколько гостей.

— Каждому по одному яблоку. Яблок столько же, сколько гостей.

2-й этап — активное использование приема пересчета. Проводится с опорой на определение числа как характеристики класса эквивалентных множеств, т. е. их общего свойства, независимого от характера входящих в них объектов.

Полезны задания:

а) Что общего у данных множеств? Чем они похожи?

б) Выберите похожие множества. Чем они похожи?

В процессе выполнения таких заданий у ребенка постепенно формируется понятие о некоторой общей, абстрактной характеристике множеств разнородных объектов (предметов ) — количестве. Эту характеристику называют словом «число».

Символом числа является цифра. После знакомства ребенка с цифрами упражнения приобретают традиционный вид: «Найди число, соответствующее даньому множеству».

Следует помнить, что выполнение задания в таком виде предполагает умение считать;

Умение считать подразумевает: знание слов-числительных, знание их порядка при счете, понимание смысла процесса нумерации элементов множества, понимание того, что последний названный номер является характеристикой количественного состава множества, и умение соблюдать правила счета.

Как видно, большая часть нагрузки при освоении счета приходится на механическую память, т. е. процесс обучения счету в большой мере репродуктивен (опирается на память, а не на мыслительные операции). Для того чтобы ребенок не осваивал его на формальном уровне, на первых порах этот процесс следует обязательно сопровождать предметными действиями: откладыванием, показыванием, а также проговариванием вслух.

При формировании операции счета полезно такое задание. Посмотрите на круги на фланелеграфе:

а) Можно ли посчитать круги так, чтобы темный кружок
был третьим? Пятым? Седьмым?

б) Который пО счету темный кружок?

В традиционной методике, давая подобное задание, педагог обычно выстраивает модель так:

Вопрос формулируется следующим образом: «Который по счету темный кружок? Какой он по счету справа? Слева? и т. п.».

Чтобы ответить на поставленный таким образом вопрос, ребенку надо всего лишь вспомнить названия числительных по порядку. Смысл процесса нумерации предметов множества, процесса счета здесь не затрагивается и потому ребенком не осмысливается. Не случайно дети, незнакомые с приведенной выше формой упражнения, обычно спрашивают: «Ас какой стороны считать? » — и еще чаще пытаются сначала расположить предметы в ряд, будучи твердо убеждены, что считать их можно только в таком положении и причем единственным способом — слева направо.

Это показывает, что процесс счета сформирован у ребенка в «механическом» формальном виде, главные свойства операции счета и ее смысл ребенком не понят.

Следует помнить, что можно предлагать ребенку посчитать двойками, десятками и т. п., но нельзя говорить: «Посчитай от 10 обратно». Процесс счета «векторный», т. е. возможен по определению только в сторону увеличения номеров, и слово — числительное, названное при счете последним, является ответом на вопрос «Сколько?», т. е. характеризует количество предметов данной совокупности. Перечисление названий чисел в обратном порядке не является счетом.

Умение называть числительные в обратном порядке является базовым для обучения ребенка процессу отсчитывания, поэтому формировать такое умение необходимо, но формулировать задание следует в виде: «Назови числа в обратном порядке». (А не «посчитай»!) Таким же образом формулируются задания: «Назови числа от 6 до 9» и т. п. (А не «посчитай от 6 до 9».)

В период обучения счету для ребенка очень важна непосредственная работа руками с сосчитываемыми предметами. Желательно дать детям возможность прикасаться к сосчитываемым предметам, двигать их, составляя уже сосчитанную группу, или показывать пальцем на каждый сосчитываемый предмет. Это позволит формировать правильное представление о самом процессе на уровне кинестетики, на уровне «памяти ощущения».

Уже при запоминании правильной последовательности называния числительных полезно обращать внимание ребенка на изменение количественного состава сосчитываемой группы, показывая ее руками:

Четыре

Пять

При этом ребенок сначала проговаривает:

— Три да еще один — четыре.

— Да еще один — пять...

Затем речевое сопровождение заменяется только движением руки: либо «еще один» придвигается к сосчитываемому множеству (на столе), либо производится охватывающее движение руками новой совокупности (с «еще одним»). Эти приемы готовят ребенка к пониманию на уровне кинестетики основного принципа построения натурального ряда — каждое следующее число на единицу больше предыдущего.

Следствием этого принципа является идея бесконечности ряда натуральных чисел (как бы ни было велико число, всегда можно найти следующее, добавив к нему единицу), а также способ нахождения значений выражений вида 5 + 1,8 + 1; 6-1, 7 - 1 и т. п. путем называния либо следующего, л предыдущего числа. Иными словами, для нахождения зняч ния данных выражений нет необходимости выполнять какой то прием арифметических действий, достаточно понимать, чт добавление 1 ведет к получению следующего по счету числи, а убавление 1 — к появлению предыдущего по счету числи Именно для получения результатов в таких выражениях р#к' бенок заучивал наизусть названия чисел в прямом и обратном порядке.

Методическое выделение двух этапов при работе над темой «Числа в пределах 10» не означает, что первый этап необходи мо реализовывать на младшем возрасте, а второй — на старшем. Речь идет о необходимой последовательности заданий, которая может быть реализована как на серии тематически взаимосвязанных занятий, так и внутри одного занятия. Покажем, как может быть организована такая последовательность действий ребенка на серии взаимосвязанных упражнений (фрагменте занятия):

Младшая группа (3-4 года)

Цель занятий. Учить детей соотносить количественный состав множества с обозначающим его словом — числительным.

Фрагмент 1 .Упражнение 1

Цель. Развивать внимание и активизировать мыслительную деятель-
ность детей. Учить умению сравнивать предметы по самостоятельно вы-
бранному признаку «размер» и на этой основе производить классифика-
цию множества. _ч

Материалы. Две коробочки — побольше и поменьше, а также горсть пуговиц или камешков. Пуговицы (камешки) двух размеров: крупные и мелкие.

Задание. Разложить пуговицы в две коробочки.

— Как вы думаете, какие пуговицы нужно сложить в маленькую коробочку? В коробочку большего размера?

Способ выполнения. Педагог подводит детей к самостоятельному выбору основания для классификации, в данном случае — по размеру.

Упражнение 2

Цель. Учить соотносить слово — числительное с количественным составом множества.

Способ выполнения. Используя коробку с большими пуговицами, педагог играет с детьми в «Оладушки». Читая текст потешки, раздает играющим по одной пуговице, называя детей по имени.

Бабушка, бабушка Испекла оладушки. Один — Ванечке, Один — Мишеньке и т. д.

Затем пуговицы возвращаются в коробку (съели оладушки), при этом их можно считать (пока этот счет в устах педагога звучит для детей как еще одна приговорка: одна, две, три...).

Варианты. Детям раздают по 2, затем по 3 пуговицы в соответствии с текстом:

Бабушка, бабушка Бабушка, бабушка

Испекла оладушки. Испекла оладушки.
Ване — два, Ване — три,

Мише —два... Мише —три...

Каждому ребенку дают столько пуговиц, сколько он попросит:

Бабушка, бабушка Испекла оладушки. Ване? (Ребенок отвечает.)

— Три! Мише?

— Два! и т. д.

Фрагмент 2 . Упражнение 1

Цель. Формировать счетную деятельность, развивать конструктивные умения, восприятие и внимание. Формировать умение работать по образцу и по представлению.

Материалы. Счетные палочки.

Способ выполнения. Дети используют счетные палочки для воспроизведения сложенных педагогом на фланелеграфе фигурок (педагог использует узкие полоски бархатной бумаги вместо палочек).

Задание. Взять из коробочки одну палочку.

— Ваня, сколько у тебя палочек? (Одна.) А в коробке? (Много.)

— Возьмите еще одну папочку. Кто сосчитает, сколько у него пал (Две.) А в коробке? (Много.)

— Возьмите еще одну палочку. Сосчитаем палочки. (Педагог пом детям, подсказывая название числительного.) Сколько у Вани пал (Три.) У Пети? И т. п.

— Сложите из палочек такую фигурку:

Дети складывают фигурки, дают им названия или придумывают, на это похоже. Пусть каждый ребенок попробует сложить свою фигурку. К но складывать буквы и называть их. В этот раз дети работают только с мя палочками. Педагог обращает на это внимание детей:

— Чем похожи все-все наши фигурки? Вы заметили? (Все сложен трех палочек.)

Упражнение 2

Цель. Формировать счетную деятельность и развивать конструкт ные умения, восприятие и воображение. Формировать умение рабо по представлению.

Задание. — Сложите такую бабочку, как на карточке:

Материалы. Счетные палочки двух цветов и контурный рисунок на I точке, соответствующий размеру палочек. Карточка выдается каждому бенку.

Дети накладывают палочки на контурный рисунок и замечают, что палочек не хватает. Педагог помогает сосчитать, сколько еще нужно палочек.

— Возьмите из коробки еще три палочки.

Каждый ребенок достраивает свою бабочку, ориентируясь на схематический рисунок.

Упражнение 3

Цель. Развивать внимание, конструктивную деятельность и пространственное мышление.

Задание. Сложить рядом такую же бабочку, но красную.

Ребенок ориентируется на образец, но уже работает без контурной опоры.

— Кто сосчитает бабочек? Какую бабочку вы сложили? (Красную.)

— Теперь сложите такую же, но зеленую. Кто сосчитает бабочек? Какие у нас есть бабочки?

Упражнение 4

Цель. Развивать внимание, конструктивную деятельность, пространственное мышление, гибкость мышления и воображения.

Материалы. Фланелеграф, полоски бархатной бумаги вместо палочек для педагога, счетные палочки у детей.

Способ выполнения. Педагог предлагает образцы конструкций, перестраивая каждую на глазах детей, чтобы они видели, что количество палочек не меняется.

— Посмотрите, как я бабочку переделаю в домик (педагог складывает на фланелеграфе бабочку, а затем переделывает ее в домик):

— Сложите такой домик из папочек красной бабочки.

— Посмотрите, как я переделаю домик в щетку: I__ I ц!

— Сложите такую же щетку из палочек зеленой бабочки.

— Посмотрите, как щетку я переделаю в треугольник: /^Ч I

— Переделайте у себя щетку в такой треугольник. ^--

— Сколько оладушек поместится внутрь треугольника?

Педагог дает детям по очереди коробочку с пуговицами и предваряет работу вопросами:

— Как ты думаешь, две поместятся? Бери, пробуй. Есть еще место? Еще одна поместится? Две? Бери, пробуй...

Много поместилось? Больше двух? Больше трех?

Средняя группа (4-5 лет)

Цель занятий. Формировать понятие о равных совокупностях. Использовать различные способы образования равных совокупностей (взаимно однозначное соответствие и пересчет).

Фрагмент 1 Упражнение 1

Цель. Учить уравнивать множества с помощью установления взаимно однозначного соответствия.

Материалы. Фланелеграф и картонные модели фигур у педагога, лы или изображения сказочных героев.

Способ выполнения. На фланелеграфе выставлены две группы о ковых кругов двух цветов (8 и 10). Круги стоят так, чтобы затруднить ресчет для тех детей, кто умеет это делать.

Воспитатель, используя куклы, разыгрывает сюжет:

— Гунька й Незнайка поспорили, у кого ягод собрано больше. Решил проверить: взяли две корзинки и стали раскладывать — одну ягоду из Гунь киной кучки в корзинку Гуньке, одновременно с ним Незнайка кладет ягО ду из своей кучки в свою корзинку.

Рассказывая это, педагог выставляет кукол (рисунки), корзинки (коробочки) и раскладывает ягоды по корзинкам. Удобно пригласить ребенка — помощника (за Гуньку).

К концу рассказа на фланелеграфе возле Незнайки осталось два кружочка, а возле Гуньки — ни одного.

— Ну вот, — сказал Гунька, — ты посчитал, сколько у тебя ягод, Не знайка?

— Нет, — говорит Незнайка.

— А вы, дети, посчитали? Так как установки на подсчет не было, дети, скорее всего, тоже н

посчитали. Во всяком случае, большинство не считало. Гунька вдру «вспомнил», что он тоже не считал.

— Что же делать? — расстроился Гунька.

— Знаешь, я хоть и не считал, — говорит Незнайка, — но думаю, что у меня больше, чем у тебя, на две ягоды.

— Почему это у тебя больше, — возмутился Гунька, — ты же не считал, откуда ты знаешь?

— Как вы думаете, дети, почему Незнайка так решил? Проговаривается способ сравнения: в каждую корзинку положили по одной ягоде одновременно, значит в них ягод поровну, т. е. в одной столькоже, сколько в другой. Две оставшиеся ягоды означают, что в этой куче ягод было больше, так как им нет пары.

