Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Эйлеровы и гамильтоновы графы

Министерство народного образования Республики Дагестан

Дагестанский Государственный Университет

 

Курсовая работа

 

Программирование задач на графах

Гамильтоновы и эйлеровы циклы

 

Выполнил:

Студент 4 курса 4 гр. МФ

Цургулов Алил Гасанович

Научный руководитель:

Якубов А. 3.

 

Махачкала, 2003 год

Содержание

Содержание 2

Введение 4

Глава 1. Эйлеровы циклы 4

§1. Основные понятия и определения 5

Критерий существования эйлерова цикла 5

Алгоритмы построения эйлерова цикла 6

Некоторые родственные задачи 8

Задача китайского почтальона 9

Глава 2. Гамильтоновы циклы 11

§1. Основные понятия и определения 11

Условия существования гамильтонова цикла 11

Задачи связанные с поиском гамильтоновых циклов 13

Методы построения гамильтоновых циклов в графе. 15

Алгебраический метод построения гамильтоновых циклов 15

Метод перебора Робертса и Флореса 16

Улучшение метода Робертса и Флореса 18

Мультицепной метод 19

Сравнение методов поиска гамильтоновых циклов 21

Глава 3. Задача коммивояжера 23

Общее описание 24

Жадный” алгоритм решения ЗК 26

Деревянный” алгоритм решения ЗК 27

Метод лексикографического перебора 29

Метод ветвей и границ решения ЗК 30

Применение алгоритма Дейкстры к решению ЗК 35

Метод выпуклого многоугольника для решения ЗК 35

Генетические алгоритмы 37

Применение генетических алгоритмов 39

Список литературы 41

Введение

 

Целью моей курсовой работы является описание методов нахожде­ния и построения эйлеровых и всех гамильтоновых циклов в графах, а также сравнительный анализ этих методов. Другая цель решаемая в данной работе — это рассмотрение задачи коммивояжера и методов ее решения (включая эвристические и генетические алгоритмы).

Прежде всего, чтобы внести ясность и уточнить терминологию, хотелось бы дать определения некоторым элементам графа таким, как маршрут, цепь, цикл.

Маршрутом в графе G(V,E) называется чередующаяся последова­тельность вершин и ребер: v₀,e₁, … e_n,v_n, в которой любые два со­седних элемента инцидентны. Если v₀ = v_n, то маршрут замкнут, иначе открыт.

Если все ребра различны, то маршрут называется цепью. Если все вершины (а значит, ребра) различны, то маршрут называется про­стой цепью.

Замкнутая цепь называется циклом; замкнутая простая цепь на­зывается простым циклом. Граф без циклов называется ациклическим. Для орграфов цепь называется путем, а цикл — контуром.

Глава 1. Эйлеровы циклы

 

Требуется найти цикл, проходящий по каждой дуге ровно один раз. Эту задачу впервые поставил и решил Леонард Эйлер, чем и за­ложил основы теории графов, а соответствующие циклы теперь называ­ются эйлеровыми. Фигуры, которые требуется обрисовать, не пре­рывая и не повторяя линии, также относятся к эйлеровым циклам.

Задача возникла из предложенной Эйлеру головоломки, получившей название "проблема кенигсбергских мостов". Река Прегель, протекающая через Калининград (прежде город назывался Кенигсбергом), омывает два острова. Берега реки связаны с островами так,

как это показано на рисунке.

В головоломке требовалось найти мар­шрут, проходящий по всем участкам суши таким образом, чтобы каждый из мостов был пройден ровно один раз, а начальный и конечный пункты маршрута совпадали.

§1. Основные понятия и определения

 

Да­дим теперь строгое определение эйлерову циклу и эйлерову графу. Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой цикл называется эйлеровым циклом, а граф называется эйлеровым графом. Если граф имеет цепь (не обязательно простую), содержащую все вершины по одному разу, то такая цепь называется эйлеровой цепью, а граф называется полуэйлеровым графом.

Ясно, что эйлеров цикл содержит не только все ребра по одному разу, но и все вершины графа (возможно, по несколько раз). Оче­видно также, что эйлеровым может быть только связный граф.

Выберем в качестве вершин графа берега реки, а в качестве ребер - мосты, их соединяющие. После этого задача становится оче­видной: требование неосуществимо - чтобы его выполнить, число дуг, приходящих к каждой вершине, должно быть четным. В самом деле, по­скольку по одному мосту нельзя проходить дважды, каждому входу на берег должен соответствовать выход.

Следствие #1.

Для связного эйлерова графа G множество ребер можно разбить на простые циклы.

Следствие #2.

Для того чтобы связный граф G покрывался единственной эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он содержал ровно 2 вершины с нечетной степенью. Тогда цепь начинается в одной из этих вершин и заканчивается в другой.

 

Else

select u Г[v] {взять первую вершину из списка смежности}

u→S {положить u в стек}

Г[v]:=Г[v]\{u}; Г[u]:=Г[u]\{v} {удалить ребро (v,u)}

End if

End while

 

Обоснование алгоритма.

