MathML (Mathematical Markup Language)

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

MathML (Mathematical Markup Language)

MathML (Mathematical Markup Language) представляет собой язык разметки математических приложений, основанный на XML. Он был разработан Консорциумом WWW (W3C) и принят в качестве Рекомендации. Текущей версией является Mathematical Markup Language (MathML) Version 2.0 (Second Edition), утвержденной 21 октября 2003 года.

MathML реализует две "точки зрения" на математическую разметку. Один из ее видов - это разметка представления (Presentation Markup), которая описывает визуальную форму представления математической формулы. Второй - разметка содержания (Content Markup), выражающая семантическое содержание.

MathML рассматривает не только представление, но и смысл элементов формулы. Также разрабатывается система разметки математической семантики, призванная дополнить MathML. Она называется OpenMath.

Истоки и цели

История MathML

Задача представления математической информации для компьютерной обработки и электронных средств коммуникации возникла задолго до появления Интернета. Раньше общей практикой для ученых была запись статей в неком виде, основанном на ASCII-символах и дальнейшая пересылка их друг другу по электронной почте. Несколько языков математической разметки, в частности T_EX, уже широко использовались в 1992 году, еще до того, как Сеть заняла столь значимое положение.

С самого начала Сеть зарекомендовала себя, как весьма эффективный способ сделать информацию доступной большому количеству людей. Однако, даже при том, что World Wide Web была изначально задумана и реализована учеными для ученых, возможности для включения математических выражений в HTML были крайне ограничены. В настоящее время, большая часть математической информации в Сети представлена в виде текста с графическими изображениями научных выражений (в формате GIF или JPEG) или в виде целых документов в формате PDF.

Консорциум World Wide Web (W3C) понимал, что отсутствие основ для научной коммуникации является серьезной проблемой. Уже в 1994 году Dave Raggett внес предложение о включении HTML Math в прототип HTML 3.0. На конференции в Дармштадте в апреле 1995 года был проведен круглый стол по математической разметке. В ноябре того же года представители Wolfram Research выдвинули предложение команде W3C о реализации поддержки математики в рамках HTML. Важную роль в объединении многих заинтересованных сторон сыграла проведенная в мае 1996 года встреча Digital Library Initiative в Champaign-Urbana. Результатом этой встречи стало формирование редакционного наблюдательного совета по HTML Math. Впоследствии эта рабочая группа разрослась, и в марте 1997 года была формально повторно сформирована как первая W3C Math Working Group. Вторая W3C Math Working Group была сформирована в июле 1998 года.

Проект MathML отражает интересы и мнения различных групп специалистов. Многое в развитии MathML заслуживает специального упоминания. Например, это касается вопроса общедоступности, где были особенно ощутимые затруднения. В этом направлении много работы проделал T. V. Raman. Neil Soiffer и Bruce Smith из Wolfram Research поделились своим опытом в решении проблем представления математического материала, накопленным при работе над проектом Mathematica 3.0. Их идеи оказали важное влияние на структуру элементов представления. Paul Topping из Design Science также внес свой вклад в математическое форматирование и редактирование. Много пользы извлек MathML из партнерства с рядом членов рабочих групп, связанных с другими работами по кодированию математической информации в SGML и в сообществах компьютерной алгебры. В их числе Stephen Buswell из Stilo Technologies, Nico Poppelier из Elsevier Science Stéphane Dalmas из INRIA (Sophia Antipolis), Stan Devitt из Waterloo Maple, Angel Diaz и Robert S. Sutor из IBM, и Stephen M. Watt из University of Western Ontario. Также, на MathML повлиял проект OpenMath, работа рабочей группы ISO 12083 и работа Stilo Technologies над фрагментом DTD для 'семантической' математики. Американское математическое общество играло ключевую роль в развитии MathML. Помимо прочего, председателями обеих W3C Math Working Group стали представители этой организации. С мая 1996 по март 1997 года группу вел Ron Whitney. Patrick Ion был сопредседателем группы с марта 1997 по июнь 1998 вместе с Robert Miner из The Geometry Center, а с июля 1998 вместе с Angel Diaz из IBM.

Ограниченность HTML

Спрос на эффективные средства обмена научной информацией остается по-прежнему высоким. Все больше и больше исследователей, ученых, инженеров, учителей, студентов, работая в различных местах земного шара, полагаются на электронные средства коммуникации. В тоже время, методы распространения научной нотации, основанные на графическом представлении, преобладающие сейчас в Сети, примитивны и неадекватны. Качество документов оставляет желать лучшего, создание - сложно, а математическая информация, содержащаяся в картинках, не доступна для поиска, индексации и повторного использования в других приложениях.

Существует две основных проблемы с использованием HTML.

Проблема отображения. Рассмотрим уравнение 2²^x=10. Размеры изображения подобраны так, чтобы соответствовать окружающему тексту размера 14 pt в системе, где оно было создано. Естественно, что в других системах или при другом размере текста уравнение будет выглядеть не так, как задумывал автор. Кроме того, изображение с этим уравнением создавалось в предположении, что у документа будет белый фон. Таким образом, если читатель или браузер установит другой цвет страницы, то в результате вокруг текста возникнет белый "ореол".

Далее рассмотрим уравнение

которое служит примером выравнивания горизонтальной оси изображения по верху строчных букв в окружающем тексте. В этом уравнении присутствует знаменатель, и базисная линия располагается на расстоянии около одной трети от низа изображения. Это уравнение, например, можно разместить так:

то есть так, чтобы горизонтальная ось изображения и базисная линия уравнения совпадали, но это приведет к проблемам с межстрочными интервалами. В результате этого текст станет тяжело читаемым. Кроме того, вертикальное выравнивание по центру отличается в различных браузерах, делая невозможным гарантировать правильное расположение формул для различных пользователей.