Упражнение 2

Цель. Учить устанавливать отношения «больше на...» и «меньше на...» с помощью взаимно однозначного соответствия.

Способ выполнения. Педагог продолжает разыгрывание сюжета. Поскольку Гунька «не верит» Незнайке, педагог просит детей расставить кружки на доске так, чтобы доказать Гуньке, что у Незнайки ягод больше.

— Как вы поставили круги? (Один под другим. Парами.)

— В каком ряду кругов больше? Меньше? На сколько больше в верхнем ряду? На сколько меньше в нижнем ряду?

Педагог обращает внимание детей на то, что считать фигурки для ответа на этот вопрос нет необходимости. Разницу показывает число фигурок, оставшихся без пары.

Упражнение 3

Цель. Уравнивать множества разными способами. Способ выполнения. Педагог продолжает развивать сюжет:

— Что надо сделать, чтобы кругов стало поровну (чтобы Гуньке не было обидно)?

Следует рассмотреть с детьми три варианта уравнивания:

а) два добавить в нижний ряд;

б) два убрать из верхнего ряда;

в) один из верхнего ряда переставить в нижний.

Варианты предлагаются детьми, педагог активизирует предложения:

— А по-другому можно?

Упражнение 4

Цель. Закреплять умение сравнивать множества установлением взаимно однозначного соответствия.

Материалы. Фигурки из «Дидактического набора», фланелеграф и картонные модели фигур у педагога.

Задание.

— Достаньте из коробочки («Дидактический набор») пять квадратов. Выложите их в ряд. Поставьте треугольников на два меньше. Если дети справляются, педагог спрашивает, обязательно ли было считать треу| ники? Если есть затруднения, выносит задание на фланелеграф и п гает выполнению наводящими вопросами.

— Поставьте ниже полукругов столько же, сколько треугольн Сколько их?

К этому времени два круга из каждого набора надо аккуратно р; лить пополам или добавить в набор четыре полукруга из плотного к; на (размер тот же), это нужно для новых конструктивных заданий.

Упражнение 5

Цель. Формировать конструктивные умения с использованием пг. ма сравнения множеств. Развивать внимание и воображение.

Способ выполнения. Педагог показывает детям аппликацию, орк тируясь на которую они складывают конструкцию.

Задание.

— Сложите из этих фигур такой же самолет: Гунька полетел на поиски Незнайки, который улетел на воздуш- ( О ( ном шаре... Каких фигур здесь одинаковое количество? Чего больше, треугольников или квадратов?

Упражнение 6

Цель. Формировать конструктивные умения с использованием при** | ма сравнения множеств. Развивать внимание, воображение и гибкость мышления.

Способ выполнения. Педагог показывает детям аппликацию, ориен тируясь на которую они перестраивают свою конструкцию в новую

— Самолет у Гуньки можно перестраивать. Долетел он до реки, пере« строил самолет в катер и поплыл по реке. Постройте катер. Какие фигуры остались лишние? (Три полукруга и два квадрата.) Уберите их в коробочку. Посмотрите на свой катер: о каких фигурах можно сказать словами «столько же»? (Квадратов столько же, сколько треугольников.)

Упражнение 7

Цель. Формировать умение распознавать геометрические фигуры, развивать пространственное мышление, мелкую моторику и двигатель-но-моторную координацию, внимание, воображение и восприятие.

Материалы. Альбомный лист, цветные карандаши, рамка с прорезями в форме геометрических фигур.

Задание. Используя рамку, нарисовать катер. Раскрасить по рамке.

Фрагмент 2 Упражнение 1

Цель. Обучать умению установливать взаимно однозначное соответствие для сравнения множеств без пересчета.

Материалы. Фланелеграф и картоннье модели фигур.

Способ выполнения. Педагог испольгует игровой сюжет:

- Жили в сказочном Цветочном городе два друга — Незнайка и Гунька. Вот такие домики были у всех жителей Цветочного города (на фланелеграфе собирается домик из двух деталей):

Это Незнайкин домик.

А это Гунькин домик.

Педагог выставляет на фланелеграфе еще 5-6 квадратов вразброс.

— Это — Знайкин домик, это — доктора Пилюлькина, это — Винтика и Шпунтика...

— Чего не хватает у домиков? (Крыш.)

— Сколько надо крыш для одного домика? (Одну.)

— Кто хочет «достроить» домики? (Треугольников красного цвета должно быть больше, чем выставленных «домиков».)

Дети и педагог наблюдают за «строителем».

— Скажи словами, что надо сделать, чтэбы получился домик? (На каждый домик поставить крышу.) Уточняем, что только одна крыша нужна одному домику.

Обычно дети не используют здесь пересчет. Выполняя задание, они ставят на домик крышу, пока есть свободные домики.

Упражнение 2

Цель. Обучать умению установливать езэимно однозначное соответствие для сравнения множеств без пересчета и с использованием пересчета.

Материалы. Фланелеграф и картонные модели фигур. Способ выполнения. Педагог выставляет оставшиеся «свободными» крыши.

— А теперь что нужно сделать, чтобы получились домики? (Каждой «крыше» добавить квадрат, будет домик.)

— Можете вы мне сразу сказать, сколько квадратов надо достать из конверта? (Остальные квадраты в конверте.)

— Что для этого надо сделать? (Сосчитать «свободные» кры четыре. Значит, квадратов надо четыре.)

Педагог отдает конверт ребенку и следит за действиями ребенка, лагая детям также наблюдать за действиями отвечающего: он д сначала достать указанное количество квадратов, а затем расставит «под крыши».

Упражнение 3

Цель. Обучать умению сравнивать множества путем образования П Материалы. Фланелеграф и картонные модели фигур. Способ выполнения. Педагог выставляет зеленые треугольники в роне от домов — это «кусты» (их девять).

— Решили веселые человечки посадить кусты возле домов, Незна говорит, что их хватит, а Гунька — что нет. Как вы думаете, хватит или хватит им этих кустов, чтобы посадить по одному кусту возле каждого мика?

Тот из детей, кто может использовать пересчет, пробует это сдела Задание рассчитано на то, что большая часть затруднится это сдел и возникнут разногласия.

— Что придется сделать, чтобы выяснить, кто прав: Незнайка или Гу ка? (Надо поставить возле каждого дома по одному кусту.)

После расстановки «кустов» педагог спрашивает:

— Ну что, получилось посадить возле каждого дома по кусту? (Не Одинаковое ли количество домов и кустов? Чего больше? Чего меньш Почему Петя уверен, что домов больше?(Одному дому куста не хватил значит, кустов меньше.) На сколько меньше? (На один.)

Модель убирается с фланелеграфа.

Упражнение 4

Цель. Установливать взаимно однозначное соответствие путем визу ального соотнесения элементов множества и путем пересчета.

Материалы. Фланелеграф и картонные модели фигур, «Дидактический набор» счетного материала.

Способ выполнения. Педагог использует игровой сюжет. Он выставляет на фланелеграф пять кружков.

— Возьмите из коробочки столько квадратов, сколько у меня кругов.

— Сколько у вас квадратов? (5) Это будут домики. Сколько крыш понадобится для этих домиков? (5)

— Возьмите из коробки сразу все нужные вам крыши. Покажите их мне на ладони, я посмотрю, правильно ли вы взяли. Достройте домики.

— Теперь надо посадить возле каждого домика елочку: ,/*,

— Сколько у нас домиков? (5) Сколько надо елочек? (5)

— Сколько треугольников надо на одну елочку? (2) Положите на ладонь два треугольника. Сколько из них получится елочек? (?) Положите на ладонь еще два треугольника. Сколько теперь получится елочек? (2) «Посадите» эти две елочки у домиков.

— Сколько еще надо елочек? (3) Положите на ладонь сразу столько треугольников, сколько вам понадобится для трех елочек. Покажите мне.

Наблюдая за детьми, педагог видит, кто понял смысл задания, кому надо индивидуально помочь наводящими вопросами, как это делалось выше.

— Можно ли сказать, что домиков столько же, сколько елочек? (Да.)

Елочек столько же, сколько домиков? (Да.)

Упражнение 5

Цель. Учить выделять равночисленные множества различными способами. Использовать умение устанавливать взаимно однозначное соответствие множеств в конструктивной деятельности.

Материалы. Аппликация или рисунок для анализа, «Дидактический материал» для конструирования.

Способ выполнения. Педагог показывает детям сюжетную аппликацию: «Незнайка летит на ракете». Можно кратко напомнить детям сюжет сказки для создания игровой атмосферы.

— О чем здесь можно сказать словами «столько же»? (Квадратов столько же, сколько треугольников.)

— Будем строить такую же ракету: Гунька полетел к Незнайке в гости. Возьмите столько же квадратов, сколько у меня на рисунке. Покажите мне на ладони. Сколько их? Поставьте, как нужно. Возьмите столько же треугольников. Покажите мне на ладони. Сколько взяли? Постройте (сложите) ракету.

Упражнение 6

Цель. Использовать умение устанавливать взаимно однозначное ответствие множеств в конструктивной деятельности (деятельности ко структивного рисования).

Материалы. Контурная рамка с геометрическими прорезями, ал ные листы, цветные карандаши.

Задание. Нарисовать такую же ракету, используя рамку. Закрасить р сунок по рамке.

Педагог оказывает детям помощь индивидуально, помогая двига и поворачивать рамку для рисования деталей в нужном положении.

Во всех приведенных упражнениях дети выполняют дейс вия с предметами и группами предметов, учатся замечать и выделять различные качества и свойства предметов и их совокуп" ностей, убеждаются в значимости этих свойств, постепенно учатся выделять количественные соотношения между множествами.

Выделенные количественные характеристики педагог учит детей соотносить со словом — числительным, обозначающим это количество.

Цифры. Примеры заданий

Знакомство детей с цифрами не представляет сложной методической проблемы, поскольку дети 3-4-летнего возраста легко запоминают символические изображения: буквы, цифры, знаки. Нет особой необходимости заучивать с детьми определенный объем символики наизусть в дошкольный период, но и искусственно отгораживать ребенка от нее тоже нет смысла, поскольку с изображениями цифр он сталкивается в повседневной жизни постоянно — от номера своей квартиры и телефона бабушки до номера нужного канала телевидения или автобуса и т. д. и т. п.

Цифра — это лишь символ, знак числа, и в этом ее главная роль. Ранняя символизация ради манипулирования символами не имеет смысла, если ребенок не понимает сущности процесса счета как процесса нумерации элементов пересчитываемого множества. Момент для знакомства детей с цифрами педагог определяет сам, когда видит, осознанно или нет дети считают (достаточно и счета до 3). Если это так, то уже можно знакомить детей с цифрами. Помните, что цифры — понятие вторичное, на формирование процесса счета умение различать цифры не влияет: считают предметы, а не цифры!

В связи с этим лучше не смешивать процесс обучения счету со знакомством с цифрами. При знакомстве с цифрами целесообразно помнить, что дошкольник не должен уметь писать цифры и тем более «вписываться» в клетки (это школьная задача). Умение узнать цифру и соотнести ее с количеством предметов — это вполне достаточный уровень подготовки к школе по любой программе. В связи с этим можно обозначить основные цели работы педагога при знакомстве детей с цифрами:

— научить детей узнавать образ цифры в различных изображениях (печатная цифра, письменная цифра, стилизованная цифра типа цифры на почтовом индексе и т. п.);

— научить детей соотносить слово — числительное и цифру. Полезно учить детей запоминать контур цифры не только

визуально (глазами), но и двигательно-осязательно (кинесте-зически). Для этого используют изображения цифр, вырезанные из мелкой наждачной бумаги, которые дети обводят пальцем по ходу письма цифры (последнее наиболее важно, поскольку не только готовит руку к письму цифр, но и формирует правильный мыслеобраз ее контура, помогающий освоить ее написание).

Приведем пример фрагментов занятий, цель которых — знакомство ребенка 3-4 лет с цифрами.

Фрагмент 1 Упражнение 1

Цель. Познакомить детей с изображениями цифр 1 и 2.

Материалы. Кубики, фишки, геометрические фигурки из картона или пластика, карточки и т. п. На них написаны цифры 1 и 2, а также разные значки, буквы, символы (10-20 шт.). На карточках, фишках и плоских фигурках цифры и другие знаки пишем с двух сторон, на кубиках — со всех сторон.

