К настоящему времени детали общей модели для отображения и обработки XML-расширений в HTML в основном ясны, в отличие от ситуации, когда была принята MathML 1.0 Recommendation. Предполагается, что свойства форматирования (Formatting Properties), разработанные Cascading Style Sheets и Formatting Properties Working Group для CSS и доступные через Document Object Model (DOM), будут применяться для элементов MathML, чтобы получить стилистический контроль над представлением MathML. Дальнейшая разработка свойств форматирования проводится внутри рабочих групп CSS&FP и XSL.

На данный момент механизмы таблиц стилей не способны обеспечить непосредственное отображение MathML браузером, поэтому необходимо расширить возможности браузеров, используя встроенные объекты (embedded elements) для отображения MathML. Уже возможно использовать в браузере встроенный ограниченный механизм отображения для обработки встроенной XML-разметки, такой как MathML, и обеспечивать взаимодействие ее с окружающей web-страницей, однако, результаты пока не полностью соответствуют пожеланиям.

Для специализированной обработки, такой как связь с системами компьютерной алгебры, возможность внешнего вызова других программ останется особенно необходимой. Для того чтобы сложное взаимодействие между браузерами и встроенными объектами было удовлетворительным, необходимо определить достаточно богатую объектную модель документа. По этой причине W3C Math Working Group тесно сотрудничает с Document Object Model (DOM) Working Group.

Для обработки встроенных элементов и для многосторонней связи между научным программным обеспечением модель таблиц стилей в некоторых случаях далека от идеала. Это может наложить дополнительные сложности реализации в системе, когда можно получить некоторые преимущества, и это накладывает требования к реализации взаимодействия между браузерами и встроенными механизмами отображения, что, вероятно, будет недоступно в ближайшем будущем.

По этим причинам спецификация MathML определяет атрибут-ориентированную модель, которая показала себя в нескольких независимых приложениях, как очень эффективная для высококачественного отображения сложных математических выражений. Атрибуты представления MathML, где это возможно, используют свойства форматирования W3C. Также, элементы MathML допускают атрибуты class, style и id для обеспечения совместимости с традиционными таблицами стилей CSS. Однако, в настоящее время, имеется немного реализаций, где технология CSS используется при отображении MathML.

Использование механизма стилевых таблиц CSS уже упоминалось выше. Механизмы XSL также недавно стали доступны для преобразования XML-документов в формат отображения. Действительно, альтернативные варианты этой рекомендации, включая определяющую HTML-версию, были получены из XML-источника, используя средства языка трансформаций XSL. Поскольку разработки в этом направлении доступны для MathML, ожидается, что их использование станет доминирующим методом стилистического контроля представлением MathML, который предлагается для использования в отображающих средах, поддерживающих эти механизмы.

Обзор MathML

Главной проблемой создания математического языка разметки для применения в Сети является необходимость задавать одновременно представление математической нотации и содержание представляемых математических идеи или объекта.

Отношение математической нотации и математической идеи - тонкая вещь. Формально, математическая логика поднимает вопросы о соответствии между системами символьной логики и явлениями, которые они моделируют. На интуитивном уровне, каждый, кто использовал математическую нотацию, знает как важен правильный выбор нотации; символическая структура нотации предлагает структуру логическую. Например, нотация Лейбница для производных предлагает цепь правил вычисления через символические дроби.

Математики и учителя очень хорошо интуитивно чувствуют это; часть их работы как раз и состоит в выборе нотации, которая подчеркивает ключевые аспекты проблемы и скрывает или уменьшает несущественные. В математике очень часто пишут что-либо, хотя строгое значение этого является совсем другим, потому что опыт показывает, что это значительно лучше передает идею на высоком уровне, чем строгие детали.

В других случаях, математическая нотация используется для записи полного, точного значения свойств математического объекта. Математическая нотация может быть потрясающе строгой и при аккуратном использовании полностью свободной от неоднозначности. Более того, это отсутствие неоднозначности делает возможным описать математические объекты так, что они могут быть использованы в компьютерных приложениях, таких как системы компьютерной алгебры и системы воспроизведения речи. В ситуации, когда главным является взаимодействие между приложениями, детали визуального представления играют минимальную роль.