Уравнения, оформленные в виде изображений, обычно труднее воспринимать, чем окружающий текст. Более того, эти проблемы только увеличиваются, если документ напечатать. Разрешение изображений около 70 точек на дюйм, тогда как окружающий текст обычно имеет 300, 600 или более точек. Такая разница в качестве неприемлема для большинства людей.

Проблемы кодирования. Попытаемся найти в этом документе фрагмент, например, '=10' первого уравнения выше. Или попробуем скопировать и вставить уравнение в другое приложение; более того, попробуем скопировать и вставить только фрагмент уравнения. При использовании методов, основанных на графическом представлении, ни одна из этих задач не может быть решена. И хотя использование атрибута alt в документе может немного помочь, ясно, что интерактивные web - документы должны предоставлять более продвинутый интерфейс между браузерами и математической информацией.

Другая проблема использования изображений для математических объектов - необходимость высокой пропускной способности канала связи. Представление уравнения разметкой обычно меньше по объему и лучше сжимаемо по сравнению с представлением в виде изображения. Кроме того, при использовании разметки для записи уравнений большая часть работы по отображению перекладывается на клиентскую машину.

Требования к математической разметке

Некоторые проблемы, связанные с включением математических выражений в HTML-документ в виде изображений, могут быть решены с помощью улучшения обработки последних браузерами. Хотя, даже если такое и произойдет, останется проблема доступа к информации, содержащейся в математических выражениях из других приложений. Поэтому, в будущем, улучшение методов, основанных на графическом представлении неперспективно. Для полной интеграции математического материала в web-документ необходимо представление математической нотации с помощью языка разметки.

При создании любого языка разметки необходимо тщательно учесть потребности его потенциальных пользователей. В случае с MathML область применения простирается от сферы образования до сферы исследований и даже бизнеса.

Сфера образования является большой и важной областью, в которой должна быть обеспечена возможность размещения в Сети научных материалов для занятий. В тоже время, преподаватели ограничены во времени и оборудовании, и обычно останавливаются перед сложностью создания технических web-документов. Студенты и преподаватели должны иметь возможность быстро и легко создавать математические документы, используя интуитивно понятные, легкие для изучения и "дешевые" инструменты.

Электронные учебники - другой способ использования Сети, который потенциально очень важен для образования. Известный специалист по управлению Peter Drucker прогнозировал конец эпохи построения системы высшего образования вокруг больших университетских городков и начало ее распространения через Сеть. Электронные учебники должны быть более интерактивными и позволять связывать текст с научным программным обеспечением.

Академические и коммерческие исследовательские группы постоянно выпускают большое количество научного материала. Все больше и больше научных публикаций размещается в базах данных, таких как довольно известный архив препринтов по физике и математике Национальной Лаборатории в Лос-Аламосе (Los Alamos). В особенности это относится к некоторым областям физики и математики, где цены на академические журналы весьма высоки. К тому же, базы данных с информацией о математических исследованиях, такие как Mathematical Reviews и Zentralblatt für Mathematik, предлагают огромное количество ссылок на содержащиеся в Сети математические документы.

Для соответствия требованиям исследовательского сообщества, язык математической разметки должен упростить обслуживание и работу с большими объемами документов, где крайне важны автоматический поиск и индексация. Из-за большого количества уже существующих математических документов, особенно в формате T_EX, также немаловажно иметь возможность конвертации между существующими форматами и любым новым. И наконец, для научных исследований жизненно необходима возможность хранить информацию в архивах.

Многие ученые и инженеры используют в своей работе технические документы для обмена и записи результатов экспериментов, а также для компьютерного моделирования и проверки проведенных вычислений. Для такого рода использования методы размещения математической информации в Сети должны предоставлять стандартный способ совместного ее использования так, чтобы можно было легко ее прочитать, обработать и создавать с использованием доступных и простых инструментов.

Другое общее требование заключается в возможности отображения математического материала в других информационных средах, таких как речь или шрифт Брайля, которые крайне важны для людей с нарушением зрения.

Коммерческие издательства также заинтересованы в продвижении методов представления математической информации в Сети в различном виде от электронных версий обычных книг до интерактивных учебников и академических журналов. Издательствам требуется такой способ размещения математических документов в Сети, который бы имел возможность для высококачественного вывода, был применим для крупномасштабного коммерческого использования и, по возможности, совместим со старыми системами, в частности, на основе SGML.

Цели проекта MathML

Для соответствия различным требованиям научного сообщества MathML разрабатывался с учетом следующих условий.

MathML должен:

Представлять математический материал так, чтобы он подходил для обучения и научной коммуникации любого типа.

Представлять как математическую нотацию, так и математическое содержание.

Обеспечивать возможность преобразования между ним и другими математическим форматами, как презентационными, так и семантическими. Форматы вывода должны включать:

графическое отображение

синтезаторы речи

форматы систем компьютерной алгебры

форматы других языков, таких как T_EX

отображение в виде простого текста, например, эмуляторы VT100

печатные устройства, включая работающие со шрифтом Брайля

Понятно, что такие преобразования могут привести к некоторой потере информации.

Иметь возможность включения информации, необходимой для определенных средств отображения и других приложений.

Поддерживать корректный просмотр длинных выражений.

Обеспечивать расширяемость.

Поддерживать шаблоны и другие средства редактирования математической информации.

Быть понятным человеку и простым для программной обработки.

В независимости от того, насколько удачен MathML как язык разметки, он будет полезен только в случае грамотного его применения. W3C Math Working Group определила короткий список дополнительных целей его реализации. В нем кратко описана минимальная функциональность, которую должны обеспечивать программы отображения и обработки MathML.

Выражения MathML внутри страниц HTML (и XHTML) должны корректно отображаться в наиболее распространенных браузерах в соответствии с установками читателя и автора, при этом должно обеспечиваться качество, максимально достижимое на данной платформе.

Документы HTML (и XHTML), содержащие выражения MathML, должны корректно выводиться на печать с высоким разрешением.