Примечание. Используется прием знакомства сразу с двумя цифрами, поскольку удобно организовать сравнение двух непохожих контуров, чтобы ребенок запоминал их «на контрасте». Поскольку цифры — это условные обозначения, принятые по соглашению, при знакомстве с их изображениями используется метод показа.

Задание. Найти цифру, которую педагог показал ребенку среди различных изображений:

— Вот цифра 1. Ее пишут, когда хотят обозначить только один предмс 11 один нос, один медведь... Найдите такую же цифру на кубиках и карточках, Сколько единиц Ваня нашел? Сколько Петя нашел? И т. п.

Вариант. Показывают детям сразу две цифры 1 и 2. Просят найти таи кие же.

Педагог просит детей показать среди предметов, используемых в упражнении, такие, которых только по одному. (Только один красный кубик. Только один зеленый треугольник.) Рядом с указанным детьми предметом педагог кладет карточку с цифрой 1. Можно предложить желающим детям сделать это.

— Найдите предметы, которых у нас по два. (Два больших синих треугольника. Два желтых кубика.) Рядом кладем карточку с цифрой 2.

Вариант. Если дети легко выделяют показанные им цифры, распознают их в любом положении (в том числе вверх ногами), можно показать им на этом же занятии цифру 3 и добавить упражнение на ее распознавание.

Упражнение 2

Цель. Закреплять представление о графическом образе цифры.

Материалы. Цифры, вырезанные из мелкой наждачной бумаги и приклеенные на картон.

Способ выполнения. Ребенку завязывают глаза и обводят его пальчиком цифру в той последовательности, как она пишется. Ребенок должен угадать цифру.

Сначала ребенок угадывает контур цифр 1 и 2, затем можно добавить цифру 3.

Упражнение 3

Цель. Закреплять навыки счета в пределах трех. Г~ I I У Материалы. Фигурки «Дидактического набора»: — '—' ^-—' Фигурки окрашены в три цвета: квадраты — красные, треугольники — зеленые, кружки — желтые.

Задание. Куклам, сидящим за столом, надо раздать «печенье» (фигурки) на тарелки.

Педагог просит одного ребенка раздать куклам по 1 «печенью», затем другого — по 2, по 3. Каждый раз гости «съедают» печенье, т. е. раздавать надо на чистые тарелки, приговаривая: «Мишке — два, Кате — два, зайцу — два» и т. д.

Вариант. Усложняя упражнение, педагог просит раздать: по два одинаковых, по два разных и т. д. При этом каждый ребенок самостоятельно выбирает фигурки из коробочки. Можно помочь ребенку, подсказывая: правильно, это два кружка. А что это? Правильно, два треугольника.

Если ребенок при этом учитывает не только форму, но и цвет, это прекрасно, если нет, то это — третий этап усложненного задания (все это не следует делать на одном занятии).

Упражнение 4

Цель. Учить соотносить цифры и соответствующее количество предметов.

Материалы. Фигурки «Дидактического набора», карточки с цифрами.

Способ выполнения. Продолжая сюжет предыдущего упражнения, педагог «за гостя» заказывает нужное количество «печений», кладя возле куклы карточку с цифрой. Дети должны положить рядом нужное количество фигурок.

Фрагмент 2

Цель занятий. Учить детей различать цифры 1,2 и 3; соотносить цифру и обозначаемое ею количество предметов.

Упражнение 1

Цель. Учить распознаванию графического образа цифры.

Материалы. Треугольники, квадраты и круги, на которых написаны цифры: 1,2,3 соответственно. Фигурки помещены в коробочку.

Способ выполнения. Педагог предлагает детям по очереди выбрать из коробочки фигурки с заданной цифрой.

— Петя, найди все единицы! Катя — все двойки. И т. п.

Игру можно оформить любым сюжетом, например: Мартышка, Слоненок и Попугай делят фигурки. Мартышке — с единицей, Попугаю —сдвойкой, Слоненку — с тройкой.

Задания предлагаются последовательно: сначала надо выбрать все 1, затем среди оставшихся фигур предлагаем другому ребенку найти все 2, затем 3. На этом этапе дети могут заметить, что тройки написаны на всех оставшихся фигурках, поэтому отбирать их специально не нужно.

Когда группировка выполнена, предлагаем ребенку, выполнявшему задание, вопрос: «Здесь у тебя все единицы, а что общего еще есть у этих фигурок?» (Это все треугольники.)

Если ребенок это замечает, рассматриваем следующие две группы, лая обобщение: «Это все кружки. Это все квадратики».

Другому ребенку предлагаем сделать это же упражнение (предвари тельно все смешав), но выбрать сначала тройки и т. д.

Интересно, если ребенок учел результаты предыдущей работы и с зу отобрал все кружки, зная, что только на них тройки и т. д.

Упражнение 2

Цель. Развивать конструктивные умения, учить соотносить ци< с обозначаемым количеством предметов.

Материалы. Фигурки из «Дидактического набора», фланелеграф, фигуры из картона для воспитателя.

Способ выполнения. Дети воспроизводят образцы конструкций, ориентируясь на фланелеграф. Педагог складывает на фланелеграфе «машину» (сопровождая процесс словами: квадратик, квадратик, кружок...).

Педагог ставит рядом с машиной карточку с цифрой 2 и предлага детям найти, каких фигурок здесь две? (Два кружка.)

Упражнение 3

Цель. Развивать конструктивные умения, пространственное мышление. Познакомить с названиями порядковых числительных.

Способ выполнения. Сопровождая сюжет игрушками или рисунками «Ежик» и «Зайчик», педагог дополняет конструкцию сюжета на фланелеграфе, делая паузу после каждой фигуры, чтобы дети повторили его действия:

— Ежик поехал в магазин за продуктами, а в домике остался его ждать Зайчик. Кто покажет, в какую сторону едет машина? (Ребенок пальцем показывает направление движения. Это направление определяется из конструкции машины. Не следует подсказывать детям решение этих маленьких конструктивных задач, пусть подумают самостоятельно.)

— Едет Ежик по лесу мимо елок:

— Покажите самую высокую елку, самую низкую

— Приехал в магазин:

— Купил хлеб, молоко, морковку, капусту, яблоки и поехал обратно. Покажите, куда он теперь едет? В какую сторону? Кто запомнил, что Ежик купил?

— Покажите большой домик, маленький домик. Давайте сосчитаем елки: первая, вторая, третья.

Педагог берет ребенка за руку и, показывая его пальцем на елки, называет порядковые числительные, побуждая всех детей повторять их названия (считаем в направлении от большого домика, так как движение машины идет в ту сторону).

— Кто хочет теперь сам сосчитать елки по порядку? Кто запомнил, как надо считать?

— Кто помнит, что Ежик привез из магазина?

Упражнение 4

Цель. Учить соотносить цифру с обозначаемым количеством предметов.

Материалы. Карточки с цифрами и фигурки «Дидактического набора». Способ выполнения. Педагог показывает детям карточку с цифрой (1, или 2, или 3) и предлагает показать на фигурках, сколько яблок (морковок) съел зайчик сразу, сколько положил в суп и т. п. И наоборот: выкладывая на фланелеграфе 2, 1, 3 фигурки (обозначающие морковки, яблоки и т. п.), предлагает детям найти и поставить рядом соответствующую цифру.

Как видно из приведенных упражнений, работа по формированию представлений о численных характеристиках предметов и множеств может удачно сочетаться с другими задачами предматематической подготовки ребенка: формированием пространственной ориентации, подготовкой к формированию представлений о величинах, об арифметических действиях и т. п. При этом математическое содержание выступает в данных текстах занятий не как материал для заучивания и запоминания ребенком словесных образов и определенных способов действий, а как средство развития познавательных процессов (внимания, восприятия, воображения, мышления), формирования активной познавательной деятельности малыша.

Становясь старше, ребенок уже может активно воспринимать содержательно более «нагруженные» познавательные блоки. В связи с этим перечень понятий расширяется, однако все они продолжают быть взаимосвязанными, позволяют при разработке занятия использовать вещественное моделирование как основу формирования математических представлений ребенка и являются преемственными с предыдущим содержанием обучения, а также с тем содержанием, которое предполагается к изучению на следующем возрастном этапе.

Приведем примеры занятий для разных возрастных групп, в которых работа с численными характеристиками и их символическим обозначением проводится на геометрическом материале.

Средняя группа (4-5 лет)

Цель занятий. Уточнять представление о геометрических формах; формировать умение определять численные характеристики множеств и обозначать их цифрой. Формировать классификационные умения.

Упражнение 1

Цель. Развивать восприятие и внимание. Уточнять представление о форме геометрических фигур.

Материалы. Конверты с геометрическими фигурами по форме фигур из рамки на каждого ребенка. Фигуры вырезаны из тонкого цветного картона. Счетные палочки. Карточки с рисунками флажков у педагога.

Способ выполнения. Педагог показывает карточки с флажками, дети должны сложить такие же. Для палочки можно использовать счетные палочки.

Карточки по одной выставляются на фланелеграф.

Упражнение 2

Цель. Учить определять количественную характеристику множества. Формировать счетные умения.

Способ выполнения. Педагог организует беседу:

— Сколько флажков в верхнем ряду? (4) В нижнем ряду? (4) Попробуем сосчитать все флажки. (8)

— Флажки в верхнем ряду считаем по порядку (хором). (Первый, второй....) Кто хочет посчитать сам?

Аналогично работаем со вторым рядом, предоставляя инициативу детям. Можно предложить желающим попробовать назвать порядковые номера в обратном порядке (это чисто мнемоническое действие хорошо удается детям с хорошей механической памятью).

Упражнение 3

Цель. Уточнять представление о треугольной и четырехугольной форме. Способ выполнения. Педагог организует беседу:

— Покажите флажки треугольной формы. Сколько их? (3) Кто может показать флажки четырехугольной формы? Сколько их? (4)

— Один флажок нельзя назвать ни треугольным, ни четырехугольным — он имеет округлую форму. Кто видит этот флажок?

Упражнение 4

Цель. Уметь производить классификацию по заданному признаку, ределять количественную характеристику объекта.

Способ выполнения. Дети сначала выполняют задание на столэ своими флажками, а затем на фланелеграфе.

— Переставьте флажки так, чтобы в верхнем ряду были все треуг ные, а во втором ряду все четырехугольные флажки. Флажок с ок лыми сторонами поставьте в третий ряд ниже. Кто сделает это на фла: леграфе?

Педагог показывает две карточки с числами 3 и 4 и предлагает де определить, к какой группе какая относится и почему.

Упражнение 5

Цель. Развивать восприятие, воображение, внимание и конструкт ную деятельность.

Способ выполнения. Дети выполняют задание, ориентируясь на зец. Педагог показывает на карточке контурный рисунок лодочки, д складывают ее из своих фигур.

Упражнение 6

Цель. Развивать зрительно-моторную координацию. Уточнять пр? ставление о форме геометрических фигур. Развивать воображение и пространственное мышление.

Материалы. Рамка с прорезями в форме геометрических фигур. Альбомные листы, цветные карандаши и восковые мелки.

Способ выполнения. На альбомном листе дети рисуют лодки с помощью рамки (карточки на фланелеграфе и на столах остаются в качестве образцов) и раскрашивают их. Затем восковыми мелками дополняют на рисунке фон: море, небо, облака, дорисовывают чаек.

Старшая группа (5-6 лет)

Тема занятий. Число и множество.

Цель занятий. Уметь производить классификационные действия, как основу соотношения числа и множества.

Упражнение 1

Цель. Учить самостоятельно выделять основание для классификации. Материалы. Фланелеграф, модели квадратов двух размеров одного цвета.

Способ выполнения.

— Разделите фигуры на две группы так, чтобы в каждой группе были похожие.

Примечание. Так как цвет фигур и форма одинаковы, то разделить можно только по размеру. Не следует подсказывать детям основание для классификации. Материал, организованный таким образом, сам является подсказкой, поскольку других вариантов нет.

Упражнение 2

Цель. Учить самостоятельно соотносить количественные характеристики множества и отдельной фигуры с их цифровыми обозначениями.

Материалы. Фланелеграф, фигуры, карточки с цифрами.

Способ выполнения. Из данных чисел выбрать число, которое подходит к каждой группе, и объяснить свой выбор: 2, 4, 3, 5, 7, 8.

Могут быть выбраны числа 3 и 5 {больших квадратов 3, маленьких — 5). Может быть выбрано число 8 {всего 8 фигур), число 4 (это все четырехугольники). Два последних числа подходят только ко всему множеству. Поэтому вопрос следует задать так:

— А теперь я снова все соединю в одну группу. Какое число подойдет ко всем квадратам (всему количеству)? (8) Мне кажется, что к ним еще подойдет число 4, как вы думаете?

