К идее метода ветвей и границ приходили многие исследователи, но Литтл с соавторами на основе указанного метода разработали удачный алгоритм решения ЗК и тем самым способствовали популяризации подхода. С тех пор метод ветвей и границ был успешно применен ко многим задачам, для решения ЗК было придумано несколько других модификаций метода, но в большинстве случаев излагается пионерская работа Литтла.

Т.к. желательно усовершенствовать перебор, применив разумную идею, ниже будет описан алгоритм, который реализует простую, но широко применимую и очень полезную идею.

Общая идея тривиальна: нужно разделить огромное число перебираемых вариантов на классы и получить оценки (снизу – в задаче минимизации, сверху – в задаче максимизации) для этих классов, чтобы иметь возможность отбрасывать варианты не по одному, а целыми классами. Трудность состоит в том, чтобы найти такое разделение на классы (ветви) и такие оценки (границы), чтобы процедура была эффективной.

Входные данные.

Алгоритм метода ветвей и границ предназначен для нахождения минимального гамильтонова контура на графе с N вершинами. В матрице расстояний задачи коммивояжера если между вершинами i и j нет дуги, то ставится символ "бесконечность". Этот же символ ставится по диагонали, что означает запрет на возвращение в вершину, через которую уже проходил контур.

Идея алгоритма.

Основная идея метода состоит в том, что вначале строят нижнюю границу длин множества гамильтоновых контуров ω⁰. Затем множество контуров разбивается на два подмножества таким образом, чтобы первое подмножество ω¹_ij состояло из гамильтоновых контуров, содержащих некоторую дугу (i,j), а другое подмножество ω¹_{not ij} не содержало этой дуги. Для каждого из подмножеств определяются нижние границы по тому же правилу, что и для первоначального множества гамильтоновых контуров. Полученные нижние границы подмножеств ω¹_ij и ω¹_{not ij} оказываются не меньше нижней границы всего множества гамильтоновых контуров, т.е.

Ф(ω⁰)<=Ф¹_ij,

Ф(ω⁰)<=Ф¹_{not ij}

Сравнивая нижние границы Ф¹_ij и Ф¹_{not ij}, можно выделить среди них то, которое с большей вероятностью содержит гамильтонов контур минимальной длины.

Затем одно из подмножеств ω¹_ij или ω¹_{not ij} по аналогичному правилу разбивается на два новых ω²_ij и ω²_ij. Для них снова отыскиваются нижние границы Ф²_ij и Ф²_{not ij} и т.д. Процесс ветвления продолжается до тех пор, пока не отыщется единственный гамильтонов контур. Его называют первым рекордом. Затем просматривают оборванные ветви. Если их нижние границы больше длины первого рекорда, то задача решена. Если же есть такие, для которых нижние границы меньше, чем длина первого рекорда, то подмножество с наименьшей нижней границей подвергается дальнейшему ветвлению, пока не убеждаются, что оно не содержит лучшего гамильтонова контура.

Если же такой найдется, то анализ оборванных ветвей продолжается относительно нового значения длины контура. Его называют вторым рекордом. Процесс решения заканчивается, когда будут проанализированы все подмножества.

Для практической реализации метода ветвей и границ применительно к задаче коммивояжера нужно указать прием определения нижних границ подмножеств и разбиения множества гамильтоновых контуров на подмножества (ветвление).

Определение нижних границ

Если к элементам любого ряда матрицы задачи коммивояжера (строке или столбцу) прибавить или вычесть из них некоторое число, то от этого оптимальность плана не изменится. Длина же любого гамильтонова контура изменится на данную величину.

Для того, чтобы найти нижнюю границу вычтем из каждой строки число, равное минимальному элементу этой строки, вычтем из каждого столбца число, равное минимальному элементу этого столбца. Полученная матрица называется приведенной по строкам и столбцам. Сумма всех вычтенных чисел называется константой приведения.

Константа приведения может быть выбрана в качестве нижней границы длины гамильтоновых контуров.