Выражения MathML, включенные в web-страницы, должны реагировать на действия пользователя, такие как работа с мышью, и осуществлять взаимодействие с другими приложениями через браузер.

Редакторы и конвертеры математических выражений должны разрабатываться с учетом возможности создавать web-страницы, содержащих выражения MathML.

В ближайшее время для решения проблемы отображения планируется использовать встраиваемые элементы, такие как Java-апплеты, плагины и элементы управления ActiveX. Однако объем, в котором будет это реализовано, зависит от сотрудничества и поддержки производителей браузеров и другого програмного обеспечения. W3C Math Working Group продолжает работу с рабочими группами по Document Object Model (DOM) и Extensible Style Language (XSL), чтобы гарантировать, что нужды научного сообщества будут удовлетворены в будущем. Ясно, что MathML 2.0 является значительным шагом вперед по сравнению с MathML 1.0 Recommendation (Апрель 1998).

Роль MathML в Сети

Цели разработки MathML требуют гибкой и расширяемой системы записи математического материала, позволяющей взаимодействовать с внешними программами и осуществлять высококачественное отображение в различных информационных средах. Но любой язык разметки, удовлетворяющий всем этим требованиям, достаточно сложен.

В то же время, для многих групп пользователей, например, студентов, важно иметь простой путь для включения математических выражений в web-страницы. Аналогично, для других групп, например, для пользователей системы T_EX, лучшим решением была бы система, позволяющая непосредственное включение в web-страницы разметки при помощи языка, подобного T_EX. В общем, различным группам пользователей требуются различные формы ввода и вывода информации, наиболее соответствующие их потребностям. Следовательно, в идеале система для размещения математических документов в Сети должна предоставлять как специализированные сервисы для ввода и вывода, так и общие сервисы для обмена информацией и отображения в различных информационных средах.

На практике, обзор того, что должен обеспечивать математический стандарт в сети для специализированных и общих нужд, приводит к идее многоуровневой архитектуры. Первый уровень включает стандартные мощные средства обмена, обработки и отображения математических данных. Второй уровень включает специализированные инструменты, предназначенные для конкретных групп пользователей, с помощью которых можно легко кодировать математическую информацию для ее распространения среди ограниченного круга пользователей.

MathML создан для разметки математической информации на нижнем более общем уровнем двухуровневой архитектуры. Это предполагает разметку сложной нотационной и семантической структуры в строгой, регулярной форме, простой для обработки средствами отображения, поиска и индексации, а также другими математическими приложениями.

Вследствие этого, разметка MathML не предполагает непосредственного использования авторами. MathML понятен для человека, что сильно помогает при отладке, но во всех случаях, за исключением простейших, он слишком сложен для ручного кодирования. Вместо этого авторы должны будут использовать специальные редакторы формул, конвертеры и другие специализированные программные средства для создания документов MathML. В качестве альтернативы, некоторые программы отображения и системы поддержки математических документов могут преобразовывать другие входные форматы в MathML "на лету".

В некотором смысле MathML аналогичен другим низкоуровневым коммуникативным форматам, таким как язык PostScript, разработанный Adobe. Вы можете создавать PostScript-файлы различными способами, в зависимости от ваших потребностей: эксперты создают и правят их вручную, авторы создают их с помощью текстовых процессоров, дизайнеры - программами-иллюстраторами и так далее. Если у вас есть PostScript-файл, вы можете распространить его среди очень большой аудитории, так как устройства отображения PostScript, такие как принтеры и программы для просмотра на экране, широко доступны.

Одной из причин разработки MathML как языка разметки общего коммуникативного уровня является стимулирование разработки математического программного обеспечения Сети верхнего уровня. MathML представляет способ координирования усилий разработчиков модулей программ для создания и отображения математического материала. Упрощая разработку функциональных частей большой системы, MathML может стимулировать разработку программ, которые будут очень полезны потенциальным пользователям.

Авторы могут создавать MathML-документы, используя инструменты, лучше подходящие для их нужд. Студенты могут предпочитать визуальные редакторы формул, с возможностью сохранять блоки разметки MathML в XHTML-файле. Исследователи могут использовать пакеты компьютерной алгебры, автоматически кодирующие математическую информацию так, чтобы коллеги могли ее взять из web-страницы и обработать. Издатели академических журналов могут использовать программу, которая конвертирует разметку T_EX в HTML и MathML. Независимо от метода создания web-страницы, содержащей MathML, становятся доступны все преимущества общего коммуникативного слоя. Различные программы, работающие с MathML, могут быть использованы для одного и того же документа, чтобы вывести его в систему воспроизведения речи и на печать, а также для ввода в систему компьютерной алгебры и для управления им как частью большого архива web-документов. Для высококачественной печати математических документов в формате MathML часто проводится обратная конвертация в стандартные системы верстки, включая T_EX, который специально создан для этих целей. Наконец, можно ожидать, что в конечном счете MathML будет интегрирован в другие области, где встречаются математические формулы, такие как электронные таблицы, пакеты статистической обработки данных и средства инженерной разработки.

W3C Math Working Group сотрудничает с различными софтверными компаниями для гарантии того, что скоро появятся различные программы для работы с MathML, включая как средства создания документов, так и их отображения. Текущий список программ, работающих с MathML расположен на странице Math World Wide Web Consortium.

Первоначальная концепция HTML Math состояла в том, чтобы просто расширить набор тэгов HTML и таким образом обеспечить непосредственную интерпретацию в браузере. Однако еще до этого лавинообразный рост сети сделал понятным, что требуется глобальный механизм расширений, а математическая информация является только одним из типов структурированных данных, которые могут быть интегрированы в Сеть с помощью такого механизма.