Если дети замечают, что у всех квадратов 4 угла, то делаем обобщение:

— Какое же можно дать им всем название, кроме названия «квадрат»? ( Четырехугольник.)

Если дети этого не замечают, наталкивать их на обобщение не следует.

Число и цифра О. Десяток

Наиболее сложными понятиями в данной теме являются число и цифра 0.

Знакомство ребенка с нулем представляет отдельную м#"я дическую проблему, поскольку нуль не является натуральны* числом. При знакомстве с нулем нельзя ссылаться на счет п |им1 метов, невозможно выстроить предметную модель нуля. В тематике нуль определяют как символ пустого множест

Для знакомства с нулем можно использовать следую ситуацию.

Педагог выставляет на фланелеграф несколько изобр; ний любых предметов или фигур и просит детей обозначит количество цифрой. Затем ситуация изменяется: предм убираются или добавляются, при этом конечный результат же обозначается цифрой. В один из моментов педагог сни с фланелеграфа все фигуры и просит детей обозначить ци конечный результат. Поскольку на фланелеграфе не ост, ни одной фигуры, для обозначения пустого множества п добится цифра 0. В данной ситуации педагогу легко объяс ее появление необходимостью обозначить отсутствие п метов, подлежащих счету.

Вопрос о месте нуля среди других чисел является важ для правильного формирования представления о натураль ряде. В школе данный вопрос рассматривают после знакомо ва со всеми числами первого десятка и после того, как ребенок освоился с тем, что числа в ряду располагаются в определен" ном порядке, у каждого из них есть свое, четко определенн: место, которое не может меняться ни при каких обстоятельствах. Имеет смысл следовать той же методической последовательности и при изучении чисел с дошкольниками.

При этом не стоит располагать последовательность ци 0123456789 на стене группы для того, чтобы она часто попадалась на глаза ребенку. Ребенок фиксирует (запоминает) ряд в таком виде, будучи убежден, что нуль — первое число в ряду, т. е. что нуль — натуральное число. В дальнейшем этот стереотип бывает трудно преодолеть.

Вопрос о месте нуля в ряду чисел связывается с процессом построения количественной модели натурального ряда чисел. Построение этой модели возможно после того, как дети освоятся с процессом установления взаимно однозначного соответствия между множеством предметов, его численной характеристикой и цифровым обозначением этой количественной характеристики. Количественной моделью натурального ряда может служить, например, лесенка из кубиков, где каждая следующая ступенька содержит на один кубик больше, или любой счетный материал — палочки, кружки и т. п. В этой модели важна наглядность «с первого взгляда», т. е. здесь полезнее выстраивать такие модели, которые сразу позволяют увидеть, что разница между соседними группами составляет один предмет. Такие модели называют количественными моделями натурального ряда. Например:

1 2 3 4 5 6 7

При построении такой модели важно, чтобы ребенок понимал ее смысл и умел строить ее самостоятельно. Технология ее построения отражает принцип построения натурального ряда чисел: каждая следующая группа — это «столько же и еще один». Понимание этого принципа избавляет от постоянного утомительного пересчета элементов модели. Таким образом, понимание общего принципа построения натурального ряда делает сложные и громоздкие на первый взгляд моделирующие действия совсем простыми.

Опираясь на смысл этой модели, устанавливают место нуля в ряду чисел: поскольку его модель — это пустое множество, т. е. в нем нет ни одной фигурки, то это число можно поставить только перед числом один. В школе подтверждение этого дедуктивного (теоретического) вывода о месте числа нуль в ряду чисел ищут в операции сравнения чисел, для подтверждения чего сравнивают нуль с другими числами. Реально это можно сделать только после знакомства со знаком сравнения и всеми цифровыми обозначениями однозначных чисел, поскольку процесс сравнения чисел нужно записывать (ведь нуль никак не обозначишь соответствующим количеством предметов).

Лекция 9

Задания и упражнения, знакомящие дошкольников с двузначными числами

Все приведенные задания построены на основе общемето-дических закономерностей изучения данного понятия и ори ентированы на преемственность с современными вариантами школьного обучения, поэтому могут быть использованы во(И питателями при работе по любой программе математического развития дошкольников.

Приведем возможный вариант занятия на тему «Знакомство с десятком как счетной единицей», которое может быть использовано в любой программе, знакомящей детей старшей и подготовительной группы с этим понятием.

Тема занятия. Десяток

Цель занятий. Сформировать представление о десятке как счетной единице.

Упражнение 1

Цель. Активизировать внимание (объем и распределение внимания). Развивать зрительную память и речь. Подготавливать к знакомству с арифметическими действиями (количественное изменение ситуаций).

Способ выполнения. Игра «Внимание». На фланелеграфе выставляется несколько фигурок (это могут быть геометрические фигуры, цифры, буквы и любые другие изображения): 7-10 шт. Используя любую игровую ситуацию, педагог снимает или переставляет местами фигурки (1-3) так, чтобы дети не видели, что именно изменяет в наборе педагог. Затем детям предлагается восстановить первоначальную картину, вспомнить, что пропало, изменилось и т. п. При этом дети могут ссылаться на счет, расположение фигур и т. д.

Упражнение 2

Цель. Организовать внимание, активизировать мышление (анализ, сравнение и обобщение), а также развитие словесно-логического мышления (озвучивание и объяснение своих размышлений ребенком).

Задание. Найти лишнюю фигурку в каждом ряду и объяснить свой выбор:

а)

б)

Упражнение 3

Цель. Знакомить с десятком. Материалы. Счетные палочки. Задание.

— Положите на столе перед собой 9 палочек. Добавьте одну палочку. Сколько стало? (Десять.) Возьмите все палочки в пучок и перетяните резинкой (педагог раздает детям резинки).

В пучке десять палочек, и такое количество часто называют «десяток». Записывают так: 10. Эта запись означает, что взят один десяток. Цифра 1 обозначает количество десятков, а цифра 0 как бы показывает, что все отдельные единицы, из которых он состоит (у нас это палочки), скреплены резинкой.

Примечание. Используемая модельная интерпретация, конечно, весьма условна и «приземлена», но хорошо схватывается ребенком и не противоречит теоретическому смыслу понятия «десяток». Наследующем году обучения (в школе) при активной работе с двузначными числами ребенок познакомится с понятием «разряд» и его смыслом.

Упражнение 4

Цель. Уточнять представление о десятке как счетной единице. Задание.

— Отсчитайте еще десять палочек и скрепите их резинкой. Сколько теперь у вас десятков? (Два.)

Педагог показывает две карточки с записью чисел 20 и 30.

— Как вы думаете, какая карточка обозначает количество, состоящее из двух десятков? Почему?

— Составьте число 30 на палочках. Сколько нужно десятков? Хватило вам двух десятков? (Дети замечают, что нужен еще один десяток.)

— Скрепите резинкой третий десяток. Кто хочет составить запись ЧИ4К1 ла 30 на фланелеграфе? (Дети составляют записи десятков из двух о| дельных карточек с цифрами.)

— Можно переставить карточки местами? Записать число так: ОМ Будет это то же самое число? (Нет.)

Педагог показывает детям четыре связки по 10 палочек: скол; | десятков? Кто хочет составить запись этого числа на фланелеграфе? МО может его прочитать? Педагог подсказывает название: сорок. Дети хо«! ром повторяют.

Упражнение 5

Цель. Соотносить количественные модели целых чисел с их назваим ем и записью.

Способ выполнения. На фланелеграфе выставлены карточки с запи-сью чисел:

— Сравните записи чисел: 10, 20,30,40. Чем похожи все записи? (Двщ цифры. Вторая 0.)

Педагог обращает внимание детей на то, что прежде все числа они могли записать одной цифрой, а теперь двумя цифрами записывают одно число. Такие числа называют двузначными.

Педагог использует полочку, выставляя связку палочек и рядом число 10, две связки и рядом число 20 и т. д.

— Что означает первая цифра в записи каждого числа? (Первая цифра — 2 и число десятков тоже — 2ит. д.)

Педагог выставляет карточку с числом 50 на фланелеграф.

— Как вы думаете, сколько десятков будет в этом числе: 50?

— Составьте это число на палочках. Сколько у вас десятков? (5)

Упражнение 6

Цель. Уточнять значение цифр в записи целых десятков. Способ выполнения. На фланелеграфе числа на карточках: 10, 20, 30, 40, 50.

— Чем похожи записи этих чисел? Можно ли их все назвать десятками? (Да, они состоят из десятков, значит, можно.) Какая цифра в записи этих чисел показывает число десятков?(Первая.)

Примечание. В общем случае в арифметике «первым» разрядом считают разряд единиц (первый справа), а разряд десятков считают вторым. Однако в объеме данного содержания мы не предполагаем знакомить детей с понятием «разряд», «разрядное место» и названиями соответствующих разрядов. Полагаем, что это задача школьного обучения. На рассматриваемом уровне ребенок опирается на свои непосредственныеощущения при анализе структуры числа, т. е. на привычное движение глаз слева направо при работе с плоским изображением. В таком же порядке он будет раскладывать палочки, когда мы будем знакомить его с числами второго десятка — слева десятки, справа единицы.

Упражнение 7

Цель. Уметь построить количественную модель ряда целых десятков. Задание.

— Кто может назвать еще числа, состоящие только из десятков? Сколько десятков в числе 60, 80...? Модели чисел строятся аналогично.

Способ выполнения. Модель всего этого ряда нужно выстроить на одном столе, собрав детей вокруг него. У педагога должен быть запас пучков палочек, скрепленных резинкой по 10 шт. Дети отсчитывают десятки, строя модели всех чисел:

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Упражнение 8

Цель. Закреплять знание о структуре целых десятков. Задание.

— Теперь поиграем: я буду показывать на карточках числа, а вы будете говорить, сколько в них десятков по-вашему: 20, 10, 40, 50, 90.

Модель ряда десятков из упр. 7 остается на столе, чтобы дети имели возможность ориентироваться на нее. Анализ каждого числа полезно сопровождать построением его модели из палочек на свободном столе так, чтобы каждый ребенок мог участвовать в работе.

— Какая цифра показывает число десятков? Прочитайте число по модели. Когда десятичный состав всех чисел проанализирован, можно предложить детям выбрать самое маленькое, самое большое число, попробовать расставить их по возрастанию, используя карточки с записью чисел (дети выполняют задание по желанию, по очереди выбирая карточку со следующим десятком). Затруднения обсуждаются.

На основе использования данной разработки можно щ ти 2-3 занятия на ту же тему, изменяя последовательное! даний и способы «подачи» их детям. Например, на следую! занятии педагог может предложить детям по модели из ил чек составлять записи десятков, считать десятками хо| называть соседние десятки к данному, называть деся1 в указанных пределах (от 40 до 70), отсчитывать десятки (от 90), называть пропущенные в ряду десятки и т. п.

Детям в подготовительной группе достаточно уметь мо лировать двузначные числа второго десятка, «читать» ег модели (назвать), помнить порядок их следования. О дне стоит расстраиваться, если ребенок затрудняется с этим» даниями, поскольку данная тема изучается в четырехлет начальной школе весь первый класс и поэтому нет смысла < бенно форсировать ее в дошкольный период. В старшей гру достаточно познакомить детей с понятием «десяток», одна если у педагога и детей есть желание работать с двузначнь числами, приведенных примеров заданий и упражнений, таточно даже для работы с ребенком с повышенным уров* математических способностей.

Есть дети, у которых числовой материал идет очень лег они быстро схватывают систему их чтения и записи, од* это не означает, что ребенок так же хорошо понимает стрз ру многозначных чисел и специфику их построения и, тем б<1 лее, разнообразные следствия, вытекающие из специфики этоИ структуры. Работа с данным материалом достаточно формал и зована и поэтому в школе систематически связывается с илу чением других понятий — приемов арифметических действий, решением задач, работой с величинами и т. п.

Лекция 10

Сложение. Задания, знакомящие детей 5—6 лет со смыслом и обозначением действия сложения

С теоретико-множественной точки зрения сложению соответствуют такие предметные действия с совокупностями, как объединение и увеличение на несколько элементов либо данной совокупности, либо совокупности, сравниваемой с д ной. В связи с этим ребенок должен научиться моделироват на предметных совокупностях все эти ситуации, понимат (т. е. правильно представлять) их со слов воспитателя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Рассмотрим подготовительные задания для усвоения смысла действия сложения.