MathML позволяет авторам записывать как нотацию, представляющую математический объект, и саму математическую структуру объекта. Более того, авторы могут смешивать оба типа записи для определения представления и содержания математической идеи. Оставшаяся часть этого раздела дает основное представление о том, как MathML может быть использован для каждой из этих целей.

Таксономия элементов MathML

Все элементы MathML делятся на три группы: элементы представления, элементы содержания и интерфейсные элементы.

Элементы представления описывают визуально ориентированную двухмерную структуру математической нотации. Типичным примером является элемент mrow, который обычно применяется для обозначения горизонтального ряда частей выражения, и элемент msup, который отмечает верхний индекс. Как правило, каждый элемент представления соответствует одному типу нотационной схемы, такой как ряд, верхний индекс, нижний индекс и так далее. Любая формула состоит из частей, которые могут состоять из простейших элементов таких как цифры, буквы или другие символы.

Хотя предыдущий абзац связан с аспектом отображения математической нотации, и, следовательно, разметкой представления, те же самые рассуждения о декомпозиции применимы к абстрактным математическим объектам, а значит и разметке содержания. Например, в контексте разметки содержания верхний индекс обычно обозначает операцию потенцирования, требующую двух операндов: 'основания' и 'показателя'. Это ни коим образом не является совпадением, так как обычно математическая нотация тесно связана с логической структурой рассматриваемых математических объектов.

Рекурсивная природа математических объектов и нотации отражена в разметке MathML. Большинство элементов представления и содержания содержат в себе другие элементы MathML, отвечающие за части, из которых рекурсивно построен исходный объект. Первоначальная схема обычно называется родительской, а части - дочерними. В общем, выражения MathML можно представить в виде деревьев, где каждый узел соответствует элементу MathML, ветвь под 'родительским' узлом соответствует 'дочерним' узлам, и листья дерева соответствуют атомарным элементам нотации или содержания, таким как числа, символы и т.д.

Большинство элементов-листьев в дереве выражения MathML или канонические пустые элементы без тела, или токены. Канонические пустые элементы отображают символы в MathML, например, это делает элемент содержания <plus/>. Токены - единственные элементы MathML, которые могут содержать текстовые данные. Текстовые данные в MathML содержат символы Unicode и специальные символьные конструкции, сделанные с помощью элемента mglyph. Третьим типом элементов-листьев в MathML являются комментарии, используемые для хранения данных, формат которых отличен от формата MathML.

Наиболее важными токенами представления являются mi, mn и mo, используемые для представления идентификаторов, чисел и операторов соответственно. Обычно эти элементы отображаются разными стилями: числа - прямым шрифтом, идентификаторы - наклонным, вокруг операторов оставляется дополнительное свободное пространство. В разметке содержания содержится только три токена, ci, cn и csymbol, для идентификаторов, чисел и новых введенных в документ символов соответственно. В разметке содержания существуют различные элементы для часто используемых функций и операторов. Элемент apply применяется для пользовательского расширения стандартного набора.

В терминах разметки, большинство элементов MathML определяются открывающим и закрывающим тегами, которые ограничивают содержание элемента. В случае токенов содержимое является текстовыми данными, в большинстве остальных случаев - разметкой дочерних элементов. Элементы третьей категории, называемые каноническими пустыми элементами, не требуют никакого содержания и определяются одиночным тегом вида <name/>. Примером может служить элемент <plus/> в разметке содержания.

Давайте возьмем для примера выражение (a + b) ² и рассмотрим на практике описанные выше принципы. Одним из вариантов разметки представления для этого выражения будет такой:

<mrow>

<msup>

<mfenced>

<mrow>

<mi>a</mi>

<mo>+</mo>

<mi>b</mi>

</mrow>

</mfenced>

<mn>2</mn>

</msup>

</mrow>

Этот пример демонстрирует использование различных элементов представления. Первый элемент, очень широко используемый, это элемент mrow. Он используется для обозначения ряда данных с выравниванием по горизонтали. Данные, содержащиеся между тегами <mrow> и </mrow> рассматриваются как аргумент элемента mrow. Таким образом, в элементе mrow содержится целое выражение. Как было замечено ранее, большинство математических выражений состоят из подвыражений. Эти подвыражения, в свою очередь, также содержатся в элементе mrow. Например, a + b также содержится в mrow.

Элемент mfenced используется для ограничения формул различными типами скобок. По умолчанию используются круглые скобки.