При условии, что MathML должен интегрироваться в Сеть в качестве расширения, очень важно, чтобы MathML и использующие его программы могли хорошо взаимодействовать с существующей web-средой. В частности, MathML должен разрабатываться с учетом трех типов взаимодействия. Во-первых, для создания математического контента важно, чтобы существующие языки математической разметки могли быть преобразованы в MathML, и чтобы в существующие редакторы была добавлена возможность создания документов MathML. Во-вторых, должно обеспечиваться возможность вставлять разметку MathML в разметку HTML, как ее дополнение, в этом случае, в будущем, она будет доступна для браузеров, поисковых систем и всех типов web-приложений, которые сейчас работают с HTML. И, наконец, должна обеспечиваться возможность отображения MathML, встроенного в HTML, современными браузерами, даже если результат будет далек от идеала. С переходом от HTML к XHTML все вышеперечисленные требования станут еще более необходимыми.

World Wide Web полностью интернационален. Математика - язык, использующийся во всем мире. Математическая нотация в науке и технике тесно связана с национальными языками. W3C стремится быть конструктивной силой в распространении коммуникативных возможностей в мире. Поэтому разработчики MathML столкнулись с проблемой интернационализации. Неизвестно о несовместимости этой версии MathML с языками с написанием слева направо. Запись слева направо является стандартной в MathML 2, и понятно, что потребность в записи математических формул в текстах на некоторых национальных языках еще не возникала. Так называемая "двунаправленная технология" только разрабатывается, и лучшая поддержка формул в этом контексте - задача будущих разработок.

Механизм расширения HTML

Как отмечено выше, успех HTML привел к попыткам интеграции в Сеть различных типов данных и приложений. Каждый новый формат или приложение потенциально накладывал новые требования на HTML и производителей браузеров. Через некоторое время стало понятно, что необходим общий механизм для интеграции новых расширений в HTML. Изначально, рабочая группа начала работу с идеей о простом расширении HTML в духе первых попыток реализации поддержки математики в HTML 3.2 Но при ближайшем рассмотрении, это оказалось не такой уж и хорошей идеей. К моменту начала работ над MathML, XML стал доминирующим механизмом общих расширений.

XML расшифровывается как eXtensible Markup Language. Он создан как упрощенная версия SGML, метаязыка, используемого для определения грамматики и синтаксиса HTML. Одна из целей XML - возможность применения в Сети, и в данном случае он может быть рассмотрен как общий механизм расширений HTML. Как следует из его названия, расширяемость - основная черта XML. Авторы получили возможность объявлять и использовать новые элементы и атрибуты. В то же время, правила грамматики и синтаксиса XML требуют обеспечения регулярной структуры документа для реализации автоматической обработки и сопровождения больших объемов документов. Строго говоря, XML является удобным способом описания древовидных структур и, таким образом, может использоваться в качестве языка разметки.

К моменту образования первой W3C Math Working Group XML уже имел широкую поддержку среди фирм-разработчиков, включая основных производителей браузеров. Глобальный переход от HTML к XML важен для W3C. Промежуточным результатом работы в этом направлении стало появление рекомендации XHTML, которая определяет новую модульную форму HTML. MathML может рассматриваться как один из модулей, который очень хорошо соответствует новому формату XHTML.

Кроме того, другие XML-приложения для всех видов публикации и обработки документов обещают стать все более и более распространенными. Следовательно, как с теоретической так и с практической точки зрения, было бы логично определить MathML как XML-приложение.

Обзор MathML

Главной проблемой создания математического языка разметки для применения в Сети является необходимость задавать одновременно представление математической нотации и содержание представляемых математических идеи или объекта.

Отношение математической нотации и математической идеи - тонкая вещь. Формально, математическая логика поднимает вопросы о соответствии между системами символьной логики и явлениями, которые они моделируют. На интуитивном уровне, каждый, кто использовал математическую нотацию, знает как важен правильный выбор нотации; символическая структура нотации предлагает структуру логическую. Например, нотация Лейбница для производных предлагает цепь правил вычисления через символические дроби.

Математики и учителя очень хорошо интуитивно чувствуют это; часть их работы как раз и состоит в выборе нотации, которая подчеркивает ключевые аспекты проблемы и скрывает или уменьшает несущественные. В математике очень часто пишут что-либо, хотя строгое значение этого является совсем другим, потому что опыт показывает, что это значительно лучше передает идею на высоком уровне, чем строгие детали.

В других случаях, математическая нотация используется для записи полного, точного значения свойств математического объекта. Математическая нотация может быть потрясающе строгой и при аккуратном использовании полностью свободной от неоднозначности. Более того, это отсутствие неоднозначности делает возможным описать математические объекты так, что они могут быть использованы в компьютерных приложениях, таких как системы компьютерной алгебры и системы воспроизведения речи. В ситуации, когда главным является взаимодействие между приложениями, детали визуального представления играют минимальную роль.

MathML позволяет авторам записывать как нотацию, представляющую математический объект, и саму математическую структуру объекта. Более того, авторы могут смешивать оба типа записи для определения представления и содержания математической идеи. Оставшаяся часть этого раздела дает основное представление о том, как MathML может быть использован для каждой из этих целей.

Таксономия элементов MathML

Все элементы MathML делятся на три группы: элементы представления, элементы содержания и интерфейсные элементы.

Элементы представления описывают визуально ориентированную двухмерную структуру математической нотации. Типичным примером является элемент mrow, который обычно применяется для обозначения горизонтального ряда частей выражения, и элемент msup, который отмечает верхний индекс. Как правило, каждый элемент представления соответствует одному типу нотационной схемы, такой как ряд, верхний индекс, нижний индекс и так далее. Любая формула состоит из частей, которые могут состоять из простейших элементов таких как цифры, буквы или другие символы.

Хотя предыдущий абзац связан с аспектом отображения математической нотации, и, следовательно, разметкой представления, те же самые рассуждения о декомпозиции применимы к абстрактным математическим объектам, а значит и разметке содержания. Например, в контексте разметки содержания верхний индекс обычно обозначает операцию потенцирования, требующую двух операндов: 'основания' и 'показателя'. Это ни коим образом не является совпадением, так как обычно математическая нотация тесно связана с логической структурой рассматриваемых математических объектов.