Примеры ситуаций, моделирующих объединение двух множеств:

А. Задание. Возьмите три морковки и два яблока (наглядность). Положите их в корзину. Как узнать, сколько их вместе? (Надо сосчитать.)

Цель. Подготовка ребенка к пониманию необходимости выполнения дополнительных действий (в данном случае — пересчет) для определения общего количества предметов совокупности.

Б. Задание. На полке стоят 2 чашки и 4 стакана. Обозначьте чашки кружками, стаканы квадратиками. Покажите, сколько их вместе. Сосчитайте.

Цель. Подведение ребенка к пониманию смысла операции объединения, а также обучение переводу словесно заданной ситуации в условную предметную модель. Такая модель помогает ребенку абстрагироваться от конкретных признаков и свойств предметов и сосредоточиться только на количественной характеристике ситуации.

В. Задание. Из вазы взяли 4 конфеты и 1 вафлю. Обозначьте их фигурками и покажите, сколько всего сладостей взяли из вазы. Сосчитайте.

Цель. Подвести ребенка к пониманию того, что смысл ситуации определяется не «главным словом»: «взяли» (типичной ошибкой даже в школе в этой ситуации является действие 4-1), а соотношением между данными и тем, что требуется найти. Условная предметная модель в этой ситуации помогает абстрагироваться от «мешающего» слова «взяли», поскольку показ рукой «всего взятого» обычно выглядит как охватывающее движение всей совокупности.

Примеры ситуаций, моделирующих увеличение на несколько единиц данной совокупности или совокупности, сравниваемой с данной:

А. Задание. У Вани 3 значка. Обозначьте значки кружками. Ему дали еще, и у него стало на 2 больше. Что надо сделать, чтобы узнать, сколько у него теперь значков? (Надо 2 добавить.)Сделайте это. Сосчитайте результат.

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель словесно заданной ситуации и соотносить словесную формулировку «больше на...» с добавлением элементов.

Б. Задание. У Пети было 2 игрушечных грузовика. Обозначьте грузовики квадратиками. И столько же легковых машин. Обозначьте легковые машины кружками. Сколько вы поставили кружков? На день рождения Пете подарили еще три легковые машины. Обозначьте их кружками. Каких машин теперь больше? Покажите, на сколько больше.

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель словесно заданной ситуации и соотносить словесную формулировку «столькоже» с соответствующим предметным действием.

В. Задание. В одной коробке 6 карандашей, а в другой на 2 больше. Обозначьте карандаши из первой коробки зелеными палочками, карандаши из второй коробки — красными палочками. Покажите, сколько карандашей в первой коробке, сколько во второй. В какой коробке карандашей больше? Меньше? На сколько?

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель словесно заданной ситуации и соотносить словесную формулировку «больше на...» с соответствующим предметным действием в отношении совокупности, сравниваемой с данной.

Вычитание. Задания, знакомящие детей 5—6 лет со смыслом и обозначением действия вычитания

С теоретико-множественной точки зрения действию вычитания соответствуют три вида предметных действий:

а) уменьшение данной совокупности на несколько единиц;

б) уменьшение на несколько единиц совокупности, сравниваемой с данной;

в) разностное сравнение двух совокупностей (множеств).

На подготовительном этапе ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов воспитателя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Рассмотрим подготовительные задания для усвоения смысла действия вычитания.

А. Задание. Удав нюхал цветы на полянке. Всего цветов было 7. Обозначьте цветы кружками. Пришел Слоненок и нечаянно наступил на 2 цветка. Что надо сделать, чтобы показать, что случилось? Покажите, сколько цветов теперь смохать Слоненок.

Цель. Подвести ребенка к пониманию смысла ситуации удаления чи множества. Учить моделировать эту ситуацию на условной предметш >И и глядности, помогающей абстрагироваться от несущественных чист, признаков предметов и сосредоточиться только на изменении кол и-ни венной характеристики ситуации.

Б. Задание. У Мартышки было 6 бананов. Обозначьте и кружками. Несколько бананов она съела, и у нее стало И1 • меньше. Что надо сделать, чтобы показать, что случилоп Почему вы убрали 4 банана? (Стало на 4 меньше.) Покажи | оставшиеся бананы. Сколько их?

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель сл

но заданной ситуации и соотносить словесную формулировку «мет на...» с удалением элементов.

В. Задание. У жука 6 ног. Обозначьте количество ног жу> и красными палочками. А у слона на 2 меньше. Обозначьте ю личество ног слона зелеными палочками. Покажите, у кого п<н меньше. У кого ног больше? На сколько?

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель слове) но заданной ситуации и соотносить словесную формулировку «меньше на...» с соответствующим предметным действием в отношении совокуп ности, сравниваемой с данной.

Г. Задание. На одной полке 5 чашек. Обозначьте чашки кружками. А на другой — 8 стаканов. Обозначьте стаканы квадратиками. Поставьте их так, чтобы сразу было видно, чего больше, стаканов или чашек? Чего меньше? На сколько?

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель словес но заданной ситуации и учить соотносить словесную формулировку «н« сколько больше» и «на сколько меньше» с процессом сравнения множеств и количественной оценкой разницы числа элементов.

После того как ребенок научится правильно понимать на слух и моделировать все означенные виды предметных действий, его можно знакомить со знаками действий. Знаки действий, как и любая другая математическая символика, являются условными соглашениями, поэтому детям просто сообщается, в каких ситуациях используется знак сложения, а в каких — знак вычитания.

В качестве примера приведем взаимосвязанную серию заданий, показывающих, как может выглядеть такое знакомство на занятии в старшей группе.

Упражнение 1

Цель. Учить ребенка составлять условную предметную модель словесно заданной ситуации.

Материалы. Фланелеграф, карточки с рисунками, карточки с цифрами и знаками действий, «Дидактический набор».

Способ выполнения. Педагог использует сюжетную ситуацию:

— Сейчас я расскажу вам одну историю. Жил-был во дворе воробей. (Педагог выставляет изображение птички на фланелеграфе по ходу рассказа.) Он любил по утрам сидеть на рябине и ждать, когда дети выйдут на прогулку и принесут ему крошки. Однажды прилетел он утром на рябину и видит: сидят там вот такие гости. (Педагог выставляет на фланелеграф карточки с изображением снегирей — на каждой карточке один снегирь.)

— Кто это? (Снегири.)

— Прилетели из леса и клюют рябину. Рассердился воробей: «Вы чего мою рябину едите?» А снегири говорят: «Не гони нас, воробей. Голодно в лесу, холодно, всю рябину уже съели, позволь здесь покормиться, а то мы погибнем». Не стал воробей жадничать. «Ладно, ешьте, — говорит, — а мне дети из садика крошек хлебных принесут, накормят». Так и остались они вместе на рябине.

— Сколько воробьев? (1) Сколько снегирей? (3) Откройте коробочки «Дидактический набор» и положите на столе фигурки, обозначающие птиц, чтобы сразу было видно, что у вас 1 воробей и 3 снегиря.

Дети должны самостоятельно выложить группу разных фигурок: одна и три. Например: О [][][] или П

Педагог у каждого спрашивает: «Где у тебя воробей? Где видно, что три снегиря?»

Когда дети справятся с заданием, группу-заместитель выкладываем на фланелеграфе с объяснением: воробей отличается от снегирей, значит, фигурка должна быть другая.

— А как назвать одним словом воробья и снегирей? (Птицы.)

Упражнение 2

Цель. Знакомить со знаком сложения. Способ выполнения. Воспитатель продолжает беседу: —Теперь обозначим количество птиц математически с помощью чисел. Какие числа надо взять? (1 и 3) А теперь я вам покажу, как обозначить, что они дружно сидят на дереве. Математики используют такой зна (плюс). Действие, которое обозначается этим знаком, назыв «сложение». Такая запись «1 +3» говорит, что мы собрали их вместе считали. Математики говорят «сложили». А всего сколько у нас птиц?

Упражнение 3

Цель. Учить соотнесению математического выражения и сюжетно) рассказа.

Задание. Воспитатель предлагает детям составить рассказ по тек записи: 2 + 1. Хотите опять про птиц, хотите про что-нибудь другое

Педагог помогает детям составить рассказ вида: «У Маши было 2 к феты, ей дали еще одну».

— У вас нет цифр, обозначьте то, о чем говорится в рассказе, фиг у|) ками: ООП

(Фигурки дети выбирают сами.)

Упражнение 4

Цель. Учить детей переводу символической модели в предметнук а затем в словесную. Задание.

— Я буду составлять на фланелеграфе запись, а вы — обозначать чи ла в этой же записи фигурками у себя на столе.

Педагог составляет из карточек на фланелеграфе выражения (по о ному)

2 + 3;3+1;4 + 2;3 + 3;4+/1.

Каждое выражение дети моделируют на фигурках и составляют сс ветствующий рассказ.

При выполнении задания, обратного данному, т. е. при переводе сл~ весно заданной ситуации на язык математической символики, поел вательность указаний педагога такова:

а) обозначьте то, о чем говорится в задании, кружками (палочками и т. п.

б) обозначьте указанное число кружков (палочек и т. п.) цифрами;

в) поставьте между ними нужный знак действия.

Например: в вазе 4 тюльпана белых и 3 розовых. Обозначьте число б

лых тюльпанов цифрой; число розовых тюльпанов цифрой. Какой знак нуж но поставить в записи, чтобы показать, что все тюльпаны стоят в одно вазе?

Составляется запись: 4 + 3.

Такую запись называют «математическое выражение». Она показы вает количественные характеристики ситуации и взаимоотношения рас сматриваемых совокупностей.

Не стоит сразу ориентировать ребенка на получение значения выражения:

3 + 4 = 7

выражение значение выражения

Вся запись целиком называется «равенство». Этот термин имеет смысл вводить тогда, когда дети познакомятся со знаком «равно».

Когда педагог убедится, что дети хорошо справляются со всеми этими видами заданий, правильно соотнося все ситуации, связанные со сложением, с соответствующими выражениями, можно знакомить их с действием вычитания и знаком вычитания. Психологически понимание смысла вычитания и соотнесение его с математической записью сложнее, чем понимание смысла сложения. Это объясняется тем, что в процессе моделирования ситуации вычитания множество, соответствующее вычитаемому, убирается из поля зрения ребенка и перед ним остается множество, соответствующее остатку, а для составления правильной записи необходимо помнить первоначальное количество и удаляемое количество, которых перед глазами ребенка уже нет. В этой связи наблюдаются так называемые типичные ошибки усвоения вычитания. Например, педагог выставляет на фланелеграфе 6 фигурок, затем 2 убирает. Дети безошибочно опознают действие — вычитание, но при составлении записи могут написать: 6-4. Это обусловлено тем, что 4 фигурки они непосредственно наблюдают после совершения предметного действия.

В качестве примера того, как может быть организовано знакомство с действием вычитания, приведем взаимосвязанную серию заданий для старшей группы.

Упражнение 1

Цель. Уметь сосредотачивать внимание детей на изменениях количественных характеристик ситуаций.

Материалы. Фланелеграф, модели фигур.

Способ выполнения. Педагог выставляет на фланелеграф несколько любых фигур (или изображений). По его просьбе дети закрывают глаза, а он в этот момент убирает или добавляет фигуры на фланелеграфе. Затем дети должны сказать, что изменилось: убрали или добавили, больше стало или меньше. Фигурки надо брать одинаковые или похожие. Например, яблоки, треугольники и т. д. Каждый раз педагог просит детей

объяснить, почему они так думают. (Было 5 яблок. Теперь стало 3. Стало меньше, значит, яблоки убрали.)

Упражнение 2

Цель. Соотносить предметную ситуацию с записью действия. Задание.

— Теперь будем составлять запись изменений. (Педагог ставит 3 яблока.) Каким числом обозначим количество яблок? Закройте глаза. (Педагог добавил 3 яблока.) Что я сделала? Что изменилось? (Яблок стало больше, значит, добавили 3 яблока.) Каким числом обозначим те яблоки, что я добавила? Какой математический знак надо использовать, чтобы записать то, что я сделала? (Плюс.) Составляем запись на фланелеграфе: 3 + 3. Прочитайте запись. (К трем прибавить три.) А всего яблок? (6)

Упражнение 3

Цель. Соотносить предметную ситуацию с записью действия, знакомить с действием вычитания и знаком вычитания. Задание.