Принцип действия этого алгоритма заключается в следующем. Начиная с произвольной вершины, строим путь, удаляя ребра и запоминая вершины в стеке, до тех пор пока множество смежности очередной вершины не окажется пустым, что означает, что путь удлинить нельзя. Заметим, что при этом мы с необходимостью придем в ту вершину, с которой начали. В противном случае это означало бы, что вершина v имеет нечетную степень, что невозможно по условию. Таким образом, из графа были удалены ребра цикла, а вершины цикла были сохранены в стеке S. Заметим, что при этом степени всех вершин остались четными. Далее вершина v выводится в качестве первой вершины эйлерова цикла, а процесс продолжается, начиная с вершины, стоящей на вершине стека.

Мне бы хотелось привести здесь еще один алгоритм построения эйлерова цикла в эйлеровом графе — это Алгоритм Флёри, он позволяет пронумеровать ребра исходного графа так, чтобы номер ребра указывал каким по счету это ребро войдет эйлеров цикл.

Алгоритм Флёри:

1. Начиная с любой вершины v присваиваем ребру vu номер 1. Вычеркиваем это ребро из списка ребер и переходим к вершине u.

2. Пусть w - вершина, в которую мы пришли в результате выполнения 1 шага алгоритма и k - номер, присвоенный очередному ребру на этом шаге. Выбираем произвольное ребро инцидентное вершине w, причем мост выбираем только в крайнем случае, если других возможностей выбора ребра не существует. Присваиваем ребру номер k+1 и вычеркиваем его. Процесс длится до тех пор, пока все ребра не вычеркнут.

Примечание: Мостом называется ребро, удаление которого лишает данный граф связности, т.е. увеличивает число компонент связности.

Пример:

П
риведем теперь строгое обоснование корректности алгоритма Флёри построения эйлерового цикла в данном эйлеровом графе.

Теорема 2. Пусть G(V,E) — эйлеров граф. Тогда следующая процедура всегда возможна и приводит к построению эйлерова цикла графа G(V,E).

Выходя из произвольной вершины, идем по ребрам графа произвольным образом, соблюдая при этом следующие правила:

1. Стираем ребра по мере их прохождения (вместе с изолированными вершинами, которые при этом образуются);

2. На каждом шаге идем по мосту только в том случае, когда нет других возможностей.

Доказательство.

Убедимся сначала, что указанная процедура может быть выполнена на каждом этапе. Пусть мы достигли некоторой вершины v, начав с вершины u, v ≠ u. Удалив ребра пути из v в u, видим, что оставшийся граф G₁ связен и содержит ровно две нечетных вершины v и u. Согласно следствию #2 из теоремы 1 граф G₁ имеет эйлеров путь P из v в u. Поскольку удаление первого ребра инцидентного u пути P либо не нарушает связности G₁, либо происходит удаление вершины u и оставшийся граф G₂ связен с двумя нечетными вершинами, то отсюда получаем, что описанное выше построение всегда возможно на каждом шаге. (Если v = u, то доказательство не меняется, если имеются ребра, инцидентные u). Покажем, что данная процедура приводит к эйлерову пути. Действительно, в G не может быть ребер, оставшихся не пройденными после использования последнего ребра, инцидентного u, поскольку в противном случае удаление ребра, смежного одному из оставшихся, привело бы к несвязному графу, что противоречит условию 2).

Доказательство.

Если цикл проходит по графу G, то по крайней мере одно ребро, инцидентное каждой вершине x_i нечетной степени, должно проходиться дважды. (Ребро, проходимое дважды, можно рассматривать как два параллельных ребра — одно реальное и одно искусственное — и каждое из них проходится один раз). Пусть это ребро (x_i, x_k). В случае нечетности степени d_k вершины x_k графа G добавление искусственного ребра прежде всего сделает d_k четным, и значит только ребро (x_i,x_k) нужно будет проходить дважды, если ограничиться рассмотрением лишь вершин x_i и x_k. В случае когда d_k четно, добавление искусственного ребра сделает d_k нечетным, а второе ребро выходящее из x_k должно быть пройдено дважды (т.е. добавляется еще одно искусственное ребро). Такая ситуация сохраняется до тех пор, пока не встретится вершина нечетной степени, о чем говорилось выше. Следовательно, чтобы удовлетворить условию возвращения в вершину x_i, нужно дважды пройти всю цепь из x_i в некоторую другую вершину нечетной степени x_{r X}^-_{. Это автоматически приводит к выполнению условия прохождения вершины xr. Аналогично обстоит дело для всех других вершин xi X}^-_{. Это значит что все множество M цепей из G, определенное выше, должно проходится дважды, и так как отсюда вытекает, что каждое ребро из G}^-_{(M) должно проходиться один раз, то теорема доказана.}

_{Алгоритм решения задачи китайского почтальона немедленно следует из доказанной теоремы, так как все, что для этого необходимо, состоит в нахождении множества цепей M}^* _{(цепного паросочетания для множества вершин нечетной степени), дающего наименьший дополнительный вес. Цикл наименьшего веса, проходящий по G, будет иметь вес, равный сумме весов всех ребер из G плюс сумма весов ребер в цепях из M}^*_{. Это то же самое, что и сумма весов всех ребер — реальных и искусственных — графа G}^-_(M^*_).