Рекурсивная природа математических объектов и нотации отражена в разметке MathML. Большинство элементов представления и содержания содержат в себе другие элементы MathML, отвечающие за части, из которых рекурсивно построен исходный объект. Первоначальная схема обычно называется родительской, а части - дочерними. В общем, выражения MathML можно представить в виде деревьев, где каждый узел соответствует элементу MathML, ветвь под 'родительским' узлом соответствует 'дочерним' узлам, и листья дерева соответствуют атомарным элементам нотации или содержания, таким как числа, символы и т.д.

Большинство элементов-листьев в дереве выражения MathML или канонические пустые элементы без тела, или токены. Канонические пустые элементы отображают символы в MathML, например, это делает элемент содержания <plus/>. Токены - единственные элементы MathML, которые могут содержать текстовые данные. Текстовые данные в MathML содержат символы Unicode и специальные символьные конструкции, сделанные с помощью элемента mglyph. Третьим типом элементов-листьев в MathML являются комментарии, используемые для хранения данных, формат которых отличен от формата MathML.

Наиболее важными токенами представления являются mi, mn и mo, используемые для представления идентификаторов, чисел и операторов соответственно. Обычно эти элементы отображаются разными стилями: числа - прямым шрифтом, идентификаторы - наклонным, вокруг операторов оставляется дополнительное свободное пространство. В разметке содержания содержится только три токена, ci, cn и csymbol, для идентификаторов, чисел и новых введенных в документ символов соответственно. В разметке содержания существуют различные элементы для часто используемых функций и операторов. Элемент apply применяется для пользовательского расширения стандартного набора.

В терминах разметки, большинство элементов MathML определяются открывающим и закрывающим тегами, которые ограничивают содержание элемента. В случае токенов содержимое является текстовыми данными, в большинстве остальных случаев - разметкой дочерних элементов. Элементы третьей категории, называемые каноническими пустыми элементами, не требуют никакого содержания и определяются одиночным тегом вида <name/>. Примером может служить элемент <plus/> в разметке содержания.

Давайте возьмем для примера выражение (a + b) ² и рассмотрим на практике описанные выше принципы. Одним из вариантов разметки представления для этого выражения будет такой:

<mrow>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</mfenced>

</msup>

</mrow>

Этот пример демонстрирует использование различных элементов представления. Первый элемент, очень широко используемый, это элемент mrow. Он используется для обозначения ряда данных с выравниванием по горизонтали. Данные, содержащиеся между тегами <mrow> и </mrow> рассматриваются как аргумент элемента mrow. Таким образом, в элементе mrow содержится целое выражение. Как было замечено ранее, большинство математических выражений состоят из подвыражений. Эти подвыражения, в свою очередь, также содержатся в элементе mrow. Например, a + b также содержится в mrow.

Элемент mfenced используется для ограничения формул различными типами скобок. По умолчанию используются круглые скобки.

Обратите внимание на использование элемента mi для отображения переменных a и b и элемента mo для выделения оператора +.

Элемент msup применяется в выражениях с верхними индексами и имеет два аргумента: основание (в нашем случае (a+b)) и показатель (в нашем случае 2).

Разметка содержания для того же примера будет иметь вид:

<mrow>

<apply>

<apply>

<plus/>

</apply>

</apply>

</mrow>

Элемент apply обозначает применение операции к выражению. В нашем примере применяются пустой элемент power (для возведения в степень) и аналогичный элемент plus (для сложения). Обратите внимание, что оба оператора имеют два аргумента. Но если в случае возведения в степень их порядок важен лишь отчасти, то в случае применения apply он имеет ключевое значение, так как первый дочерний элемент является оператором, принимающим остальные в качестве аргумента.

Обратите внимание на использование элемента ci для выделения переменных a и b, и элемента cn для выделения числа 2.

Разметка представления

Разметка представления MathML состоит из приблизительно 30 элементов, которые имеют более 50 атрибутов. Большинство элементов представляют из себя схемы форматирования, которые содержат в себе другие элементы представления. Каждая схема соответствует двумерному фрагменту нотации, такому как верхний или нижний индекс, дробь или таблица. Кроме того, в разметке представления есть описанные выше токены mi, mo и mn и несколько других, которые используются не так часто. Несколько оставшихся элементов представления - это пустые элементы, связанные, в основном, с выравниванием.

Все схемы форматирования делятся на несколько классов. Одна группа элементов отвечает за индексы и содержит такие элементы, как msub munder, и mmultiscripts. Другая отвечает за более общее форматирование и включает элементы mrow, mstyle и mfrac. Третья группа реализует работу с таблицами. Элемент maction образует еще одну категорию и позволяет кодировать различные типы действий над нотацией, встречающиеся в выражениях, которые toggles between two pieces of notation.

Схемы форматирования обладают важным свойством: важен порядок их дочерних элементов. Например, первый дочерний элемент схемы mfrac является числителем дроби, а второй - знаменателем. Так как порядок дочерних элементов не задается на уровне XML с помощью MathML DTD, информация о порядке доступна только препроцессору MathML, в отличие от общего препроцессора XML. Когда мы хотим подчеркнуть, что элементы MathML, такие как mfrac, требуют указания дочерних элементов в определенном порядке, мы рассматриваем их как аргументы, а mfrac - как 'конструктор' нотации.

Разметка содержания

Разметка содержания содержит около 120 элементов, принимающих около дюжины атрибутов. Большинство этих элементов - пустые, соответствующие различным математическим операторам, зависимостям и функциям. В качестве примера можно привести partialdiff, leq и tan. Другие, такие как matrix и set, используются для представления различных типов математических данных. Третья важная категория элементов разметки содержания, такая как apply, используется для применения к выражениям операций и создания новых математических объектов.