— Запомните, сколько яблок. (Записьубирается.) Закройте глаза. (Педагог убирает 2 яблока.) Что я сделала? убрала 2 яблока.) Изменилось ли количество? (Да. Стало меньше.) Давайте составим запись того, что я сделала. Сколько было яблок сначала? (6) Сколько я убрала? (2) Ставим числа 6 и 2. Можно ли поставить между ними знак «+»? (Нет. Этот знак ставят, когда добавляют, а вы убрали.) Верно. В этом случае используют другой знак: «-» (минус). Он означает, что первоначальное количество уменьшилось. Запись читают так: «От шести отнять два». Это значит, что мы убрали 2. Сколько же осталось? (4)

Упражнение 4

Цель. Соотносить предметную ситуацию на вычитание с записью действия.

Задание.

— Попробуем еще раз. (Педагог меняет фигурки.) На лугу росли 4 ромашки. Закройте глаза. (Педагог добавляет 1.) Что я сделала? Кто может составить запись? (Дети составляют запись и объясняют употребление знака «+».) А всего их сколько? (5)

— Меняем фигурки. На столе 4 апельсина. Закройте глаза. (Убирает 3.) Что я сделала? Кто может составить запись? (Дети составляют запись и объясняют употребление знака «-».) А сколько их осталось? (1)

Ответ во всех случаях получен пересчетом.

После того как дети научатся правильно выбирать знак действия и объяснять свой выбор (обязательно!), можно перейти к составлению равенства и фиксированию результата действия.

Поскольку обучение дошкольника специальным приемам вычислительных действий не предусмотрено программой, ребенок получает результат либо пересчетом, либо присчитыванием (отсчитыванием), но может опираться и на знание состава числа (шесть это два и четыре, значит, шесть без двух это четыре).

Приведем пример обобщающего занятия по теме «Действия сложения и вычитания».

Цель занятия. Уточнять представление о действии сложения и вычитания.

Упражнение 1. Игра «Зеркало». Цель. Учить быть внимательным.

Упражнение 2

Цель. Соотносить предметные ситуации на сложение и вычитание с выбором знака действий.

Материалы. Фланелеграф, наборы фигур. У детей набор карточек с числами от 1 до 9 и знаки «+» и «-» на карточках. (Удобно использовать деревянные фишки из набора «Учись считать».)

Способ выполнения. Педагог выставляет на фланелеграф 2 рыбки.

— Я буду изменять ситуацию, а вы будете показывать мне знак, с помощью которого можно записать то, что я сделала.

Педагог меняет ситуацию (молча). Дети показывают знак «+» или «-», объясняя, почему надо употребить этот знак, Например: надо взять «+», так как вы добавили рыбок, их стало больше, и т. д.

Упражнение 3

Цель. Соотносить предметную ситуацию на сложение и вычитание с записью действия (составлением выражения).

Способ выполнения. Если дети хорошо справляются с предыдущим заданием и верно выбирают знак в любой ситуации, педагог предлагает им составлять все выражение целиком. (Можно использовать кассу из набора первоклассника, ребенку удобно показывать ее педагогу.) Постановку каждого числа просим объяснить. Например: педагог выставляет на фланелеграф 3 цветка, затем добавляет 2 цветка.

Дети составляют запись: 3 + 2.

— Что означает число 3 в этой записи? (Сначала было 3 цветочка.) Ч означает число 2 в записи? (Добавили 2.) Почему поставили «+»? (Цв точки добавили, их стало больше.)

Педагог предлагает для моделирования различные ситуации на упо

ребление знаков «+» и «-».

Упражнение 4

Цель. Развивать зрительно-моторную координацию, восприятие и воображение.

Материалы. Образец рисунка, рамка с гео- / чжР ^

метрическими прорезями, альбомный лист у ^Шйг и цветные карандаши.

Задание. Педагог показывает детям образец рисунка и просит с помощью рамки самостоятельно нарисовать картинку, соответствующую записи 2 + 5.

Дети рисуют рыбок по образцу, самостоятельно подбирая их количество. По завершении работы педагог просит каждого ребенка пояснить свой рисунок.

Детям послабее можно дать печатный лист, на котором они обводят фигурки по рамке и раскрашивают в соответствии с заданием.

Лекция 11

ПОДГОТОВКА ДОШКОЛЬНИКОВ К ОБУЧЕНИЮ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

1. Современный методический подход к вопросу обучения решению задач.

2. Задача как математическое понятие.

3. Подготовительная работа к обучению решению задач.

4. Примерные разработки занятий по подготовке и обучению решению задач детей старшей и подготовительной групп.

Занятие 1

Тема занятия. Подготовка к знакомству с задачей.

Цель занятия. Познакомить детей со схемой ситуации. Научить читать схему ситуации. Упражнение 1 Цель. Развивать зрительное внимание, тренировать наблюдательность, формировать умение производить анализ. Материалы. Рисунок на доске. Задание. — Какие фигуры вы видите на рисунках: а)

Упражнение 2 Цель. Уметь моделировать ситуацию задачи на предметной наглядности. Материалы. Рисунок на доске или предметная модель на фланелеграфе.

Задание. На халате 10 петель. Мама пришила 4 пуговицы. Сосчитайте, сколько еще надо пуговиц. Для выполнения задания обозначьте пришитые пуговицы кружками.

0000000000

оооо

Упражнение 3

Цель. Уметь моделировать ситуацию задачи, воспринятой «на слух».

Материалы. Счетные палочки.

Задание.

А. На дворе гуляли 3 курицы. Положите перед собой на столе столько палочек, сколько у них ног. Сосчитайте, сколько ног?

Б. Потом на двор вышли кошка и собака. Положите столько папочек, сколько у них ног. Сколько ног у кошки, у собаки? Сосчитайте, сколько ног на дворе.

В. А потом к ним в гости пришел слон. Добавьте столько палочек, сколько ног у слона. Сколько теперь ног на дворе?

Г. К обеду в гости пришел удав. Сколько теперь ног на дворе? (Ног осталось столько же, сколько было, потому что у удава нет ног.)

Упражнение 4

Цель. Повторить состав однозначных чисел в процессе моделирования ситуации задачи.

Материалы. «Дидактический набор» или набор «Учись считать».

Способ выполнения. Все задания дети моделируют фигурками из набора и отвечают на вопросы, ориентируясь на свою модель.

Задание. Мартышка наводила в доме порядок и расставляла на окнах цветы. В комнате два окна.

А. Как она могла расставить 4 горшка? (1 и 3, 2 и 2, 3 и 1, 4 и О.)

Б. Как она могла расставить 6 горшков на 2 окна поровну? Сколько на каждом?

В. Один горшок она уронила за окно. Сколько их осталось? (5) Как расставить оставшиеся горшки на два окна поровну? {Нельзя, один лишний.)

Упражнение 5

Цель. Моделировать ситуацию задачи на схеме. Материалы. Рисунок на доске или схема из карточек и стрелок на фланелеграфе. Задание.

У Мартышки день рождения. Чтобы не забыть, что нужно сделать, она попросила Попугая нарисовать ей план — что поставить на стол. Попугай нарисовал такой план:

Что это может означать? Где у Попугая обозначены полки с посудой, а где — стол? (3 чашки с одной полки и 1 чашку с другой полки поставили на стол. На столе стоит 4 чашки.)

Упражнение 6

Пришли гости — Удав и Слоненок. А потом с чашками кое-что произошло. Попугай нарисовал такую картинку:

Что могло произойти, что тут изображено? (Было 4 чашки. Две чашки унесли на кухню, две — осталось. Или: две — разбили, две — осталось.)

Примечание. Легко видеть, что стрелки на схеме моделируют направление и вид действия. Сходящиеся стрелки моделируют объединение, дети их обычно так и воспринимают.Расходящиеся стрелки — удаление части. На данной схеме не задано однозначно, какая часть удалена, а какая оставлена. Пока это несущественно. В дальнейшем, когда один из элементов схемы заменится на знак вопроса, т. е. произойдет переход к структуре «задача», станет однозначно понятно, что удалили и что надо найти.

Направление движения стрелок полезно показать руками, чтобы дети осознавали смысл схемы, моделируя ее через собственную кинестетику (движения рук).

Упражнение 7

Цель. Закреплять умение составлять схему ситуации. Материалы. Фланелеграф, карточки с цифрами и стрелки из бархатной бумаги.

Способ выполнения. Дети составляют сюжетный рассказ и изображают его с помощью схемы.

Задание. Составить схему по этим картинкам:

Как обозначить на схеме, что здесь произошло?

Рассказ может быть, например, таким: «Было 3 яблока и 2 яблока в двух вазах. Их сложили в одну вазу. В ней стало 5 яблок». Схема выглядит следующим образом:

Примечание. Педагог обращает внимание на то, что это пока не задача, а рассказ с числами. Нет нужды вводить в такой рассказ вопрос.

Упражнение 8

Цель. Составлять рассказ по схеме (задание обратное предыдущему). Материалы. Фланелеграф, карточки с цифрами, стрелки.

. Рассказ может быть, например, таким: У Мартышки было 5 горшко с цветами. Один она уронила за окно. Осталось 4.

Другой вариант: У Мартышки было 5 бананов. 4 она съела, а одни угостила Слоненка.

Упражнение 9

Цель. Закреплять умение составлять выражения и схемы по рисунку. Материалы. Рисунки ситуаций задач.

Задание. Составить записи по рисункам и рассказы по картинкам. Ко всем рисункам можно составлять схемы.

Занятие 2

Упражнение 2

Цель. Закреплять умение составлять выражения по предметной модели ситуации.

Упражнение 3

Цель. Учить соотносить схематическую и символическую (математическое выражение) модель ситуации.

Материалы. На доске или фланелеграфе заранее сложено несколько схем.

Способ выполнения. Дети выбирают схемы, соответствующие выражениям из предыдущего упражнения.

Задание. Выбрать из данных схем подходящую к первому выражению, объяснить свой выбор и зарисовать ее в тетради (дети рисуют простым карандашом «от руки»).

Примечание. Критерий выбора — направление стрелок. К сумме подходит первая и вторая схема, остальные три подходят только к разности. Последовательность действий следующая: сначала выбирается нужная по структуре схема. Затем в нее вставляются исходные числа: пустые карточки просто заменяются на карточки с цифрами. Последним заполняется «окошко», в котором надо подсчитать результат.

Например. Для выражения 6 + 2 подходит первая схема:

В ней стрелки показывают, что два числа надо соединить, собрать вместе, сложить. Чтобы заполнить последнее окошко, надо сосчитать фигурки. Их 8. Значит:

Для выражения 7-1 подходит третья схема. Стрелки показывают, что надо что-то отделить, убрать, отнять. Отнимали от 7, значит:

Чтобы заполнить третье окошко, надо сосчитать, сколько кружков осталось. Их 6. Значит,

Педагог помогает детям сформулировать объяснение. Подсказывает правильные термины: сумма, складывать, отнять, вычесть, разность.

Упражнение 4

Цель. Учить детей соотносить сюжетный рассказ со схемой. Материалы. Рисунок на доске или схема на фланелеграфе. Задание. Составить рассказы по схемам:

Если дети затрудняются в выборе сюжета, педагог подсказывает им: про Мартышку, про магазин, про кукол и т. п. Используя карточки с цифрами, дети заполняют окошки.

Примечание. Данные упражнения легко осваиваются детьми и выполняются без всякого труда, поскольку воспринимаются как игра.

Упражнение 5

Цель. Закреплять умение соотносить сюжетный рассказ со схемой. Материалы. Рисунки ситуаций задач.

Задание. Составлять записи по рисункам и уметь рассказывать по картинкам. Ко всем рисункам можно составлять схемы.

Занятие 3

Тема занятия. Математическое равенство.

Цель занятия. Обобщать представление о смысле знака равенст Познакомить со знаком сравнения и неравенством.

Упражнение 1

Цель. Уметь быть внимательным, тренировать наблюдательность, рай вивать умение анализировать.

Материалы. Рисунок на доске. Х'^ч^чЗ

Задание. Какие фигуры вы видите на рисунке? Сколько треугольников спряталось в рисунке?

Упражнение 2

Цель. Учить детей соотносить сюжетный рассказ со схемой. Материалы. Рисунки на доске или модели на фланелеграфе.

Задание. На полянке расцвело 6 ромашек

— Девочка сорвала 2 ромашки, осталось 4. Составьте выражение (6 -

— Какая схема из этих двух подходит к этому выражению?

Как ее заполнить?

— Что означает число 6 в схеме? (Эти ромашки были сначала.) Что означает число 2? (Эти ромашки сорвали.) Что означает число 4? (Эти ро- I машки остались.) Сравните запись 6 - 2 и схему. (В записи не обозначено число 4.)