Описание алгоритма решения задачи китайского почтальона:

1. Пусть [c_ij] — матрица весов ребер G. Используя алгоритм нахождения кратчайшей цепи, образуем |X^-|_*|X^-| — матрицу D=[d_ij], где d_ij — вес цепи наименьшего веса, идущей из некоторой вершины x_{i X}^- _{в другую вершину xj X}^-_.

2. _{Найдем то цепное паросочетание M}^* _{для множества X}^-_{, которое дает наименьший вес (в соответствии с матрицей весов D). Это можно сделать эффективно с помощью алгоритма минимального паросочетания.}

3. _{Если вершина xα сочетается с другой вершиной xβ, то определим цепь μαβ наименьшего веса (из xα в xβ), соответствующую весу dαβ, делая шаг 1. Добавим искусственные ребра в G, соответствующие ребрам из μαβ, и проделаем это для всех других цепей из множества M}^*_{, в результате чего получится граф G}^-_(M^*_).

4. _{Сумма весов всех ребер графа G}^-_(M^*_{), найденная с использованием матрицы [cij] (вес искусственного ребра берется равным весу параллельного ему реального ребра), равна минимальному весу цикла, проходящего по G. При этом число прохождений цикла по ребру (xi,xj) равно общему числу параллельных ребер между xi и xj в G}^-_(M^*_).

Покажем, что указанный выше алгоритм строит минимальный цикл. Для этого следует заметить, что поскольку на шаге 2 мы используем минимальное паросочетание, никакие две кратчайшие цепи μ_ij и μ_pq при таком паросочетании (скажем, идущие из x_i в x_j и из x_p в x_q) не могут иметь общего ребра. Если бы они имели общее ребро (x_a, x_b), то сочетание вершин x_i и x_q (использующее подцепи от x_i к x_b и от x_b к x_q) и сочетание пары вершин x_p и x_j (использующее подцепи от x_p к x_a и от x_a к x_j) давало бы общее паросочетание веса 2c_ab, меньшего чем вес первоначального паросочетания, что противоречит предположению о минимальности исходного паросочетания. Следовательно, граф G^-(M^*)не должен содержать более двух параллельных ребер между любыми двумя вершинами, т.е. оптимальный цикл не проходит ни по какому ребру графа G более чем два раза.

 

Глава 2. Гамильтоновы циклы

 

Н азвание «гамильтонов цикл» произошло от задачи «Кругосветное путешествие» предложенной ирландским математиком Вильямом Гамильтоном в 1859 году. Нужно было, выйдя из исходной вершины графа, обойти все его вершины и вернуться в исходную точку. Граф представлял собой укладку додекаэдра, каждой из 20 вершин графа было приписано название крупного города мира.

 

§1. Основные понятия и определения

 

Если граф имеет простой цикл, содержащий все вершины графа по одному разу, то такой цикл называется гамильтоновым циклом, а граф называется гамильтоновым графом. Граф, который содержит простой путь, проходящий через каждую его вершину, называется полугамильтоновым. Это определение можно распространить на ориентированные графы, если путь считать ориентированным.

Гамильтонов цикл не обязательно содержит все ребра графа. Ясно, что гамильтоновым может быть только связный граф и, что всякий гамильтонов граф является полугамильтоновым. Заметим, что гамильтонов цикл существует далеко не в каждом графе.

Замечание.

Любой граф G можно превратить в гамильтонов граф, добавив достаточное количество вершин. Для этого, например, достаточно к вершинам v₁,…,v_p графа G добавить вершины u₁,…,u_p и множество ребер {(v_i,u_i)} {(u_i,v_i+1)}.

Степенью вершины v называется число ребер d(v), инцидентных ей, при этом петля учитывается дважды. В случае ориентированного графа различают степень d_o(v) по выходящим дугам и d_i(v) — по входящим.

 

Доказательство.

От противного. Пусть G — не гамильтонов. Добавим к G минимальное количество новых вершин u₁, … ,u_n, соединяя их со всеми вершинами G так, чтобы G’:= G + u₁ + … + u_n был гамильтоновым.

Пусть v, u₁, w, … ,v — гамильтонов цикл в графе G’, причем v G, u₁ G’, u₁ G. Такая пара вершин v и u₁ в гамильтоновом цикле обязательно найдется, иначе граф G был бы гамильтоновым. Тогда w G, w {u₁,…,u_n}, иначе вершина u₁ была бы не нужна. Более того, вершина v несмежна с вершиной w, иначе вершина u₁ была бы не нужна.

Далее, если в цикле v,u₁,w, … ,u’,w’, … ,v есть вершина w’, смежная с вершиной w, то вершина v’ несмежна с вершиной v, так как иначе можно было бы построить гамильтонов цикл v,v’, … ,w,w’, … ,v без вершины u₁, взяв последовательность вершин w, … ,v’ в обратном порядке. Отсюда следует, что число вершин графа G’, не смежных с v, не менее числа вершин, смежных с w. Но для любой вершины w графа G d(w) ≥ p/2+n по построению, в том числе d(v) ≥ p/2+n. Общее число вершин (смежных и не смежных с v) составляет n+p-1. Таким образом, имеем:

n+p-1 = d(v)+d(V) ≥ d(w)+d(v) ≥ p/2+n+p/2+n = 2n+p.

Следовательно, 0 ≥ n+1, что противоречит тому, что n > 0.