Возможно, одним из наиболее важных элементов содержания является apply. Он используется для применения функции или операции к набору аргументов. Здесь также важно положение дочерних элементов: первый дочерний элемент указывает применяемую функцию, остальные - аргументы в соответствующем порядке. Надо отметить, что конструкция apply всегда использует префиксную нотацию, как язык программирования LISP. В частности, даже бинарные операторы, такие как вычитание, описываются применением префиксного оператора вычитания к двум аргументам. Например, a - b будет описано так:

<mrow>

<apply>

</apply>

</mrow>

Многие функции и операции, для того чтобы четко определенными, требуют одного или нескольких кванторов. Например, кроме подинтегрального выражения у определенного интеграла должны быть заданы пределы интегрирования и переменная, по которой происходит интегрирование. По этой причине существует несколько схем-спецификаторов вроде bvar и lowlimit. Они используются с операторами diff и int.

Конструкция declare особенно важна для разметки содержания, которая может обрабатываться системами компьютерной алгебры. Элемент declare реализует основной механизм присваивания, когда может быть объявлена переменная определенного типа с определенным значением.

И в примерах разметки представления, и в примерах разметки содержания математические выражения рекурсивно разлагаются на вложенные, более простые элементы MathML, определяющие стадию декомпозиции. В следующем разделе это проиллюстрировано на более сложных примерах.

MathML в документах

Все вышесказанное относится к отдельным формулам вне контекста документа. Давайте подробно рассмотрим пример, соответствующий примеру "Hello, World!", разбираемому при изучении языков программирования. Мы представим полный код документа XHTML 1.0, содержащего рассмотренный выше квадрат суммы двух переменных:

<head>

<title>MathML's Hello Square</title>

</head>

<body>

<p> This is a perfect square: </p>

<mrow>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</mfenced>

</msup>

</mrow>

</math>

</body>

</html>

Это стандартная структура документа XHTML. Он начинается открывающим тегом <html>, содержащим декларацию пространства имен XML и объявление языка. Элемент head содержит, как обычно, заголовок. Открывающий тег <body> beginning also has a namespace declaration of an abbreviative prefix letter m to be used for the standard MathML namespace. Затем идет обычный параграф. И, наконец, идет элемент math, который также имеет декларацию пространства имен. Внутри элемента math находится разметка MathML.

Примеры MathML

Далее мы будем приводить примеры в форме фрагментов разметки MathML, которые в реальном документе расположены в элементе math.

Примеры разметки представления

Нотация: x² + 4x + 4 = 0.

Разметка:

<mrow>

<msup>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

Обратите внимание на использование вложенных элементов mrow для обозначения термов. Например, левая часть уравнения является операндом для '='. Выделение термов значительно улучшает структуру для визуального отображения, воспроизведения с помощью голоса и переноса строк. Символ MathML InvisibleTimes применяется для того, чтобы сообщить программе отображения, что между 4 и x запрещен перенос строки. На самом деле, такое использование данного элемента, введенного еще в MathML 1.0, не рекомендуется. Все обычные текстовые данные задаются кодами Unicode. Тем не менее, хотя символ для замены ⁢ ожидается в Unicode 3.2, и рассматриваются предложения по улучшению Unicode, в текущей версии Unicode 3.0 такого символа не используется. Мы можем использовать ожидаемую цифровую ссылку ࠎ но для понятности будем продолжать использовать в примерах элемент InvisibleTimes.

Разметка:

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mo>&PlusMinus; </mo>

<msqrt>

<mrow>

<msup>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

Элементы mfrac и msqrt используются для создания дроби и квадратного корня соответственно.

Обратите внимание, что знак 'плюс-минус' задается специальной сущностью &PlusMinus;, хотя в данном случае существует такой символ Unicode, как &#00B1;. MathML предоставляет обширный список имен элементов, задающих математические символы. В дополнение к математическим символам для вывода документа на экран и на печать, MathML предоставляет символы для воспроизведения документа с помощью речи. Для воспроизведения с помощью речи важно автоматически определять, как должен быть прочитан фрагмент

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfenced>

</mrow>

Как 'z умножить на величину x плюс y' or 'z умножить на x плюс y'. Символы ⁢ (U+2062) и ⁡ (U+2061) предоставляют авторам способ напрямую кодировать такие различия для программ речевого воспроизведения. Например, в первом случае, символ ⁢ (U+2062) должен быть вставлен после строки, содержащей z. MathML также содержит такие сущности как &dd; (U+2146), представляющая дифференциал. При печати она отображается с отличными от обычного символа 'd' интервалами, а произноситься может как 'd' или 'with respect to'. Пока для исключения двусмысленности используются теги содержания или любой другой механизм, авторы всегда должны использовать описанные выше символы как сущности для того, чтобы сделать документы более доступными.

Разметка:

<mrow>

<mtr>

</mtr>

<mtr>

</mtr>

</mtable>

</mfenced>

</mrow>

Элемент mtable указывает на начало таблицы в MathML. Элемент mtr определяет строку таблицы и элемент mtd содержит данные для элемента строки (ячейки). Большая часть элементов имеет атрибуты, определяющие свойства отображения на экране и на печати. Например, у элемента mfenced есть атрибуты, определяющие, какие символы должны использоваться в начале и в конце группируемого выражения. Атрибуты элементов-операторов устанавливаются в определенное справочником значение по умолчанию при помощи элемента <mo>.

Примеры разметки содержания

Нотация: x² + 4x + 4 = 0.

<mrow>

<apply>

<eq/>

<apply>

<plus/>

<apply>

</apply>

<apply>

</apply>

</apply>

</apply>

</mrow>

Обратите внимание, что элемент apply используется для уравнений, операторов и функций.

Разметка содержания MathML не содержит элемента для отображения операции 'плюс-минус'. Поэтому мы используем элемент mo для объявления, что мы хотим применить разметку представления для этого оператора в качестве оператора содержания. Это простой пример того, как разметки представления и содержания могут быть объединены для расширения разметки содержания.