— В схеме мы обозначили число оставшихся ромашек, а в записи выражения — не обозначили. Можно продолжить эту запись и обозначить число оставшихся ромашек, для этого используют специальный знак. Его называют «знак равенства». Пишут так: 6-2 = 4.

— Говорят так: от 6 отнять 2 равняется 4.

— Всю эту запись целиком называют: «равенство» — по имени знака равенства, который в ней использован.

— Послушайте рассказ: на ветке сидели 3 воробья и 2 голубя. Составьте выражение (3+2). Сосчитайте на пальцах, сколько всего птиц? Дополните

запись до равенства (3 + 2 = 5). Прочитайте ее. (КЗ прибавить 2равняется 5.)

Упражнение 3

Цель. Закреплять представление о равенстве. Познакомить с понятиями верное и неверное равенство.

Материалы. Лист на печатной основе.

Способ выполнения. Работа на печатном листе.

Задание.

А. Среди выражений 4 + 1; 3 - 1 =2; 5 + 2 = 6; 7-1 подчеркните все равенства красным карандашом. Все ли они верные? Как вы понимаете это слово? Почему равенство 5 + 2 = 6 —неверное? Исправьте ошибки (зачеркните неверный ответ и напишите рядом верный). Проверьте себя на пальцах или на палочках.

Б. Вставьте число в пропуски так, чтобы равенство было верным:

2 + ...=3 3 + ... = 5 2+...=6

5-...=4 4-... = 2 5+...=6

В. Вставьте нужное число в схему, чтобы она была верной:

Упражнение 4

Цель. Знакомить со знаком сравнения. Материалы. Счетные палочки.

Задание. Назвать два любых соседних числа. На сколько отличаются два соседних числа? (На 1.) Докажите это: постройте на палочках модели двух соседних чисел (любых, каждый свою пару). Разложите палочки так, чтобы я сразу увидела, что одно больше другого на 1.

— Для того чтобы записать в тетради, что одно число больше другого, используют специальный значок — знак сравнения: < — острым концом этот знак всегда показывает на то число, которое меньше.

Педагог предлагает детям выходить к фланелеграфу и сравнивать любые предлагаемые ими числа. Для моделирования знака сравнения используют две маленькие полоски бархатной бумаги.

При этом педагог показывает детям возможность двух прочтений знака без изменения его положения:

— Запись 6 < 8 можно прочитать: шесть меньше восьми или восемь больше шести.

Упражнение 5

Цель. Учить сравнивать числа с использованием знака сравнения.

Способ выполнения. Предыдущее задание выполняется в обратной последовательности: сначала ставится знак, а дети должны подобрать соответствующую пару чисел: ...>... и ...<...

Упражнение 6

Цель. Обучать постановке знака сравнения между выражениями. Материалы. Рисунок на доске или карточки с цифрами и фланелеграф. Способ выполнения. Педагог организует беседу.Вариант беседы.

— Мы сравнивали числа, используя знак сравнения. Как вы думаете, можно ли использовать этот знак для сравнения числа и выражения? Педагог составлет на фланелеграфе запись: 4+1 ... 4.

Чтобы поставить знак равенства или сравнения в записях такого вида, необходимо сравнить число и численное значение выражения. При этом в данном случае его не нужно подсчитывать, достаточно сослаться на то, что сумма 4 и 1 будет больше, чем только одно число 4. Воспитатель знакомит детей с названием записи такого вида: неравенство.

Упражнение 7

Цель. Закрепление умения сравнивать выражения и записывать результат с помощью знака.

Задание. Сравнить числа и выражения. (Используются задания на сравнение чисел и выражений.)

Занятие 4

Тема занятия. Задача.

Цель занятия. Знакомить с понятием «задача». Упражнение 1

Цель. Формировать умение различать выражения с разными знаками действий (умственная операция классификация). Знакомить с названиями выражений.

Материалы. На фланелеграфе или на доске карточки с записями. Задание. Разделить на две группы эти записи:

3+2 6-2 3-1 2+3

7-1 5-2 4+2 6-3

Способ выполнения. Таблички с записями дети сортируют в зависимости от того, стоит там знак «+» или знак «-».

3+2 7-1

4+2 6-2

2+3 5-2

3-1 6-3

— Как назвать выражения в первом столбике? Во втором?

Эти названия дети еще не знают и обычно предлагают названия, связанные со знаками сложения и вычитания: «складывание», «вычитание», «отнимание». Педагог сообщает новые слова: сумма и разность.

Упражнение 2

Цель. Формировать вычислительные умения.

Материалы. Печатные листы с теми же записями и в том же порядке, как на доске.

Задание. Найти ответ и записать его, дополнив запись до равенства. Результаты обсуждаются и проверяются на палочках, на пальцах.

Упражнение 3

Цель. Закреплять умение составлять рассказ по схеме. Материалы. Рисунок на доске или схема на фланелеграфе. Задание. Составить рассказ по схеме:

Упражнение 4

Цель. Знакомить со схемой задачи.

Материалы. Рисунок на доске или схема на фланелеграфе.

— Чем этот рассказ будет отличаться от предыдущего? (В схеме есть знак вопроса, значит, заканчивать рассказ надо вопросом.)

Педагог сообщает, что рассказ, заканчивающийся вопросом, отвечая на который, надо выполнить какое-то действие (прибавить или отнять), называется задачей.

Примечание. Данное определение весьма приблизительно сформулировано в понятной детям форме и не предназначено для заучивания.

Упражнение 5

Цель. Уточнять правильное понимание особенностей задачи. Способ выполнения. Педагог организует беседу. Вариант беседы.

—То, что рассказал Ваня, — это задача. Можем мы ответить на ее вопрос? (Да.) То, что рассказала Таня —- это задача. Можем мы ответить на ее вопрос? (Да.)

—А теперь послушайте меня и скажите, можно ли назвать задачей фразу: «Два конца, два кольца — посередине гвоздик». Что это? (Это не задача, а загадка.)

—Чем отличается задача от загадки? (В загадке надо догадаться, а в задаче — выполнить действие.)

—Хорошо, тогда придумайте задачу вы. (Обсуждается вариант, предлагаемый детьми. Отвечаем на вопрос.)

—А кто знает загадку с числами?

— Послушайте меня: У стола 4 ножки, по 2 с каждой стороны, Но сапожки и калошки этим ножкам не нужны.

Это — задача? (Нет, это стишок, в котором нет вопроса.)

— Послушайте еще: Два березовых коня По снегам несут меня. Кони эти рыжи,

А зовут их... (Лыжи! Это не задача, а загадка.)

— Чем же задача отличается от загадки?

Педагог подводит детей к пониманию того, что в задаче предлагается проблемная ситуация, для разрешения которой надо выбрать арифметическое действие и затем, выполнив его, ответить на вопрос.

Упражнение 6

Цель. Уточнять представление о признаках задачи. Материалы. Коробка с красными и зелеными карандашами. Способ выполнения. Беседа, сопровождаемая предметными действиями.

Вариант беседы.

— Послушайте такую задачу: Мальчик положил в коробку красные и зеленые карандаши. Сколько там карандашей? (На этот вопрос ответить нельзя. Надо знать, сколько было красных и зеленых карандашей.)

Педагог приглашает ребенка к столу, дает ему пустую коробку и карандаши. На глазах у детей он отсчитывает: кладу 5 красных (кладет их в коробку, и они детям уже не видны) и 2 зеленых карандаша (кладет их в ту же коробку и закрывает ее).

— Кто составит схему?

Дети составляют схему на фланелеграфе, используя карточки с числами и стрелки:

— Почему стрелки сходятся вместе? (Все карандаши в одной коробке.) Что на схеме обозначает коробку с карандашами? (Кружок со знаком «?») Как составить выражение по этой схеме? Какой знак,«+» или«-», нужно использовать? (Знак «+», так как все карандаши вместе в одной коробке. Запись: 5 + 2.)

— Какой же вопрос в задаче? (Сколько карандашей в коробке?) Можно ли на него ответить? Сосчитайте. Дополните запись до равенства: 5 + 2 = 7.

— Проверим, правильно ли мы нашли ответ.

— Петя, иди посчитай карандаши в коробке. Сколько их? (7) Правильно мы решили задачу? (Да.)

— Если бы я спросила: «Какие карандаши в коробке?», а не «Сколько карандашей в коробке?», тогда получилась бы задача? Почему нет? (Чтобы ответить на первый вопрос, не надо выполнять действие.)

Примечание. Конечно, дети не смогут так четко сразу обосновать ответ, педагог помогает им наводящими вопросами.

Упражнение 7

Цель. Закреплять умение составлять разные выражения к одной к л тинке и объяснять их.

Материалы. Рисунок и записи на доске:

3 + 2 3-2 5-3

2+3 5-2 5+1

4+1 4-1 4+2

Задание. Из данных записей выбрать те, что подходят к картинке. Обь* яснить свой выбор.

Примечание. Дети легко выбирают и объясняют записи 3 + 2 и 2 + 3 (два треугольника и три кружка), но выбор записи 5 - 2 и 5 — 3 иногда приходится подсказать: всего 5 фигур, из них 2 треугольника и т. п.

Занятие 5

Тема занятия. Задача.

Цель занятия. Учить детей составлять схему и запись решения простой задачи на нахождение суммы и остатка.

Упражнение 1

Цель. Уточнять представление о признаках задачи. Способ выполнения. Беседа с учащимися. Вариант беседы. Педагог читает детям тексты:

У стола четыре ножки.

Ну, а сколько лап у кошки?

Столько ж, сколько у кота,

Все четыре — мягкота.

— Это — задача? (Это — стишок.) Этот конь не ест овса, Вместо ног два колеса.

Сядь верхом и мчись на нем, Только лучше правь рулем!

— Это — задача? (Это — загадка. Велосипед.) Стала курица считать

Маленьких цыпляток: Желтых — пять И черных — пять...

— Закончите стишок так, чтобы получилась задача. Как ответить на вопрос задачи? Составьте равенство в наборном полотне. Проверьте ответ на палочках.

Упражнение 2

Цель. Учить составлять схему задачи.

Материалы. Фланелеграф, карточки с цифрами и стрелки, счетные палочки, касса цифр (наборное полотно).

Способ выполнения. Беседа, сопровождаемая составлением схем. Вариант беседы.

— Мартышка нашла на грядке 4 спелых клубники и 2 зеленых. Поделилась она с Попугаем? Это задача? (Это не задача, так как мы не можем ответить на вопрос, выполнив какое-то действие.)

— Измените вопрос так, чтобы получилась задача. (Сколько ягод она нашла?)

— Составьте схему на фланелеграфе.

— Составьте выражение в наборном полотне. Почему вы взяли знак сложения? Найдите ответ и проверьте его на папочках.

Упражнение 3

Цель. Учить состалять схему задачи.

Вариант беседы. Удав нюхал цветы на поляне. Всего там расцвело 7 цветов. Пришел Слоненок и нечаянно наступил на один цветок. Сколько цветов теперь сможет понюхать Слоненок?

— Это задача? (Да.) Составьте схему на фланелеграфе:

— Составьте запись в наборном полотне. Почему надо отнимать 1? (Слоненок наступил, поэтому цветов стало меньше. Стрелкой показали, что один цветок из семи пропал.) Найдите ответ.

Упражнение 4

Цель. Учить анализировать текст задачи. Способ выполнения. Беседа.

Вариант беседы. У Мартышки 3 банана. Если она поделится с Попугаем, сколько достанется каждому? (Здесь разные ответы: 2 и 1, а если «по-честному», то 1 и еще половинка). Это задача? (Задача, но в ней не хватает данных, чтобы получить точный ответ.)

— А если Удав тоже захочет получить банан, тогда по скольку достанется каждому? (Тогда всем по 1, потому что их трое и бананов — 3.) Будет ли этот ответ единственным? (Если делить честно, то единственный.)

Упражнение 5

Цель. Учить анализировать числовые данные задачи. Материалы. Фланелеграф, бумажные модели предметов, счетные пи .почки.

Способ выполнения. Беседа, сопровождаемая предметными деиствиями.

Вариант беседы. Педагог выставляет на фланелеграф изображении 6 бананов.

— А если у Мартышки 6 бананов и она поделится с Попугаем, то ско/и, ко каждому может достаться?

Дети выходят к фланелеграфу и раскладывают бананы, повторяя оо| став числа 6 (5 и 1, 2 и 4, 3 и 3).