Теорема Оре. Если число вершин графа G(V,E) n ≥ 3 и для любых двух несмежных вершин u и v выполняется неравенство:

d(u)+d(v) ≥ n и (u,v) E, то граф G — гамильтонов.

Граф G имеет гамильтонов цикл если выполняется одно из следующих условий:

Условие Поша: d(v_k) ≥ k+1 для k < n/2.

Условие Бонди: из d(v_i) ≤ i и d(v_k) ≤ k => d(v_i)+d(v_k)≥n (k≠i)

Условие Хватала: из d(v_k) ≤ k ≤ n/2 => d(v_n-k) ≥ n-k.

Далее, известно, что почти все графы гамильтоновы, то есть

г
де H(p) — множество гамильтоновых графов с p вершинами, а G(p) — множество всех графов с p вершинами. Таким образом, задача отыскания гамильтонова цикла или эквивалентная задача коммивояжера являются практически востребованными, но для нее неизвестен (и, скорее всего не существует) эффективный алгоритм решения.

Пример графа, когда не выполняется условие теоремы Дирака, но граф является гамильтоновым.

N = 8; d(v_i) = 3; 3 ≥ 8/2 = 4 не гамильтонов граф, но существует гамильтонов цикл: M = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1)

Мультицепной метод

 

После внимательного изучения операций алгоритма перебора Робертса и Флореса становится очевидным, что даже после сделанного улучшения не слишком много внимания уделяется оставшейся части графа, в которой берется последовательность вершин, продолжающих построенную цепь. Обычно построение цепи S₀ в процессе поиска (S₀ рассматривается и как упорядоченное множество вершин, и как обычное множество) подразумевает существование еще каких-то цепей в других частях графа. Эти предполагаемые цепи либо помогают быстрее построить гамильтонов цикл, либо указывают на отсутствие такого цикла, содержащего цепь S₀, что позволяет сразу прибегнуть к возвращению.

Метод, описанный ниже, был предложен первоначально для неориентированных графов; здесь дается его небольшое видоизменение для ориентированных графов. Метод состоит в следующем.

Допустим, что на некотором этапе поиска построена цепь S₀ и возможны цепи S₁, S₂, … . Рассмотрим какую-либо «среднюю» вершину одной из этих цепей (слово «средняя» здесь означает любую вершину, отличную от начальной и конечной). Поскольку эта вершина уже включена в цепь с помощью двух дуг, то очевидно, что все другие дуги, входящие или выходящие из такой вершины, могут быть удалены из графа. Для любой начальной вершины вышеуказанных цепей можно удалить все дуги, исходящие из нее (за исключением дуги, включающей эту вершину в цепь), а для любой конечной вершины можно удалить все дуги, оканчивающиеся в ней (опять-таки за исключением дуги, включающей ее в цепь). Кроме того, за исключением случая, когда существует только одна цепь (скажем, S₀), проходящая через все вершины графа G (т.е когда S₀ — гамильтонова цепь), любая имеющаяся дуга, ведущая из конца любой цепи в начальную вершину этой же цепи, может быть удалена, так как такая дуга замыкает не гамильтоновы циклы.

Удаление всех этих дуг даст граф — со всеми «средними» вершинами цепей, в котором только одна дуга оканчивается в каждой вершине и только одна дуга исходит из нее. Все эти «средние» вершины и дуги, инцидентные им, удаляются из G, а вместо них для каждой цепи вводится единственная дуга, идущая от начальной вершины цепи до ее конечной вершины. В результате всего этого получается редуцированный граф G_k(X_k,Г_k), где k — индекс, показывающий номер шага поиска.

Рассмотрим теперь продолжение цепи S₀ (сформированной в результате поиска), осуществляемое путем добавления вершины x_j, которая является возможной в смысле алгоритма Робертса и Флореса, т.е. в G_k существует дуга, исходящая из конечной вершины цепи S₀ — обозначим эту вершину e(S₀) — и входящая в вершину x_j. Добавление x_j к S₀ осуществляется так:

1. Сначала удаляются из G_k все необходимые дуги, т.е.

1. все дуги, оканчивающиеся в x_j или исходящие из e(S₀), за исключением дуги (e(S₀), x_j);

2. все дуги, выходящие из x_j в начальную вершину пути S₀;

3. если окажется, что x_j является начальной вершиной другой цепи S_j, то следует удалить также любую дугу, идущую из конечной вершины цепи S_j в начальную вершину цепи S₀.

2. Обозначим граф, оставшийся после удаления всех дуг, через G’_k(X_k,Г_k’).

Если существует вершина x в графе G’_k, не являющаяся конечной ни для одной из цепей S₀, S₁, … и которая после удаления дуг имеет полустепень захода, равную единице, т.е. |Г^-1_k’(x)|=1, то выкинуть все дуги, исходящие из вершины v= Г^-1_k’(x), за исключением дуги (v, x).

Если существует вершина x графа G’_k, не являющаяся начальной ни для какой цепи и которая после удаления дуг имеет полустепень исхода, равную единице, т.е. |Г_k’(x)|=1, то выкинуть все дуги, исходящие из вершины x, за исключением дуги (x, Г_k’(x)).

Перестроить все цепи и удалить дуги, ведущие из конечных в начальные вершины.