Нотация:

Разметка:

<mrow>

<apply>

<eq/>

</matrixrow>

</matrixrow>

</matrix>

</apply>

</mrow>

Здесь мы используем элементы matrix и matrixrow для помещения содержания в строку матрицы. Заметьте, что по умолчанию отображение элемента содержания matrix включает в себя ограничивающие круглые скобки, а, значит, нет необходимости кодировать их вручную. В этом состоит отличие от элемента представления mtable, который может и не относиться к матрице, и, следовательно, требует отдельного указания, что надо использовать скобки.

Примеры смешанной разметки

Нотация:

Разметка:

<mrow>

<mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<annotation-xml encoding="MathML-Content">

<apply>

<int/>

<apply>

</apply>

</annotation-xml>

</semantics>

</mrow>

В этом примере мы используем элемент semantics для того, чтобы представить выражение разметки содержания MathML как семантическое примечание к выражению разметки представления. В представленной разметке элемент msubsup применяется для задания нижних и верхних индексов в выражении, в данном случае - пределов интегрирования в определенном интеграле. Также для описания символов интеграла и дифференциала используются сущности ∫ и &dd;.

Элемент semantics содержит в качестве первого дочернего элемента комментируемое выражение, а в качестве второго - сам комментарий. На тип нотации, задаваемой элементом semantics, ограничений не существует. Например, можно задавать разметку T_EX или компьютерной алгебры в качестве примечания. Тип аннотации задается атрибутом encoding и элементами annotation, annotation-xml.

Элемент semantics также часто применяется, когда надо задать предложения по представлению разметки содержания документа. В этом случае, в применении к вышеописанной формуле мы получим такую разметку:

<apply>

<int/>

<apply>

</apply>

<annotation-xml encoding="MathML-Presentation">

<mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</annotation-xml>

</semantics>

Этот тип комментариев полезен, если требуется отображение разметки содержания, отличное от заданного по умолчанию. Например, по умолчанию, некоторые программы отображения могут выводить подинтегральное выражение в виде ' (1/x) dx'. С помощью комментария MathML-Presentation можно задать отображение в виде 'dx/x'. Будьте внимательны, так как программы отображения не обязаны принимать во внимание расположенную в комментариях информацию. Ее использование зависит от программы.

Пример синтаксиса XML

Так как MathML основан на XML, спецификация MathML использует терминологию XML. Данные XML состоят из символов Unicodes (которые включают в себя обычные ASCII-символы), ссылки на сущности (неформально называемые сущностями), такие как <, которые обычно представляют расширенные символы, и элементы, такие как <mi fontstyle="normal"> x </mi>.

Элементы часто содержат в себе другие XML-данные, называемые их 'содержанием' или 'телом', между 'открывающим' и 'закрывающим' тегами, также как в HTML. Существуют также 'пустые элементы', такие как <plus/>, у которых открывающий тег заканчивается символом />, чтобы показать, что элемент не имеет содержания или закрывающего тега. Открывающий тег должен содержать именованные параметры, называемые атрибутами, например, fontstyle="normal" в приведенном выше примере.

Так как большие и маленькие буквы различаются в XML, то и имена элементов и атрибутов MathML являются чувствительными к регистру. Для удобочитаемости в спецификации MathML большинство из них определены в нижнем регистре.

В формальном обсуждении разметки XML делается различие между элементом, таким как mrow и задающими его тегами <mrow> и </mrow>. То, что находится между тегами <mrow> и </mrow>, называется содержанием или телом элемента mrow. 'Пустой элемент', например none, не имеет тела и определяется одним тегом вида <none/>. В этой спецификации не будет делаться упора на это различие между тегами и элементами. Например, мы иногда будем ссылаться на элементы <mrow> и <none/>, подразумевая элемент, которому принадлежат эти теги. Это делается для того, чтобы ссылки на элементы отличались от ссылок на атрибуты. Тем не менее, термины 'элемент' and 'тег' будут использоваться в строгом соответствии с терминологией XML.

Значения атрибутов MathML

В соответствии со спецификацией языка XML, атрибуты элементов должны быть заданы в одной из следующих форм:

attribute-name = "value"

attribute-name = 'value'

где пробелы вокруг знака '=' необязательны.

Имена атрибутов выделены в тексте спецификации моноширинным шрифтом, так же как и примеры.

Значения атрибутов, которые в MathML могут быть строкой произвольных символов, должны быть заключены в двойные (") или одинарные (') кавычки. Значение атрибута может содержать тот тип кавычек, который не используется для заключения всего значения.

MathML использует более сложный синтаксис для значений атрибутов, чем общий синтаксис XML, задаваемый MathML DTD. Эти дополнительные правила предназначены для приложений MathML, и их нарушение является ошибкой MathML, однако они не могут быть отслежены процессорами XML. Синтаксис значений элементов MathML определен в таблице атрибутов и сопровожден описанием каждого элемента, используя описанную ниже нотацию. Когда приложение MathML обрабатывает значения атрибутов, все пробелы, за исключением разделяющих отдельные слова или числа, игнорируются. Символьные данные могут быть включены в значения атрибутов напрямую или с использованием ссылочных сущностей.

В частности, символы ", ', & и < могут быть включены в значения атрибутов MathML (когда это разрешено синтаксисом) с использованием сущностей ", ', & и <, соответственно.

MathML DTD, объявляет типы большинства значений атрибутов как строку CDATA. Это позволяет увеличить совместимость с существующим программным обеспечением на основе SGML и XML и расширять список предопределенных значений. Подобные же рассуждения применимы к схемам XML.

CSS-совместимые атрибуты

Некоторые атрибуты MathML, перечисленные ниже, соответствуют свойствам отображения текста, определенным в CSS1. Это сделано для того, чтобы программы отображения могли запросить CSS-окружение о соответствующих свойствах при определении значений атрибутов по умолчанию.