Обратите внимание на использование элемента mi для отображения переменных a и b и элемента mo для выделения оператора +.

Элемент msup применяется в выражениях с верхними индексами и имеет два аргумента: основание (в нашем случае (a+b)) и показатель (в нашем случае 2).

Разметка содержания для того же примера будет иметь вид:

<mrow>

<apply>

<power/>

<apply>

<plus/>

<ci>a</ci>

<ci>b</ci>

</apply>

<cn>2</cn>

</apply>

</mrow>

Элемент apply обозначает применение операции к выражению. В нашем примере применяются пустой элемент power (для возведения в степень) и аналогичный элемент plus (для сложения). Обратите внимание, что оба оператора имеют два аргумента. Но если в случае возведения в степень их порядок важен лишь отчасти, то в случае применения apply он имеет ключевое значение, так как первый дочерний элемент является оператором, принимающим остальные в качестве аргумента.

Обратите внимание на использование элемента ci для выделения переменных a и b, и элемента cn для выделения числа 2.

Разметка представления

Разметка представления MathML состоит из приблизительно 30 элементов, которые имеют более 50 атрибутов. Большинство элементов представляют из себя схемы форматирования, которые содержат в себе другие элементы представления. Каждая схема соответствует двумерному фрагменту нотации, такому как верхний или нижний индекс, дробь или таблица. Кроме того, в разметке представления есть описанные выше токены mi, mo и mn и несколько других, которые используются не так часто. Несколько оставшихся элементов представления - это пустые элементы, связанные, в основном, с выравниванием.

Все схемы форматирования делятся на несколько классов. Одна группа элементов отвечает за индексы и содержит такие элементы, как msub munder, и mmultiscripts. Другая отвечает за более общее форматирование и включает элементы mrow, mstyle и mfrac. Третья группа реализует работу с таблицами. Элемент maction образует еще одну категорию и позволяет кодировать различные типы действий над нотацией, встречающиеся в выражениях, которые toggles between two pieces of notation.

Схемы форматирования обладают важным свойством: важен порядок их дочерних элементов. Например, первый дочерний элемент схемы mfrac является числителем дроби, а второй - знаменателем. Так как порядок дочерних элементов не задается на уровне XML с помощью MathML DTD, информация о порядке доступна только препроцессору MathML, в отличие от общего препроцессора XML. Когда мы хотим подчеркнуть, что элементы MathML, такие как mfrac, требуют указания дочерних элементов в определенном порядке, мы рассматриваем их как аргументы, а mfrac - как 'конструктор' нотации.

Разметка содержания

Разметка содержания содержит около 120 элементов, принимающих около дюжины атрибутов. Большинство этих элементов - пустые, соответствующие различным математическим операторам, зависимостям и функциям. В качестве примера можно привести partialdiff, leq и tan. Другие, такие как matrix и set, используются для представления различных типов математических данных. Третья важная категория элементов разметки содержания, такая как apply, используется для применения к выражениям операций и создания новых математических объектов.

Возможно, одним из наиболее важных элементов содержания является apply. Он используется для применения функции или операции к набору аргументов. Здесь также важно положение дочерних элементов: первый дочерний элемент указывает применяемую функцию, остальные - аргументы в соответствующем порядке. Надо отметить, что конструкция apply всегда использует префиксную нотацию, как язык программирования LISP. В частности, даже бинарные операторы, такие как вычитание, описываются применением префиксного оператора вычитания к двум аргументам. Например, a - b будет описано так:

<mrow>

<apply>

<minus/>

<ci>a</ci>

<ci>b</ci>

</apply>

</mrow>

Многие функции и операции, для того чтобы четко определенными, требуют одного или нескольких кванторов. Например, кроме подинтегрального выражения у определенного интеграла должны быть заданы пределы интегрирования и переменная, по которой происходит интегрирование. По этой причине существует несколько схем-спецификаторов вроде bvar и lowlimit. Они используются с операторами diff и int.

Конструкция declare особенно важна для разметки содержания, которая может обрабатываться системами компьютерной алгебры. Элемент declare реализует основной механизм присваивания, когда может быть объявлена переменная определенного типа с определенным значением.

И в примерах разметки представления, и в примерах разметки содержания математические выражения рекурсивно разлагаются на вложенные, более простые элементы MathML, определяющие стадию декомпозиции. В следующем разделе это проиллюстрировано на более сложных примерах.