Повторить шаг 2 до тех пор, пока можно удалять дуги.

3. Удалить из оставшегося графа G’_k все вершины, полустепени захода и исхода которых равны единице, т.е. вершины, которые стали теперь «средними» вершинами цепей. Это удаление производится так, как это было описано выше, в результате чего получается новый редуцированный граф G_k+1, заменяющий предыдущий граф G_k.

Совершенно очевидно, что если добавление вершины x_j к цепи S₀ делает полустепень захода или полустепень исхода (или обе) некоторой вершины x в конце шага 2 равной нулю, то не существует никакого гамильтонова цикла. В этом случае вершина x_j удаляется из множества S₀ и в качестве другой вершины x_j, позволяющей продолжить цепь S₀, выбирается некоторая другая вершина из множества Г_k’[e(S₀)]. И так до тех пор, пока не будет исчерпано все множество Г_k’[e(S₀)] и придется прибегнуть к возвращению (т.е. e(S₀) удаляется из S₀ и заменяется другой вершиной и т.д.). Отметим, что операция возвращения предполагает хранение достаточной информации об удаленных дугах в шагах 1 и 2 на каждом этапе k, чтобы можно было по графу G_k+1 восстановить граф G_k при любых k, если приходится прибегать к возвращению.

Если (на некотором этапе) в конце шага 2 установлено, что только одна цепь проходит далее через все вершины, то в этом случае существование гамильтонова цикла может быть выявлено непосредственно. Если цикл при этом не найден (или если он найден, но надо найти все гамильтоновы циклы), то нужно прибегнуть к возвращению.

Лучший вычислительный путь состоит в том, чтобы при каждой итерации шага 2 (за исключением последней) проверять отличие от нуля полустепеней захода и исхода всех вершин графа G’_k. Поэтому как только одна из них станет равной нулю, сразу же применяется операция возвращения, и если найдена гамильтонова цепь, то получается и гамильтонов цикл без проверки существования дуги возврата.

Если не возникает ни один из вышеупомянутых случаев, т.е. если (на некотором этапе k) в конце шага 2 остается более чем одна цепь и все полустепени являются ненулевыми, то нельзя еще сделать никаких выводов. Тогда вершина x_j добавляется к S₀ и выбирается другая вершина для дальнейшего продолжения цепи. Шаги 1, 2, 3 повторяются, начиная с нового редуцированного графа.

Общее описание

 

Постановка задачи следующая.

Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города, посетить по одному разу в неизвестном порядке города 1,2,3..n и вернуться в первый город. Расстояния между городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим?

Чтобы привести задачу к научному виду, введём некоторые термины. Итак, города перенумерованы числами jÎТ=(1,2,…,n). Тур коммивояжера может быть описан циклической перестановкой t=(j₁,…,j_n, j₁), причём все j₁,…,j_n – разные номера; повторяющийся в начале и в конце j₁, показывает, что перестановка зациклена. Расстояния между парами вершин С_ij образуют матрицу С. Далее введем n² альтернативных переменных x_ij, принимающих значение 0, если переход из i-го пункта в j-ый не входит в маршрут и 1 в противном случае. Условия прибытия в каждый пункт и выхода из каждого пункта только по одному разу выражаются равенствами (1) и (2).

(1)

(2)

Для обеспечения непрерывности маршрута вводятся дополнительно n переменных и n² дополнительных ограничений (3).

(3)

Задача состоит в том, чтобы найти такой тур t, чтобы минимизировать суммарную протяженность маршрута F, которая запишется в следующем виде:

(4)

Относительно математической формулировки ЗК уместно сделать два замечания. Первое, в постановке С_ij означали расстояния, поэтому должны выполняться следующие условия:

o неотрицательными, т.е. для всех jÎТ:

C_ij ³ 0;

C_jj = ∞ (5)

(последнее равенство означает запрет на петли в туре),

o симметричными, т.е. для всех i, j:

С_ij = С_ji (6)

o удовлетворять неравенству треугольника, т.е. для всех:

C_ij + C_jk ³ C_ik (7)

В математической постановке говорится о произвольной матрице. Сделано это потому, что имеется много прикладных задач, которые описываются основной моделью, но всем условиям (5)-(7) не удовлетворяют. Особенно часто нарушается условие (7) (например, если С_ij – не расстояние, а плата за проезд: часто туда билет стоит одну цену, а обратно – другую). Поэтому мы будем различать два варианта ЗК: симметричную задачу, когда условие (7) выполнено, и несимметричную - в противном случае. Условия (5)-(7) по умолчанию мы будем считать выполненными.

Второе замечание касается числа всех возможных туров. В несимметричной ЗК все туры t=(j₁,j₂,…,j_n,j₁) и t’=(j₁,j_n,…,j₂,j₁) имеют разную длину и должны учитываться оба. Всего разных туров очевидно (n-1)!

Зафиксируем на первом и последнем месте в циклической перестановке номер j₁, а оставшиеся n-1 номеров переставим всеми (n-1)! возможными способами. В результате получим все несимметричные туры. Симметричных туров имеется в два раз меньше, т.к. каждый засчитан два раза: как t и как t’.