Возможность определения стилевых свойств через атрибуты MathML и CSS имеет и недостатки. Как минимум, это запутывает, а в худшем случае, это приводит к непреднамеренному изменению смысла уравнений при изменении CSS для всего документа. Поэтому, эти атрибуты осуждаются. В свою очередь, MathML 2.0 вводит четыре новых математических стилевых атрибута. Эти атрибуты используют логические значения для того, чтобы лучше передать абстрактные категории используемых в математике символов, и предоставляют четкое разделение между MathML и CSS.

Следующая таблица показывает соответствие осуждаемых стилевых атрибутов MathML 1.01 и их CSS-аналогов:

Атрибут MathML	Свойство CSS	синтаксический символ	Элемент MathML
fontsize	font-size	-	токены представления; mstyle
fontweight	font-weight	-	токены представления; mstyle
fontstyle	font-style	-	токены представления; mstyle
fontfamily	font-family	css-fontfamily	токены представления; mstyle
color	color	css-color-name	токены представления; mstyle
background	background	css-color-name	mstyle

Порядок обработки атрибутов и стилевых таблиц.

CSS или аналогичные стилевые таблицы могут задавать изменения свойств отображения элементов MathML. Так как свойства отображения могут изменяться как атрибутами элемента, так и программой отображения, необходимо определить порядок, в котором происходят изменения из разных источников. Примером автоматического согласования является ситуация с fontsize. В случае 'абсолютных' изменений, например, установки нового значения свойства, независимого от старого значения (в отличие от 'относительных' изменений, таких как инкремент или умножение на число), действуют только последние абсолютные изменения, поэтому источник изменений с наивысшим приоритетом должен обрабатываться последним.

В случае CSS, порядок обработки изменений, действующих на свойства отображения элемента MathML, из различных источников должен быть следующим: (изменяется первым; самый низкий приоритет)

Автоматические изменения свойств или атрибутов, основанных на типе родительского элемента и положении элемента в родительском (как упоминается выше об изменениях fontsize в соответствии с scriptlevel; такие изменения обычно применяются самим родительским элементом перед передачей свойств отображения текущему элементу

Из стилевых таблиц читателя: стили, которые не объявлены 'важными'

Явно заданные атрибуты текущего элемента MathML

Из стилевых таблиц автора: стили, которые не объявлены 'важными'

Из стилевых таблиц автора: стили, которые объявлены 'важными'

Из стилевых таблиц читателя: стили, которые объявлены 'важными' (изменяется последним; самый высокий приоритет).

Отметим, что порядок изменений, производимых стилевыми таблицами CSS, определен в самих CSS (это порядок, определяемый CSS2). Следующее объяснение относится только к случаю, когда в этом порядке происходят изменения, вызванные точным заданием атрибутов MathML.

Объяснение: Атрибуты отображения в MathML аналогичны атрибутам отображения в HTML (таким как align), которые, согласно определенному в CSS порядку, должны обрабатываться с одинаковым приоритетом. Более того, такой выбор очередности позволяет читателям решить, определяя стили CSS 'важными', какие из их установок должны переопределять явные установки MathML. Так как выражения MathML, состоящие из элементов содержания или представления, в первую очередь предназначены для передачи смысла, а 'графическое представление' (если таковое имеется) должно помогать этому (но не является важным само по себе), вероятно, что читатели захотят, чтобы их стилевые предпочтения имели приоритеты. Основным исключением является ситуация, когда атрибуты отображения предполагают изменение смысла выражения.

Microsoft Internet Explorer

Используемая версия: 6.0.2800.1106 (SP1; Q867801; Q823353; Q833989)

Браузер от Microsoft не имеет встроенной поддержки MathML. Для корректного отображения математических формул можно использовать свободно распространяемый плагин MathPlayer.

Помимо собственно отображения математической разметки он позволяет быстро копировать MathML-нотацию. Также можно при желании увеличить формулу для лучшей наглядности:

Из недостатков следует отметить отсутствие возможности выделить или скопировать фрагмент математического выражения. Также нет возможности (как и в Mozilla) корректно скопировать формулу с окружающим текстом.

Opera

Используемая версия: 7.54u1 (Build 3918; Platform Win32; System Windows 2000; Java not installed).

Этот браузер на данном своего развития этапе не имеет возможностей для корректного отображения разметки MathML.

Список использованной литературы

1. Дорофеев А.В., Федотов А.М. Электронные публикации в среде Internet и множественность кодировок русского языка // Вычислительные технологии, 1997, т.2, N 3, c.31-44.

2. Олейник О.В., Толкачева Е.М., Федотов А.М. Электронные издания и представление математических текстов на WWW // Вычислительные технологии, 1997, т.2, N 3, c.60-67.

3. Шокин Ю.И., Федотов А.М., Знаменский С.В. Электронные публикации и проблемы множественности кодировок русского языка // Информационные технологии и вычислительные системы, 1997, N 2, c.90-101.

4. Знаменский С.В. Стандартизация русского TeX: утопия или неизбежность // Вычислительные технологии, 1997, т.2, N 3, c.51 - 59.

5. Галактионов В.В. Расширяемый язык разметки XML (Extensible Mark-up Language): промышленный стандарт, определяющий архитектуру программных средств Интернет следующего поколения. Сообщение ОИЯИ, Р10-2000-44, Дубна, 2000.

6. Митюнин В.А. Обзор средств публикации и просмотра математических документов в сети Интернет - http://mathmag. spbu.ru/article/4/

7. Math on the Web: A Status Report - http://www.dessci.com/ webmath /status/

8. Including Math Notation in Web Pages - http://mathforum.org/typeseting/

9. MathML 1.01 - http://www.w3.org/TR/REC-MathML/

10. MathML 2.0 - http://www.w3.org/TR/MathML2/

MathML (Mathematical Markup Language)

Дата: 2019-04-23, просмотров: 286.

12 3 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