— А если делить по-честному? (3 и 3). А если еще Слоненку оставин. и всем поровну? (2, 2 и 2)

— А если Удав тоже захочет банан, тогда что делать, как делить поров« ну? (Всем по одному, а оставшиеся 2 банана разрезать пополам и всей дать еще по половинке.) Сколько же будет у каждого? (7 и еще половинка,)

Примечание. Эти рассуждения надо обязательно сопровождать практической работой. Удобно использовать спички со снятой головкой, так как их не жалко ломать при делении пополам и распределении половин. Такие задания являются пропедевтикой (подготовкой восприятия) понятий: деление с остатком и без остатка, дробь и доля.

Упражнение 6

Цель. Закреплять вычислительные умения и умения переводить рисованную модель в символическую.

Материалы. Печатный лист с заданиями.

Способ выполнения. Работа с печатным листом.

Задание. Дополнить записи, чтобы равенства стали верными:

1 +...=3 3 + ...=4 ...+6 = 7

4-1 =... 5-1 =... ...-1 = 1

0 + 2 = .... 8-... = 7 5+... = 5

Примечание. Все равенства дети дополняют, используя присчитывание или отсчитывание и свойства нуля.

Задание. Подчеркнуть запись, соответствующую рисунку:

4-1 3+1 3-1

2 + 2 4-2 4-3

Задание. Нарисовать к каждой записи картинку по образцу:

8 + 2= 10

8+ 1 + 1 =...

В заключение приведем пример занятия по ознакомлению детей с нестандартными текстами задач.

Занятие 6

Упражнение 1

Цель. Актуализировать знания детей о временах года и названиях месяцев, днях недели, календаре.

Материалы. Большой календарь. Чтобы детям легче было находить нужные месяцы, возле каждого можно приклеить картинки из старых настенных календарей, помогающие визуально найти нужное время года и нужный месяц.

Способ выполнения. Работа с календарем.

Задания. Какой сегодня день? Какое число? Какой месяц? Найдите его на календаре.

— Какой месяц следующий? Какое время года начнется? Какое закончится? Каким днем недели является 1 июля? 1 июня? 1 августа? 1 сентября? 31 декабря? Какой по счету месяц — декабрь?

Упражнение 2

Цель. Уточнять представление о задаче. Материалы. Календарь. Способ выполнения. Беседа. Вариант беседы.

— Мартышка насчитала в ноябре 4 субботы, а воскресений — на 1 больше. Сколько было воскресений?

— Можно назвать это задачей? (Да.) Выложите столько зеленых пал»ии. сколько было суббот, а красных палочек столько, сколько было воскресений Сколько воскресений? (5) Почему 5? (Потому, что на 1 больше, чем суббот.)

Упражнение 3

Цель. Уточнять представление о задаче. Материалы. Счетные палочки.

Задание. Мартышка насчитала 4 субботы и 5 воскресений в ноябре, Поставьте вопрос, чтобы получилась задача. (Сколько выходных в ноябре?) Ответьте на вопрос. Проверьте себя на палочках.

Упражнение 4

Цель. Знакомить с нестандартными текстами задач. Задания.

А. Попугай сказал Мартышке: «У меня есть бананы. Два я съем, а оставшийся банан отдам тебе. Угадай, сколько у меня бананов?»

— Как составить запись решения к этой задаче?

Задачу полезно разыграть: педагог за Попугая прячет за спиной «бананы», не позволяя детям сосчитать исходное количество. Два банана отдаются одному ребенку, теперь их можно сосчитать. У педагога остается один банан.

— Что надо сделать, чтобы узнать, сколько бананов было сначала? (Нужно их сложить, тогда узнаем, сколько их было сначала.)

Запись: 2 + 1=3.

Б. У мухи 6 ног, а у слона — 4. У кого больше? На сколько?

— Поставьте красных палочек столько, сколько ног у мухи, а зеленых столько, сколько ног у слона. Какой ответ у задачи? У кого ног меньше? На сколько? У кого ног больше? На сколько?

Запись к этой задаче составлять не надо, поскольку задача решена пересчетом.

Примечание. Такой способ решения задач на разностное сравнение на данном этапе достаточен. Базой для их решения служит умение сравнивать множества способом взаимно однозначного соответствия. Запись решения этого типа задач (запись действия) дети освоят во 2 полугодии 1 класса четырехлетней начальной школы (в традиционной прграмме). Задачи этого типа следует рассматривать только после длительного и хорошо организованного пропедевтического периода, поскольку обе формулировки вопроса «на сколько больше» и «на сколько меньше» предполагают действие вычитания в решении задачи. Для осознания этого факта ребенок должен опираться на правильную модель ситуации.

В. На блюде лежат 10 апельсинов. (Модель блюда и апельсинов на столе у педагога.) Незнайка съел 3 апельсина (кто-то из детей ассистирует педагогу, складывая в корзинку «съеденные» апельсины, чтобы ответ не мог быть получен пересчетом). Гунька съел 4 апельсина. Сколько апельсинов они съели?

— Как это узнать? Составьте запись в кассе. Помните, сколько апельсинов съел каждый? Сколько апельсинов они съели вместе?

Педагог дает детям возможность самостоятельно составить запись решения, а затем проводит анализ результатов.

— Почему выбрали действие сложения? (Все «съеденные» апельсины лежат в корзине, это помогает детям правильно выбрать действие.) Что означает каждое число в записи? Какое число в условии задачи вам не понадобилось для ее решения? (10)

— Можно ли так поставить вопрос к этой задаче, чтобы это число понадобилось для решения? (Сколько апельсинов осталось?)

— Какое действие нужно выполнить для ответа на этот вопрос? Запишите его. (10-6 = 4)

Примечание. Задачи такого вида называют задачами с излишком данных. Такие задачи полезны для формирования умения внимательно изучать текст задачи и анализировать его на предмет необходимости и достаточности данных. Эти задачи удобны для подготовки к появлению в перспективе составных задач, поскольку второй вопрос к такому тексту позволяет задействовать «лишнее» данное и выполнить еще одно действие (фактически решить задачу в два действия). После записи действия полезно выполнить проверку — сосчитать апельсины в корзине.

Г. Потом пришел Буратино и съел еще несколько апельсинов. Сколько апельсинов осталось?

Дети замечают, что на вопрос ответить нельзя. Такие тексты называют «задачи с недостатком данных». Они используются для того, чтобы дети учились анализировать текст.

— Почему нельзя ответить на вопрос? Что вам нужно знать, чтобы на него ответить? (Сколько именно он съел.) Предположим, он съел 1 апельсин? (3) Если он съел 2? (2) Съел 3? (1)

—А как вы думаете, сколько он съел? (Скорее всего он съел все, значит, не осталось ни одного.)

Приведенные тексты четырех занятий представляют собой взаимосвязанный блок, поскольку в них последовательно рассмотрены взаимосвязанные понятия. Далее, используя данные образцы, педагог может самостоятельно составлять занятия на

Лекция 12

Величина и ее измерение

Все дошкольные программы математического образования традиционно включают знакомство детей с величинами.

В математике под величиной понимают такие свойства предметов, которые поддаются количественной оценке. Количест-веннаяГоценка величины называется измерением. Процесс измерения^-предполагает сравнение данной величины с некоторой мерой, принятой за единицу при измерении величин этого рода.

К величинам относят длину, массу, время, емкость (объем), площадь и др. Все эти величины и единицы их измерения изучаются в начальной школе.

мер и с принципом измерения величин. Результатом процесса измерения величины является определенное численное значение, показывающее — сколько раз

Цель дошкольной подготовки — познакомить детей со свойствами объектов, научить дифференцировать их, выделяя те свойства, которые принято называть величинами, познако-мить с самой идеей измерения посредством промежуточных выбранная мера «уложилась» в измеряемую величину. В начальной школе и дошкольном математическом блоке рассматриваются только такие величины, результат измерения которых выражается натуральным числом. В процессе измерения различных величин ребенок упражняется не только в действиях измерения, но и получает новое представление о неизвестной ему ранее роли натурального числа. Число — это мера величины, и сама идея числа была в большой мере порождена необходимостью количественной оценки величины в процессе ее измерения.

Упражнение 1

Цель. Учить умению выделять свойство «длина» в предметах.

Материалы. Две ленты, закрепленные одним концом на палочках: одна длинная (50 см), а другая короткая (20 см). Ленты одинаковой ширины и разного цвета.

Способ выполнения. Двум детям предлагается соревнование — быстрее свернет ленту. Ленты педагог раздает детям сам. Естестве побеждает тот, у кого лента короче. Затем педагог предлагает другим детям самим выбрать себе ленту. Спрашивает, почему они оба хотят тую (обычно дети легко ориентируются в этой ситуации).

Вывод. Короткая лента свертывается быстрее, длинная — медлен

Упражнение 2

Цель. Учить сравнивать длины приложением. Материалы. Несколько лент разной длины. Способ выполнения. Сериация с лентами. Педагог выкладывает на < горсть лент и предлагает детям разложить их по длине (3-5 лент). Результат обсуждается:

— Какая лента справа? (Самая длинная.) Какая лента слева? (Са короткая.)

— Какого цвета самая длинная лента? Какого цвета самая короткая Затем ленты пересчитываются: одна, две, три и т. д., считаются по I к I

рядку: первая, вторая и т. д. (Ребенок пока просто привыкает к звучанию названий порядковых числительных.)

Вариант. Можно предложить ребенку пересчитать ленты справа налево (от желтой...), а затем слева направо (от зеленой...). Педагог обращает внимание детей на то, что в любом случае получается одно и то же число,

Ребенок должен понять, что от направления счета конечный результат , не зависит. Если результаты получились разные, значит, была допущена ошибка.

Полезно использовать такой прием. Педагог (за Незнайку) проводит счет «с другой стороны» сам, ошибается и предлагает ребенку «помочь Незнайке» проверить и поправить — это полезно для формирования самоконтроля и самостоятельности мышления ребенка.

Упражнение 3

Цель. Учить сравнивать предметы по длине.

Материалы. Коробки с карандашами, специально подобранными по длине, для каждого ребенка.

Способ выполнения. Педагог предлагает детям навести порядок в коробке с карандашами. В коробке сначала может быть 5-6 карандашей, а затем 8-10 карандашей. Педагог просит каждого ребенка положить карандаши «по росту», чтобы было «красиво». Не следует делать наборы карандашей одинаковыми у всех детей, чтобы они не копировали работу друг друга по признаку «цвет». Не следует задавать ребенку «порядок» от длинного к короткому или наоборот, это стимулирует самостоятельный анализ ситуации, полезнее обсудить полученный результат после выполнения задания.

Обсуждая результат, педагог задает детям вопросы:

— Какой карандаш у тебя самый короткий? (Красный.)

— Самый длинный? (Черный.)

— Покажи синий карандаш. Где он стоит? (В середине.)

— Между какими карандашами стоит синий карандаш? (Между зеленым и голубым.)

Затем дети могут порисовать этими карандашами, если им хочется, но сложить карандаши снова нужно «по порядку».

Вариант. Педагог предлагает ребенку рисунок «забор» и просит раскрасить так, как он разложил карандаши в коробке: самый длинный столбик — самым длинным карандашом и т. д. В этом случае, возможно, придется помочь ребенку не сбиться в выборе соответствующих карандашей. Затем карандаши снова складываются в коробке «по росту» и сравнивается их порядок с раскраской забора. Если есть ошибки, нужно помочь ребенку найти их.

* * *

Приведем примеры заданий, темой которых является выделение свойства «тяжесть» в предметах.

Упражнение 1

Цель. Подготовить к умению выделять свойство «тяжесть» в предметах.

Материалы. Два одинаковых ведерка и коробочка с морской галькой (детям нравится держать в руках гладкие камешки). Камешки можно заменить крупными пуговицами.

Способ выполнения. Педагог предлагает ребенку два одинаковых ведерка и просит в одно положить много камешков, а в другое — мало.

Упражнение 2

Цель. Учить сравнивать предметы по тяжести.

Способ выполнения. Педагог организует беседу:

— Как вы думаете, какое ведерко тяжелее: где много камешков или где мало? Возьмите оба ведерка в руки, какое тяжелее? Что надо сделать, чтобы ведерки стали одинаковыми по тяжести? (Либо убрать камешки из того ведерка, где много, либо добавить в то, где мало, либо часть камешков пересыпать из одного ведерка в другое.)

Педагог обсуждает с детьми все варианты и предлагает на практике убедиться, что они подходят, но в первом случае одно из ведерок станет.