Можно представить, что X состоит только из единиц и нулей. Тогда С можно интерпретировать, как граф, где ребро (i,j) проведено, если x_ij=0 и не проведено, если x_ij=1. Тогда, если существует тур длины 0, то он пройдёт по циклу, который включает все вершины по одному разу. Такой цикл называется гамильтоновым циклом. Незамкнутый гамильтонов цикл называется гамильтоновой цепью (гамильтоновым путём).

Доказательство, что модель (1-4) описывает задачу о коммивояжере.

Условие (2) означает, что коммивояжер из каждого города выезжает только один раз; условие (3) - въезжает в каждый город только один раз; условие (4) - обеспечивает замкнутость маршрута, содержащего N городов, и не содержащего замкнутых внутренних петель.

Рассмотрим условие (4) подробнее. Применим метод доказательства от противного, то есть предположим, что условие (4) выполняется для некоторого подцикла T из R городов, где R

.

Так как

,

то N·R £ (N -1), где R < N, R ¹ 0.

Следовательно, не существует замкнутого подцикла с числом городов меньшим, чем N.

Покажем, что существует U_i, которое для замкнутого цикла, начинающегося в некотором начальном пункте, удовлетворяют условию (4). При всех X_ij (j-й город не посещается после i-го) в (4) имеем U_i-U_j £ N-1, что допустимо в силу произвольных U_i и U_j.

Пусть на некотором R-ом шаге i-й город посещается перед j-м, то есть X_ij = 1. В силу произвольности значений U_i и U_j положим U_i = R, а U_j = R+1, тогда из (4) имеем:

U_i-U_j+N·X_ij £ R-(R-1)+N = N-1

Итак, существуют такие конечные значения для U_i и U_j, что для маршрута, содержащего N городов, условие (4) удовлетворяется как неравенство или строгое равенство. А следовательно, модель (1)-(4) описывает задачу о коммивояжере.

В терминах теории графов симметричную ЗК можно сформулировать так:

Дана полная сеть с n вершинами, длина ребра (i,j)= С_ij. Найти гамильтонов цикл минимальной длины.

В несимметричной ЗК вместо «цикл» надо говорить «контур», а вместо «ребра» - «дуги», «стрелки».

Некоторые прикладные задачи формулируются как ЗК, но в них нужно минимизировать длину не гамильтонова цикла, а гамильтоновой цепи. Такие задачи называются незамкнутыми. Некоторые модели сводятся к задаче о нескольких коммивояжерах, но мы здесь их рассматривать не будем.

 

Жадный” алгоритм решения ЗК

 

Жадный алгоритм – алгоритм нахождения наикратчайшего расстояния путём выбора самого короткого, ещё не выбранного ребра, при условии, что оно не образует цикла с уже выбранными рёбрами. “Жадным” этот алгоритм назван потому, что на последних шагах приходится жестоко расплачиваться за жадность.

П осмотрим, как поведет себя при решении ЗК жадный алгоритм. Здесь алгоритм превратится в стратегию “иди в ближайший, в который еще не входил, город”. Жадный алгоритм, очевидно, бессилен в этой задаче. Рассмотрим для примера сеть на рис. 2, представляющую узкий ромб. Пусть коммивояжер стартует из города 1. Алгоритм “иди вы ближайший город” выведет его в город 2, затем 3, затем 4; на последнем шаге придется платить за жадность, возвращаясь по длинной диагонали ромба. В результате получится не кратчайший, а длиннейший тур.

В пользу процедуры “иди в ближайший” можно сказать лишь то, что при старте из одного города она не уступит стратегии “иди в дальнейший”.

Как видим, жадный алгоритм ошибается. Можно ли доказать, что он ошибается умеренно, что полученный им тур хуже минимального, положим, в 1000 раз? Мы докажем, что этого доказать нельзя, причем не только для жадного алгоритма, а для алгоритмов го­раздо более мощных. Но сначала нужно договориться, как оценивать погрешность неточных алгоритмов, для определенности, в задаче минимизации. Пусть f_B - настоящий минимум, а f_A - тот квазиминимум, который получен по алгоритму. Ясно, что f_A/ f_B≥1, но это – тривиальное утверждение, что может быть погрешность. Чтобы оценить её, нужно «зажать» отношение оценкой сверху:

f_A/f_B ≥ 1+nε (8)

где, как обычно в высшей математике, ε≥0, но, против обычая, может быть очень большим. Величина ε и будет служить мерой погрешности. Если алгоритм минимизации будет удовлетворять неравенству (8), мы будем говорить, что он имеет погрешность ε.

Предположим теперь, что имеется алгоритм А решения ЗК, погрешность которого нужно оценить. Возьмем произвольный граф G(V,E) и по нему составим входную матрицу ЗК:

С[i,j]={	1, если ребро (i,j) принадлежит Е
	1+nε, в противном случае

Если в графе G есть гамильтонов цикл, то минимальный тур проходит по этому циклу и f_B = n. Если алгоритм А тоже всегда будет находить этот путь, то по результатам алгоритма можно судить, есть ли гамильтонов цикл в произвольном графе. Однако, не переборного алгоритма, который мог бы ответить, есть ли гамильтонов цикл в произвольном графе, до сих пор никому не известно. Таким образом, наш алгоритм А должен иногда ошибаться и включать в тур хотя бы одно ребро длины 1+nε. Но тогда f_A ³ (n-1)+(1+nε) так что f_A/f_B = 1+nε, т.е. превосходит погрешность ε на заданную неравенством (8). О величине ε в нашем рассуждении мы не договаривались, так что ε может быть произвольно большим.

