Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

Рассмотрим изолированный -й узел ( ), считая, что на него поступает поток заявок интенсивности . Граф переходов изобразится следующим образом.

0            1            2  …                         …

 

                           

Рисунок 3.1.1

 

Тогда в соответствии с рисунком 3.1.1, получим следующие соотношения

 

, ,                (3.1.1)

где .

 

Согласно рисунку 3.1

 

, . (3.1.2)

 

Для марковской модели сети с тремя узлами и разнотипными заявками уравнения трафика имеют следующий вид:

 

,

,

,

,

,

.

 

Учитывая формулу (3.1.2) запишем ещё три уравнения

 

,

,

.

 

Таким образом, уравнения трафика имеют следующий вид

 

.                    (3.1.3)

,                                                (3.1.4)

,                                                                (3.1.5)

,                                                                (3.1.6)

,                                                      (3.1.7)

,                                                                (3.1.8)

,                                                           (3.1.9)

,                                                          (3.1.10)

,                                                           (3.1.11)

 

Подставим формулу (3.1.9) в (3.1.5) и (3.1.6), формулу (3.1.10) в (3.1.7) и (3.1.8), а формулу (3.1.11) в (3.1.3) и (3.1.4). Тогда уравнения трафика запишутся следующим образом

 

,            (3.1.12)

,                                                  (3.1.13)

,                                                           (3.1.14)

,                                                           (3.1.15)

,                                              (3.1.16)

.                                                        (3.1.17)

 

Нахождение решений уравнений трафика

 

Положительность решения уравнений трафика для достаточно общей модели доказана в работе [9].

Для нахождения решений уравнений трафика составим уравнение относительно . Для этого преобразуем формулу (3.1.12), перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю

 

.                         (3.2.1)

 

Так как , то формула (3.2.1) примет следующий вид

 

.                         (3.2.2)

 

Подставляя формулу (3.1.14) и (3.1.15) в (3.1.16) имеем

 

.

 

Приводим к общему знаменателю

 

.                                   (3.2.3)

 

Подставим формулу, полученную из формулы (3.1.13) вычетом формулы (3.1.12), получим    , в формулу (3.2.3), получим

 

,

.                    (3.2.4)

 

Обозначим и , тогда

 

.                                                                 (3.2.5)

 

В соответствии с формулами (3.1.16) и (3.1.17)

 

.                                                                            (3.2.6)

 

Учитывая формулу (3.2.6) и (3.2.5), получим

 

.                                                                 (3.2.7)

 

Подставим формулы (3.2.5) и (3.2.6) в формулу (3.2.2), имеем

 

.   (3.2.8)

 

Так как , то формула (3.2.8) примет следующий вид

 

. (3.2.9)

 

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, запишем формулу (3.2.9) в виде

 

                                                                                       (3.2.10)

 

Таким образом, полученное уравнение (3.2.10) квадратное, то есть

 

,                          (3.2.11)

 

где коэффициенты , учитывая обозначения  и формулу (3.2.10), определяются следующим образом

 

,                                (3.2.12)

,               (3.2.13)

. (3.2.14)

 

Для уравнения (3.2.11) найдём дискриминант, учитывая формулы (3.2.12), (3.2.13), (3.2.14), имеем

 

.

 

Для получения решения уравнения (3.2.11) должно выполнятся следующее условие , а это возможно тогда, когда

 

.                     

 

Согласно формуле , получим

 

,

 

то есть

 

.                                         (3.2.15)

 

В соответствии с рисунком 3.1, формула (3.2.15) есть условие эргодичности. Если это условие не выполняется, то нет стационарного распределения.

Учитывая формулы (3.2.12), (3.2.14), (3.2.15) получим, что , . Согласно обратной теореме Виета, если  - корни уравнения (3.2.11), то выполняются следующие соотношения

 

                      

                      

 

Так как , то один из корней положительный и один отрицательный.

Таким образом, уравнение (3.2.11) имеет одно положительное решение. То есть система уравнений трафика (3.1.12) – (3.1.17) имеет положительное решение.

 

Уравнения равновесия

 

В соответствии, с рисунком 3.1 составим уравнения равновесия

 

                                      (3.3.1)

.