Як правило, у шкільному курсі розгляд ірраціональних рівнянь зводиться до розбору декількох нескладних прикладів. Вони в більшості випадків вирішуються введенням у квадрат лівої й правої частин рівняння. Після рішення обов'язково виконується перевірка. Не звертається увага на те, що ірраціональні рівняння можуть вирішуватися й з використанням поняття рівносиль. У даному параграфі представлені різні види ірраціональних рівнянь, які можна віднести до стандартного й вирішувати одним з наступних методів, а саме:
1) метод переходу до рівняння - наслідку з наступною перевіркою отриманих корінь;
2) метод рівносильного переходу до рівняння або до змішаної системи;
3) метод введення нової змінної.
2.1 Рівняння виду
Приклад 1. Вирішити рівняння .
Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння у квадрат. .
Відповідь: {6}.
Приклад 2. Вирішити рівняння .
Рішення. У лівій частині вихідного рівняння коштує арифметичний квадратний корінь - він по визначенню ненегативний, а в правій частині - негативне число.
Отже, рівняння не має кореня.
Відповідь: .
Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду.
, якщо й не має рішення, якщо .
Приклад 3. Вирішити рівняння .
Рішення. Зведемо обидві частини вихідного рівняння в куб.
; .
Відповідь: {-5}.
Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду: .
2.2 Рівняння виду
Досить часто при рішенні рівнянь даного виду учні використовують наступне формулювання властивості добутку «Добуток двох співмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю». Помітимо, що формулювання властивості добутку повинна виглядати в такий спосіб: « добуток двох співмножників дорівнює нулю, коли хоча б один з них дорівнює нулю, а іншої при цьому має сенс».
Запишемо рівносиль, за допомогою якої вирішуються рівняння даного виду:
Приклад 1. Вирішити рівняння .
Рішення.
.
Відповідь: {-2;6}.
Приклад 2. Вирішити рівняння .
Рішення. У цьому випадку рівняння не має виду, зазначеного в заголовку. Отже, його необхідно перетворити. Але спочатку знайдемо ОПЗ змінної .
ОПЗ:
Перетворимо рівняння до виду
При рішенні рівняння учні часто необґрунтовано ділять обидві частини рівняння на вираження, що містить невідоме (у цьому випадку, на ), що приводить до втрати кореня й придбанню «стороннього». Подібні рівняння, що містять в обох частинах загальний множник, варто вирішувати переносом всіх членів в одну частину й розкладанням отриманого вираження на множники.
Вирішимо кожне рівняння із сукупності.
; .
(1).
З огляду на, що ОПЗ: одержуємо, що рівняння (1) рівно сильно сукупності:
. Тоді , не задовольняє умові
, дане рівняння не має корінь.
Отже, сукупність прийме наступний вид:
Повернемося до системи:
Відповідь: {-3;6}.
Дата: 2019-05-29, просмотров: 191.