Таким образом доказана следующая теорема.

Либо алгоритм А определяет, существует ли в произвольном графе гамильтонов цикл, либо погрешность А при решении ЗК может быть произвольно велика.

Это соображение было впервые опубликовано Сани и Гонзалесом в 1980 г. Теорема Сани-Гонзалеса основана на том, что нет никаких ограничений на длину ребер. Теорема не проходит, если расстояния подчиняются неравенству треугольника (7).

 

Входные данные.

Алгоритм метода ветвей и границ предназначен для нахождения минимального гамильтонова контура на графе с N вершинами. В матрице расстояний задачи коммивояжера если между вершинами i и j нет дуги, то ставится символ "бесконечность". Этот же символ ставится по диагонали, что означает запрет на возвращение в вершину, через которую уже проходил контур.

Идея алгоритма.

Основная идея метода состоит в том, что вначале строят нижнюю границу длин множества гамильтоновых контуров ω⁰. Затем множество контуров разбивается на два подмножества таким образом, чтобы первое подмножество ω¹_ij состояло из гамильтоновых контуров, содержащих некоторую дугу (i,j), а другое подмножество ω¹_{not ij} не содержало этой дуги. Для каждого из подмножеств определяются нижние границы по тому же правилу, что и для первоначального множества гамильтоновых контуров. Полученные нижние границы подмножеств ω¹_ij и ω¹_{not ij} оказываются не меньше нижней границы всего множества гамильтоновых контуров, т.е.

Ф(ω⁰)<=Ф¹_ij,

Ф(ω⁰)<=Ф¹_{not ij}

Сравнивая нижние границы Ф¹_ij и Ф¹_{not ij}, можно выделить среди них то, которое с большей вероятностью содержит гамильтонов контур минимальной длины.

Затем одно из подмножеств ω¹_ij или ω¹_{not ij} по аналогичному правилу разбивается на два новых ω²_ij и ω²_ij. Для них снова отыскиваются нижние границы Ф²_ij и Ф²_{not ij} и т.д. Процесс ветвления продолжается до тех пор, пока не отыщется единственный гамильтонов контур. Его называют первым рекордом. Затем просматривают оборванные ветви. Если их нижние границы больше длины первого рекорда, то задача решена. Если же есть такие, для которых нижние границы меньше, чем длина первого рекорда, то подмножество с наименьшей нижней границей подвергается дальнейшему ветвлению, пока не убеждаются, что оно не содержит лучшего гамильтонова контура.

Если же такой найдется, то анализ оборванных ветвей продолжается относительно нового значения длины контура. Его называют вторым рекордом. Процесс решения заканчивается, когда будут проанализированы все подмножества.

Для практической реализации метода ветвей и границ применительно к задаче коммивояжера нужно указать прием определения нижних границ подмножеств и разбиения множества гамильтоновых контуров на подмножества (ветвление).

Определение нижних границ

Если к элементам любого ряда матрицы задачи коммивояжера (строке или столбцу) прибавить или вычесть из них некоторое число, то от этого оптимальность плана не изменится. Длина же любого гамильтонова контура изменится на данную величину.

Для того, чтобы найти нижнюю границу вычтем из каждой строки число, равное минимальному элементу этой строки, вычтем из каждого столбца число, равное минимальному элементу этого столбца. Полученная матрица называется приведенной по строкам и столбцам. Сумма всех вычтенных чисел называется константой приведения.

Константа приведения может быть выбрана в качестве нижней границы длины гамильтоновых контуров.

Генетические алгоритмы

 

Пусть дана некоторая сложная функция (целевая функция), зависящая от нескольких переменных, и требуется найти такие значения переменных, при которых значение функции максимально. Задачи такого рода называются задачами оптимизации и встречаются на практике очень часто.

Г енетический алгоритм - это простая модель эволюции в природе, реализованная в виде компьютерной программы. В нем используются как аналог механизма генетического наследования, так и аналог естественного отбора. При этом сохраняется биологическая терминология в упрощенном виде. Вот как моделируется генетическое наследование:

Хромосома	Вектор (последовательность) из нулей и единиц. Каждая позиция (бит) называется геном.
Индивидуум = генетический код	Набор хромосом = вариант решения задачи.
Кроссовер	Операция, при которой две хромосомы обмениваются своими частями.
Мутация	Случайное изменение одной или нескольких позиций в хромосоме.

Чтобы смоделировать эволюционный процесс, сгенерируем вначале случайную популяцию - несколько индивидуумов со случайным набором хромосом (числовых векторов). Генетический алгоритм имитирует эволюцию этой популяции как циклический процесс скрещивания индивидуумов и смены поколений.

Жизненный цикл популяции - это несколько случайных скрещиваний (посредством кроссовера) и мутаций, в результате которых к популяции добавляется какое-то количество новых индивидуумов. Отбором в генетическом алгоритме называется процесс формирования новой популяции из старой популяции, после чего старая популяция погибает. После отбора к новой популяции опять применяются операции кроссовера и мутации, затем опять происходит отбор, и так далее.

