Если функция  непрерывна на интервале , то она имеет на этом интервале первообразную, т.е. существует неопределённый интеграл на интервале  этой функции.

В этом случае функция  называется интегрируемой в интервале .

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.

Доказательство. По определению неопределённого интеграла , где  - первообразная для функции , т.е. . Тогда . Что и требовалось доказать.

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.

Доказательство. Вспомним формулу нахождения дифференциала функции . . Что и требовалось доказать.

3. Интеграл от дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной.

Доказательство. Т.к. , то  (т.к. ).

4. Если функции  и  интегрируемы на интервале , то их сумма тоже интегрируема на интервале , причём .

Равенство, содержащее интеграл, понимается как совпадение двух множеств: множество всех первообразных левой части должно совпадать с множеством функций правой части.

Доказательство. Пусть  и  - это первообразные для функций  и  (первообразные существуют, т.к. существуют интегралы).

Тогда  и , при этом , , где  - произвольные постоянные. Сложим эти равенства.

. Т.к.  принимают любые постоянные значения, их сумма даёт любые действительные числа, обозначим .

                         .                    (1)

С другой стороны, функция  является первообразной для функции . Покажем это . Тогда по определению неопределённого интеграла

                          .                      (2)

Правые части (1) и (2) совпадают, значит, совпадают и левые части, т.е. интеграл суммы равен сумме интегралов.

5. Если  интегрируема в интервале , то функция , где , тоже интегрируема в интервале , причём .

Доказательство. Т.к. существует , то

                                        ,                                   (1)

где  - первообразная для , . Т.к. , то умножим обе части равенства (1) на , получим

                                           ,                                       (2)

где  принимает любые действительные значения. Легко доказать, что функция  является первообразной для : . Поэтому

                                           .                                       (3)

Из (2) и (3) следует .

Таблица интегралов элементарных функций

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.

17.

18.

19.

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование – подынтегральную функцию преобразовывают так, чтобы возникли табличные интегралы. Пример: .

2. Метод замены переменной (метод подстановки).

Теорема. Если функция  непрерывна на , а функция  непрерывна вместе со своей производной на , причём , и если функция  отображает  на , то имеет место формула

                                 .                            (1)

В интеграле справа мыслится , зависящее от , т.е. , где  - функция, обратная функции .

Доказательство.

1. Докажем, что функция  имеет обратную. Т.к.  непрерывна на , и , то по свойству непрерывной функции  сохраняет постоянный знак на  (доказывается методом от противного). Т.е либо , либо , а тогда функция  либо строго возрастает на , либо строго убывает на . Из непрерывности  и её монотонности на  следует, что на  для функции  существует обратная функция , . По теореме о производной обратной функции получаем, что

                                                   .                                              (2)

2. Докажем равенство (1). Докажем, что существует каждый интеграл в равенстве (1). Ссылаясь на теорему об интегрируемости (если функция непрерывна на , то она интегрируема на нём).

 непрерывна на  по условию, следовательно, существует . Рассмотрим функцию под интегралом справа.

 - сложная функция, разобьём её на цепочку более простых:

1)  непрерывна на ;

2)  непрерывна на  по условию

3) функция  отображает  на .

Выполняются все 3 условия о непрерывности сложной функции. Тогда сложная функция  непрерывна на .

Функция  непрерывна на  по условию. Тогда функция  непрерывна на  по теореме о непрерывности произведения, следовательно, интеграл в равенстве справа существует.

Чтобы доказать равенство (1) достаточно показать, что правая часть при  даёт множество первообразных для функции , которая является подынтегральной функцией слева, а для этого достаточно показать, что производная правой части по переменной  равна .

.

Примеры применения этого метода – вывод формул 15 и 12 таблицы.

.

Самостоятельно с помощью той же замены 12.

Замечание. Иногда формулу замены применяют справа налево, а именно, если интеграл имеет вид , то делают замену , , интеграл принимает вид .

Примеры: ,

3. Метод интегрирования по частям

 Теорема. Если функции  и  дифференцируемы в интервале , то имеет место формула интегрирования по частям , при условии, что оба интеграла существуют.

Доказательство.

Из дифференцируемости функций  и  в  следует, что их произведение тоже дифференцируемо в . По формуле дифференциала произведения

                                        .                                    (1)

Отсюда

                                        .                                    (2)

Проинтегрируем это равенство. Из (1) видно, что правая часть интегрируема в . Тогда интеграл в левой части (1) существует по свойству (3) интегралов.

. В результате из (2) получаем

.

При этом  не пишем.

Замечание. Выбор  и  диктуется тем, чтобы новый интеграл  был проще исходного.

Рекомендации по выбору  и , когда интеграл имеет вид , где  - алгебраическая функция,  – трансцендентная:

1. Если , то , .

2. Если , то, , .

Примеры. 1. . 2. .

Вывод формул 17 и 18 таблицы.

17.

Выпишем начало и конец формулы

,

,

.

18.

,

,

.

Вывод рекуррентной формулы 19. Обозначим ,

 -

Это рекуррентная формула, сводящая вычисление интеграла с показателем степени  к интегралу такого же вида степени . Формулу применяют, пока не придут к табличному интегралу.