Первообразная и неопределённый интеграл

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Первообразная и неопределённый интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по её производной или дифференциалу.

О. Функция называется первообразной для функции на интервале , если в каждой точке этого интервала , т.е. это такая функция, производная которой равна . Например, - первообразная для функции .

Свойства первообразных:

1. Если – первообразная для функции на интервале , то и функция является первообразной для функции на интервале при любом постоянном С.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что . Тогда , следовательно, - первообразная для функции на интервале (a, b) при любом постоянном С.

2. Если функции и являются первообразными для функции на интервале , то их разность постоянна.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что , . Тогда , следовательно, по достаточному условию постоянства функции.

Из этих свойств следует, что если функция имеет хотя бы одну первообразную в интервале , то она имеет бесчисленное множество первообразных, и все они содержатся в формуле , где С – любое постоянное.

О. Неопределённым интегралом функции в интервале называется множество всех её первообразных на этом интервале.

Обозначение: .

– подынтегральная функция, – подынтегральное выражение.

Таблица интегралов элементарных функций

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.

17.

18.

19.

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование – подынтегральную функцию преобразовывают так, чтобы возникли табличные интегралы. Пример: .

2. Метод замены переменной (метод подстановки).

Теорема. Если функция непрерывна на , а функция непрерывна вместе со своей производной на , причём , и если функция отображает на , то имеет место формула

. (1)

В интеграле справа мыслится , зависящее от , т.е. , где - функция, обратная функции .

Доказательство.

1. Докажем, что функция имеет обратную. Т.к. непрерывна на , и , то по свойству непрерывной функции сохраняет постоянный знак на (доказывается методом от противного). Т.е либо , либо , а тогда функция либо строго возрастает на , либо строго убывает на . Из непрерывности и её монотонности на следует, что на для функции существует обратная функция , . По теореме о производной обратной функции получаем, что

. (2)

2. Докажем равенство (1). Докажем, что существует каждый интеграл в равенстве (1). Ссылаясь на теорему об интегрируемости (если функция непрерывна на , то она интегрируема на нём).

непрерывна на по условию, следовательно, существует . Рассмотрим функцию под интегралом справа.

- сложная функция, разобьём её на цепочку более простых:

1) непрерывна на ;

2) непрерывна на по условию

3) функция отображает на .

Выполняются все 3 условия о непрерывности сложной функции. Тогда сложная функция непрерывна на .

Функция непрерывна на по условию. Тогда функция непрерывна на по теореме о непрерывности произведения, следовательно, интеграл в равенстве справа существует.

Чтобы доказать равенство (1) достаточно показать, что правая часть при даёт множество первообразных для функции , которая является подынтегральной функцией слева, а для этого достаточно показать, что производная правой части по переменной равна .

Примеры применения этого метода – вывод формул 15 и 12 таблицы.

Самостоятельно с помощью той же замены 12.

Замечание. Иногда формулу замены применяют справа налево, а именно, если интеграл имеет вид , то делают замену , , интеграл принимает вид .

Примеры: ,

3. Метод интегрирования по частям

Теорема. Если функции и дифференцируемы в интервале , то имеет место формула интегрирования по частям , при условии, что оба интеграла существуют.

Доказательство.

Из дифференцируемости функций и в следует, что их произведение тоже дифференцируемо в . По формуле дифференциала произведения

. (1)

Отсюда

. (2)

Проинтегрируем это равенство. Из (1) видно, что правая часть интегрируема в . Тогда интеграл в левой части (1) существует по свойству (3) интегралов.

. В результате из (2) получаем

При этом не пишем.

Замечание. Выбор и диктуется тем, чтобы новый интеграл был проще исходного.

Рекомендации по выбору и , когда интеграл имеет вид , где - алгебраическая функция, – трансцендентная:

1. Если , то , .

2. Если , то, , .

Примеры. 1. . 2. .

Вывод формул 17 и 18 таблицы.

17.

Выпишем начало и конец формулы

18.

Вывод рекуррентной формулы 19. Обозначим ,

Это рекуррентная формула, сводящая вычисление интеграла с показателем степени к интегралу такого же вида степени . Формулу применяют, пока не придут к табличному интегралу.