Отбор в генетическом алгоритме тесно связан с принципами естественного отбора в природе следующим образом:

Приспособленность индивидуума	Значение целевой функции на этом индивидууме.
Выживание наиболее приспособленных	Популяция следующего поколения формируется в соответствии с целевой функцией. Чем приспособленнее индивидуум, тем больше вероятность его участия в кроссовере, т.е. размножении.

Таким образом, модель отбора определяет, каким образом следует строить популяцию следующего поколения. Как правило, вероятность участия индивидуума в скрещивании берется пропорциональной его приспособленности. Часто используется так называемая стратегия элитизма, при которой несколько лучших индивидуумов переходят в следующее поколение без изменений, не участвуя в кроссовере и отборе. В любом случае каждое следующее поколение будет в среднем лучше предыдущего. Когда приспособленность индивидуумов перестает заметно увеличиваться, процесс останавливают и в качестве решения задачи оптимизации берут наилучшего из найденных индивидуумов.

Генетический алгоритм - новейший, но не единственно возможный с пособ решения задач оптимизации. С давних пор известны два основных пути решения таких задач - переборный и локально-градиентный. У этих методов свои достоинства и недостатки, и в каждом конкретном случае следует подумать, какой из них выбрать.

Рассмотрим достоинства и недостатки стандартных и генетических методов на примере классической задачи коммивояжера (TSP - traveling salesman problem). Суть задачи состоит в том, чтобы найти кратчайший замкнутый путь обхода нескольких городов, заданных своими координатами. Оказывается, что уже для 30 городов поиск оптимального пути представляет собой сложную задачу, побудившую развитие различных новых методов (в том числе нейросетей и генетических алгоритмов).

Каждый вариант решения (для 30 городов) - это числовая строка, где на j-ом месте стоит номер j-ого по порядку обхода города. Таким образом, в этой задаче 30 параметров, причем не все комбинации значений допустимы. Естественно, первой идеей является полный п еребор всех вариантов обхода.

Переборный метод наиболее прост по своей сути и тривиален в программировании. Для поиска оптимального решения (точки максимума целевой функции) требуется последовательно вычислить значения целевой функции во всех возможных точках, запоминая максимальное решение. Недостатком этого метода является большая вычислительная стоимость. В частности, в задаче коммивояжера потребуется просчитать длины более 1 0³⁰ вариантов путей, что совершенно нереально. Однако, если перебор всех вариантов за разумное время возможен, то можно быть абсолютно уверенным в том, что найденное решение действительно оптимально.

Второй популярный способ основан на методе градиентного спуска. При этом вначале выбираются некоторые случайные значения параметров, а затем эти значения постепенно изменяют, добиваясь наибольшей скорости роста целевой функции. Дост игнув локального максимума, такой алгоритм останавливается, поэтому для поиска глобального оптимума потребуются дополнительные усилия.

Градиентные методы работают очень быстро, но не гарантируют оптимальности найденного решения. Они идеальны для применения в так называемых унимодальных задачах, где целевая функция имеет единственный локальный максимум (он же - глобальный). Легко видеть, что задача коммивояжера унимодальной не является.

Типичная практическая задача, как правило, мультимодальна и многомерна, то есть содержит много параметров. Для таких задач не существует ни одного универсального метода, который позволял бы достаточно быстро найти абсолютно точное решение.

Однако, комбинируя переборный и градиентный методы, можно надеяться получить хотя бы приближенное решение, точность которого будет возрастать при увеличении времени расчета.

Генетический алгоритм представляет собой именно такой комбинированный метод. Механизмы с крещивания и мутации в каком-то смысле реализуют переборную часть метода, а отбор лучших решений - градиентный спуск. На рисунке показано, что такая комбинация позволяет обеспечить устойчиво хорошую эффективность генетического поиска для любых типов задач.

Итак, если на некотором множестве задана с ложная функция от нескольких переменных, то генетический алгоритм - это программа, которая за разумное время находит точку, где значение функции достаточно близко к максимально возможному. Выбирая приемлемое время расчета, мы получим одно из лучших решений, которые вообще возможно получить за это время.

 

Список литературы

 

1. В.М. Бондарев, В.И. Рублинецкий, Е.Г. Качко. Основы програм­мирования, 1998 г.

2. Н. Кристофидес. Теория графов: алгоритмический подход, Мир, 1978 г.

3. Ф.А. Новиков. Дискретная математика для программистов, Пи­тер, 2001 г.

4. В.А. Носов. Комбинаторика и теория графов, МГТУ, 1999 г.

5. О. Оре. Теория графов, Наука, 1982 г.

6. www.codenet.ru

7. www.algolist.ru

1000 76 43 38 51 42 19 80
42 1000 49 26 78 52 39 87
48 28 1000 36 53 44 68 61
72 31 29 1000 42 49 50 38
30 52 38 47 1000 64 75 82
66 51 83 51 22 1000 37 71
77 62 93 54 69 38 1000 26
42 58 66 76 41 52 83 1000

Эйлеровы и гамильтоновы графы

Министерство народного образования Республики Дагестан

Дагестанский Государственный Университет

 

Курсовая работа